El gradiente y las gráficas

de lo que quiero hablar en este vídeo es de lo que significa el gradiente en el contexto de la gráfica de una función y vimos en el vídeo en el vídeo anterior definimos lo que es el gradiente así que tomemos una función por aquí tomemos la función f de x esteban esta función va a tener dos entradas y digamos que esta función sea x cuadrada más que cuadrada que de hecho es la que grafica do por acá de este lado así que para esta función tenemos una entrada de dos dimensiones verdad podríamos pensar que la entrada está en el plano x de verdad y la salida está en una dimensión verdad que es justamente la altura de la gráfica verdad y lo que definimos en el vídeo anterior como el gradiente en realidad lo podíamos pensar como un operador verdad esto esto significa que tomamos una función y nos da como salida otra función verdad y para denotar al gradiente utilizamos este triángulo invertido verdad nos define el gradiente así que decimos que el gradiente de la función f en realidad nos da otra función verdad que también depende de esta misma entrada x pero en este caso nos da una salida con valores vectoriales verdad entonces las componentes de nuestra salida sería la derivada parcial de nuestra función con respecto a x y la derivada parcial de nuestra función con respecto a ye muy bien entonces nuestra salida es ésta así que para una función como ésta a la hora de digamos de calcular explícitamente el gradiente veamos qué es lo que obtenemos nosotros tenemos que derivar primero con respecto a x verdad entonces la derivada con respecto a x de x cuadrada es 2x y luego derivamos ye cuadrada con respecto a x pero esto se hace cero verdad así que aquí tenemos simplemente la primera entrada y luego la segunda entrada es 2 verdad porque tendríamos que derivar ye cuadrada que cuya derivada es 2 y la derivada x cuadrada con respecto a 0 porque esto sería como una constante para fines de derivar con respecto a y entonces al derivar lo nos da simplemente 0 verdad así que esta función que obtenemos lo que es el gradiente verdad en realidad como ya mencionamos es tiene una entrada de dos dimensiones xy verdad que puede ser un punto en este plano pero nos da como salida un ver un vector y puede visualizarse muy bien esto como un campo vectorial y ya tenemos un vídeo sobre campos vectoriales y si no te sientes muy seguro de qué significa esto puedes revisarlo pero lo que quiero que hagas es esto marcan un momento digamos darle una pausa este vídeo si es necesario y tratar de pensar verdad cómo sería el campo vectorial que que está representado por nuestro gradiente verdad entonces esto lo mostraré en un momento pero quiero que trates de pensar cómo sería la salida en el plano xy de este campo vectorial que es 2 x 2 muy bien así que espero que ya lo hayas hecho que lo hayas tratado de pensar por tu propia cuenta y aquí es lo que obtenemos es un montón de vectores que están apuntando hacia afuera en dirección contraria al origen verdad y la razón básica para esto es que si tenemos un punto de entrada digamos que tiene coordenadas x entonces el vector que está representado por este punto de entrada digamos si partimos de aquí del origen entonces este vector se vería más o menos así pero la salida es dos veces ese vector así que cuando lo colocamos digamos anclado al punto original obtenemos algo que es del doble del tamaño del vector original verdad y apuntando en la misma dirección que es hacia fuera del origen así que aquí en realidad lo he dibujado bastante bastante mal verdad por supuesto cuando dibujamos campos vectoriales no solemos dibujarlos a escalas sino que los re escalamos verdad de digamos para que se vean un poco más pequeños pero utilizamos colores para indicar la longitud de estos vectores verdad aquí el color es lo que indica la longitud así que podríamos pensar estos tipos rojos de por acá son muy muy largos mientras que los que son azules en realidad son muy cortos y bueno la pregunta es qué tiene que ver esto con la gráfica de una función y en realidad es una interpretación genial así que imaginemos que estamos caminando digamos sobre esta gráfica verdad imaginen que que somos digamos este gente que le gusta el montañismo entonces digamos como una montaña de verdad así que si nos colocamos a nosotros mismos digamos en este punto sobre la gráfica entonces nos colocamos en este punto y nos preguntamos qué dirección deberíamos seguir para incrementar nuestra altitud de forma digamos la más rápida posible así que podríamos caminar hacia acá arriba a verdad y si proyectamos este punto digamos hacia el espacio de entradas entonces este punto que tenemos acá arriba este vector este que nos está indicando digamos el ascenso más rápido verdad entonces para esta gráfica debería tener sentido que nos estamos dirigiendo justamente a digamos lejos del origen verdad que vamos a borrar esto así que así que si nos fijamos en todo esto pero desde digamos desde abajo cualquier punto que digamos sobre el que nos coloquemos en la montaña desde nuestra gráfica por aquí si queremos incrementar digamos de forma más rápida deberíamos dirigirnos en dirección contraria al origen verdad esta es digamos la dirección más pronunciada y todos esos vectores también están apuntando digamos hacia afuera del origen así que la gente diría que el gradiente apunta en la dirección del ascenso más pronunciado así que esto vale la pena anotarlo esta sería la dirección la dirección del ascenso del ascenso más pronunciado más pronunciado la dirección del ascenso más pronunciado así que fijémonos en cómo se ve esto en el contexto digamos de otro ejemplo así que pongamos otra gráfica por aquí que pongamos otra gráfica por aquí y pongamos su campo vectorial así que esta gráfica del todo digamos son puros valores negativos verdad todo está por debajo del plano xy y podemos notar que cerca del pico verdad todos estos vectores están apuntando digamos justo en la dirección digamos en la que podemos ir subiendo esta colina verdad y nos dice más o menos como hay que subir este pico para poder ir de forma más rápida verdad así que sólo para que te des una idea puedes ver que justo por aquí por encima verdad todos los vectores alrededor nos dicen que vayamos colina arriba verdad así que cada vector nos está diciendo de qué forma podríamos caminar para incrementar la altitud sobre la gráfica de la manera más rápida así que esta es la dirección del ascenso más pronunciado y eso es lo que esta dirección significa verdad pero que significaría longitud bueno si nos fijamos digamos en estos vectores rojos de por aquí el rojo significa que deberían ser considerados como vectores muy muy grandes verdad y la gráfica misma por ejemplo aquí el punto que corresponde a la gráfica simplemente está fuera de la pantalla para nosotros verdad justo porque esta gráfica realmente se vuelve muy pronunciada y muy negativa de forma más rápida verdad así que los puntos corresponden digamos a son puntos que corresponden a tener pendientes muy pronunciadas mientras que los que son de color azul por ejemplo por aquí en realidad tienen una pendiente muy muy poco pronunciada verdad así que a medida que nos vamos acercando a la punta verdad las cosas empiezan se empiezan a nivelar y así la longitud de nuestro vector gradiente de hecho se vuelve cada vez más corto verdad así que esto nos indica qué tan pronunciada es esa dirección verdad en el ascenso digamos en la dirección del ascenso más pronunciado y una de las cosas que quisiera remarcar aquí es que no tiene mucho sentido fijarnos directamente digamos con derivadas parciales verdad con la que consumimos nuestro vector no podríamos tener la noción inmediata de que nos indica la dirección del ascenso más rápido verdad y de hecho así va a ser pero vamos a hablar de esto más adelante y para para poder hacer una conexión mucho más clara con algunos algunos conceptos que veremos más adelante como lo que es la derivada direccional verdad pero no es inmediato a menos de que se hace algún tipo de de genio muy intuitivo no creo que la conexión sea tan obvia en principio pero ya lo veremos en su debido momento nos vemos en el próximo vídeo