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Transcripción del video

en este vídeo quiero hablar del gradiente en el contexto de los conjuntos de nivel así que digamos que tenemos una función efe que tiene dos variables como entrada verdad y que la función es simplemente haga el producto de x cónyuge entonces para esta función nosotros podríamos ver cuáles son sus conjuntos de nivel verdad más o menos por ejemplo aquí estaría el eje x aquí podríamos pintar quizás más abajo más o menos aquí podríamos pintar el eje ye verdad y podríamos mostrar cuáles son las curvas de nivel ahí lo tenemos entonces aquí por ejemplo está el eje x el eje muy bien y lo que esto representa son los conjuntos en donde la función toma un valor constante por ejemplo si nos preguntamos cuál es el conjunto en donde la función es igual a 2 verdad entonces estaríamos pensando en el conjunto en donde x por llegue sea igual a 2 o bien si nosotros despejamos le podríamos decir que llegue es igual a 2 / x entonces esto quizás representa a esta curva que tenemos aquí verdad de hecho vamos a hacernos nuevamente espacio para poder trabajar más con estado con esta idea del gradiente y ahora si nosotros queremos calcular el gradiente de nuestra función tenemos el gradiente de nuestra función esto resulta ser ahora una función de dos variables verdad que va a tener una salida de dos dimensiones verdad y de hecho recordemos como lo vimos en el vídeo anterior pues el gradiente simplemente se calcula como el vector que tiene la parcial de la función efe con respecto de x y la derivada parcial df con respecto de si es verdad y si tuviéramos más variables tendríamos más coordenadas en este caso así que cuál sería éste esté gradiente para esta función particular bueno cuando derivamos con respecto de equis o ye resulta ser una constante verdad entonces realmente simplemente tendríamos que hacer la deriva de nuestra función con respecto de x esto es una constante y al derivar x nos queda uno así que simplemente obtenemos aquí de verdad si ahora derivamos esto con respecto de ye x es una constante y nos queda x por la deriva de ye que es uno así que éste sería nuestro lector gradiente y esto en realidad se puede visualizar como un campo vectorial por ejemplo si nos fuéramos al punto 2,1 digamos que está el 1 aquí está el 2 y luego aquí está el uno entonces nos vamos a un punto digamos por aquí este sería el punto 2,1 y nosotros sabemos que el gradiente de esta función en ese punto particular sería invertir las coordenadas verdad entonces tendríamos que pintar el vector 12 verdad entonces para pintar esto simplemente nos movemos uno en la dirección del eje x y luego subimos dos en la dirección del eje llegue y más o menos así se vería nuestro vector 1,2 verdad anclado en este punto que es la idea justamente de los campos vectoriales así que ahora podríamos mostrar el campo vectorial vamos a mostrarlo y aquí sería conveniente recordar que los colores nos indican la longitud real de los vectores que estamos pintando verdad porque si los pintamos con su tamaño real pues esto se vería muy enredado y no nos permitiría ver absolutamente nada verdad aquí los colores en rojo son vectores que en realidad son muy largos mientras que los vectores azules son vectores que son realmente recortes verdad así que algo que quizás hay que notar es que cada victoria digamos un vector cruza una curva de nivel en realidad ese cruce lo hace de forma perpendicular a la curva verdad por ejemplo podríamos fijarnos en este de aquí también podríamos fijarnos en este de acá también podríamos fijarnos en este otro de acá esto ocurre en cualquier punto o digamos en cualquier lugar donde el vector cruce una curva de nivel entonces pensemos por ahora porque es qué ocurre esto así que vamos a borrar lo que tenemos del lado derecho para darnos un espacio para poder seguir trabajando key entonces volvemos todo esto lo vemos todo esto bien y ahora lo que vamos a hacer es tratar de acercar digamos este punto vamos a considerar este punto de aquí que íbamos a hacer un acercamiento a lo que está ocurriendo por acá así que digamos vamos a hacer vamos a acercar la imagen a lo que está ocurriendo en ese cerca de ese punto digamos aquí tenemos nuestro nuestra lupa y por ejemplo aquí tendremos nuestra curva de nivel pasando por esta parte verdad más o menos es una representación de esta curva de nivel y digamos que es justo la curva de nivel asociado al valor 2 verdad son los puntos donde la función vale exactamente dos muy bien entonces en realidad esta curva debería irse pareciendo cada vez más a una línea recta a medida que hacemos un acercamiento más y más y más profundo verdad entonces aquí tenemos nuestro punto que hemos seleccionado verdad y cuando queremos interpretar el vector gradiente como vimos en el vídeo anterior este éste apunta siempre en la dirección del ascenso más pronunciado así que si imaginamos todos los posibles vectores que pueden estar anclados a este punto todos estos todos estos vectores verdad entonces la pregunta es en qué dirección tenemos que movernos para incrementar el valor de la función efe lo más rápido posible y existen dos formas en las que podemos ver esto la primera forma es digamos ver en qué dirección aumenta digamos en en la componente x y en la componente llegue lo más rápido posible la segunda forma que podríamos considerar es digamos pensar en otra curva de nivel pensemos en otra curva de nivel quizás debería debería borrar estos vectores a borrar estos vectores amarillos de aquí que tenemos esos vectores amarillos y ahora lo que vamos a hacer es considerar otra curva de nivel ligeramente cercana a ésta que ya teníamos aquí y quizás mi dibujo no es del todo preciso pero espero que que se entienda la idea así que digamos que es la curva de nivel asociada al valor 2.1 y en realidad de estas dos curvas deberían parecer digamos como paralelas verdad no no difieren mucho la una de la otra entonces ahora ahora pensemos digamos a partir de este mismo punto en todos los vectores que pueden moverse de este valor 2 al 2.1 entonces podríamos pensar en este vector quizás en este otro vector quizás otra un poco más alejado o también podríamos pensar en este vector verdad ahora decidir cuál es la dirección del ascenso más pronunciado digamos la forma más rápida de movernos a esta otra curva de nivel es equivalente a pensar digamos en elegir el vector que tenga una distancia menor verdad y en realidad no es difícil convencerse de que hay que elegir justamente la dirección que es perpendicular a ésta curva verdad esta dirección perpendicular es la que nos da una digamos una distancia menor verdad así que debido a esta interpretación del gradiente es consecuencia que cuando vemos las curvas de nivel verdad el gradiente siempre es perpendicular a estas curvas de nivel siempre va a ser que sea perpendicular a cada línea pues trata de acercarse a las otras líneas tan rápido como sea posible y esta es una interpretación muy útil en algunos contextos siempre el gradiente será perpendicular a las curvas de nivel nos vemos en el próximo video