¿Por qué el gradiente es la dirección del ascenso más pronunciado?

hasta ahora ya hemos hablado de lo que es el gradiente de una función para lo cual necesitaríamos una función que podremos decir que es de dos variables para que todo sea más simple verdad por ejemplo podríamos considerar la función x cuadrada más ye cuadrada que esta función es bastante amigable verdad entonces en los últimos vídeos nosotros dejamos un misterio sin resolver y esencialmente por ejemplo aquí bueno tenemos el gradiente de efe que se puede calcular como el vector que tiene entradas las derivadas parciales derivada parcial de f respecto de x y la derivada parcial de f con respecto de ye verdad entonces por supuesto el gradiente de la función puede tener digamos más dimensiones si tuviéramos más variables digamos como en el espacio de entrada verdad y bueno después vimos una digamos un poco de intuición gráfica y vimos que el gradiente era la dirección del ascenso más producto pronunciado verdad entonces por ejemplo si aquí tenemos como siempre nuestro a grama vamos a hacerlo más derechito ahí lo tenemos digamos que este es nuestro espacio de entrada aquí tenemos la coordenada x coordenada y verdad y por ejemplo si tenemos una función f en realidad estamos pensando que este espacio de entrada lo estamos transformando verdad en nuestro espacio de salidas que por ejemplo en este caso sería la recta verdad entonces si nosotros tenemos aquí un punto cualquiera arbitrario digamos verdad entonces podríamos fijarnos en todas las direcciones posibles en las que podemos movernos podríamos tener un montón de direcciones posibles en las que podríamos movernos y la pregunta aquí es de todas estas direcciones en las que podemos movernos cual resultaría digamos cuál de esas direcciones resultaría ser la que nos genera un crecimiento más grande de nuestra función entonces por ejemplo esta dirección a lo mejor aquí y aquí es el punto en donde la función manda a este punto amarillo verdad entonces a lo mejor una dirección nos da cierto aumento a lo mejor otra dirección nos da un aumento mayor quizás otra dirección nos da un aumento en esta dirección no sería un de digamos sería decreciente verdad en esa dirección quizás nos da algo más negativo todavía entonces la pregunta es cuál de estas direcciones resulta en el crecimiento mayor y si quieres pensarlo en términos de gráficas podríamos fijarnos en la gráfica de nuestra función verdad aquí tenemos el campo gradiente todos estos vectores se encuentran en el plano xy y son gradientes verdad entonces si nos fijamos desde abajo verdad quizás podríamos ver porque cada uno de estos puntos se mueve digamos en la dirección que indica verdad que nos está diciendo cómo subir digamos colina arriba en la gráfica verdad lo más rápido que se pueda si estuviéramos escalando una montaña y quisiéramos llegar a la cima lo más rápido posible esto nos diría la dirección en la que deberíamos movernos para ir lo más rápido que se pueda y es por esto que le llama la dirección del ascenso más pronunciado volviendo a esta parte cuando recientemente yo vi este tema no no me fue nada evidente la relación que existe verdad porque porque sería de que este vector es el vector gradiente indica la mejor dirección y ahora que ya hemos visto la derivada direccional puedo darte un poco de intuición de por qué esto es cierto así que en vez de fijarnos en todas las direcciones posibles pensemos únicamente por ahora pensemos únicamente en una dirección así que vamos a quitar todo esto pintar de nuevo nuestro espacio de salidas que digamos ahí está pensemos en un vector digamos tenemos este vector vamos a llamarle el vector b este será el vector b y para que todo esto sea simple digamos que este vector es unitario y también para que coincida con nuestra digamos pendiente verdad cuando hacemos el corte en una gráfica como vimos en el vídeo anterior guardad y entonces nosotros ya sabemos que la tasa de cambio verdad a lo largo de esta dirección cuando nos movemos en la dirección de este vector ve la tasa de cambio está dado por la derivada direccional verdad la derivada direccional en dirección del vector b de nuestra función digamos evaluada en el punto a coma b así que pensamos que este punto de aquí es el punto a de verdad esto está dado por la siguiente fórmula es el gradiente de nuestra función efe por supuesto evaluada punto donde nos interesa así hacemos el producto punto de este gradiente con nuestro vector de verdad y hace algunos vídeos vimos por qué es que esto representa a la tasa de cambio en la dirección del vector de verdad entonces intuitivamente dijimos bueno si consideramos un vector de digamos por ejemplo el 12 podría ser cualquier otra cosa verdad entonces el producto punto nos dice o más bien este vector nos dice que damos un paso en la dirección x y dos pasos en la dirección y entonces si queremos ver la tasa de cambio a lo largo digamos moviéndonos en esta dirección pues es razonable pensar que será en la tasa de cambio una vez en la dirección de la de la componente x y dos veces la tasa de cambio en la dirección de verdad entonces esto fue una idea intuitiva que desarrollamos anteriormente en otro vídeo verdad ahora bien esta fórmula que tenemos aquí es la que nos va a indicar la dirección busca la verdad la dirección del digamos del ascenso más pronunciado verdad entonces por ejemplo este vector d puede darnos alguna digamos algún cambio digamos en esta dirección pero si a lo mejor nosotros consideramos otro vector digamos w verdad entonces éste puede generarnos otro tipo de cambio verdad entonces en esencia lo que estamos haciendo es buscar cuál nos maximiza la la derivada direccional verdad es decir estamos buscando el vector v verdad y este vector tiene que tener tamaño uno tiene que tener una longitud de uno que nos maximiza la derivada direccional verdad que se calcula como el gradiente de la función evaluada en el punto de interés haciéndole el producto punto con nuestro vector entonces estamos variando todos estos vectores b que tengan magnitud 1 y queremos maximizar este valor que es la derivada direccional y para ver esto hay que pensar en lo que representa el producto punto verdad del producto punto entonces digamos que tendremos por aquí nuestro gradiente de la función digamos que apunta más o menos así puede ser van suficientemente grande verdad y digamos que aquí tenemos nuestro vector de entonces vamos a pintar a nuestro vector b y este vector de recordemos que es unitario es decir tiene longitud 1 bien y en esencial nuestro vector de que es este que tenemos aquí entonces este producto punto que tenemos entre el gradiente y el vector b representa la proyección que hay de este vector ve hacia este vector que es el gradiente de f entonces en esencia vamos a proyectar de forma perpendicular a nuestro vector b sobre el gradiente df y lo que obtenemos como distancia verdad hacia esa proyección eso es lo que representa el producto punto entonces sólo por por dar ejemplo digamos que esto es 0.7 y por supuesto que esta longitud tiene que ser menor a la de nuestro vector que es una verdad claramente entonces luego lo que vamos a hacer es multiplicar esto por la longitud del gradiente de nuestra función entonces digamos que tenemos aquí la longitud de nuestro vector y digamos que su longitud no se es 2 verdad por ejemplo entonces la interpretación de este producto punto será simplemente el producto de la longitud de la proyección que sería 0.7 y lo multiplicamos por la longitud de nuestro vector verdad que era 2 entonces la pregunta es de todos los vectores de tamaño unitario cuando se puede maximizar este valor entonces por ejemplo podríamos pensar quizás en otro vector que también tenga tamaño unitario pero que esté ligeramente rotado hacia donde se encuentra el vector verde verdad ya lo mejor aquí nuestra proyección sea de 0.75 verdad entonces sí sí digamos tomamos el vector unitario que apunta justo en esta dirección del gradiente entonces estamos pensando en este vector unitario verdad entonces la proyección la longitud de la proyección coincide con la longitud de este vector que de hecho vale 1 verdad y si a lo mejor no estás muy seguro de todo lo que hemos estado diciendo con respecto al producto punto entonces puedes buscar los vídeos que tenemos aquí en kant academy de este tema verdad pero al menos aquí ya es mucho más fácil convencerse de que justo lo que va a maximizar este producto punto es justo cuando tenemos el vector unitario que apunta en la misma dirección del gradiente entonces este máximo se alcanza justo cuando tomamos como vector a el gradiente de nuestra función por supuesto siempre evaluado en el punto de interés pero tenemos que dividir y su magnitud verdad para que sea un vector unitario entonces esta es la respuesta este es el vector que maximiza la derivada direccional verdad es decir es el vector del ascenso más pronunciado en resumen lo que maximiza este producto punto verdad de digamos de una cosa con vectores unitarios es justamente el vector que apunta en la dirección de este vector inicial verdad y esto también nos va a dar una interpretación de lo que es la magnitud de nuestro gradiente entonces digamos que todo este vector es el vector w este vector w es unitario verdad entonces si nosotros calculamos la derivada direccional en la dirección del vector w verdad de nuestra función esto será igual al gradiente de la función y hacemos el producto punto con el vector wv verdad si nosotros sustituimos quien es w tendremos el gradiente de f multiplicado con el gradiente de f dividido la magnitud del gradiente de y por supuesto aquí he estado metiendo en donde estamos evaluando y la verdad es que lo estoy metiendo por flojo verdad en realidad el gradiente de nuestra función siempre va evaluada en siempre va evaluado en el punto a de verdad por aquí vamos a omitir lo sólo para no hacer más complicado esto el producto punto del gradiente df con el gradiente de f nos da justamente la norma o el o la magnitud del gradiente de f elevado al cuadrado y esto lo dividimos entre la magnitud del gradiente de f entonces esto se simplifica verdad porque esto ya podemos quitarlo y quitamos el exponente 2 así que en esencia lo que hemos obtenido es que la tasa a la que crece la función al moverse en la dirección del gradiente está dado justamente por la magnitud del gradiente df así que este vector parece ser como como mágico verdad hace un montón de cosas primero es la herramienta necesaria que nos y calcular derivadas direccionales y con esto encontrar las tasas de crecimiento en una dirección también nos dice que es la dirección del ascenso más pronunciado y como consecuencia de esto su magnitud indica la tasa de cambio en la dirección del ascenso más pronunciado así que el gradiente es parte fundamental de las funciones multivariable de valores escalares y de hecho es la extensión de la derivada en cualquier sentido que quieras extender el concepto de derivada