Conocimiento previo sobre el Jacobiano

hola a todos en los siguientes vídeos voy a estar hablando acerca de algo llamado el jacob ya no y más específicamente el determinante asociado a la matriz hakobyan a déjame escribirlo en los siguientes vídeos vamos a estar hablando acerca de esta matriz hakobyan pero en este vídeo sólo quiero hablar acerca del conocimiento previo que voy a suponer que ya entendemos para trabajar esta matriz hakobyan a porque para entender la matriz hakobyan am lo que necesitamos son antecedentes de álgebra lineal y en particular quiero asegurarme de que aquí todos entiendan cómo pensar acerca de las matrices y quiero asegurarme de que aquí todos entiendan cómo pensar acerca de las matrices como transformaciones del espacio y cuando digo transformaciones permítanme colocar por aquí una matriz déjame tomarme no sea voy a tomar la siguiente matriz no voy a tomar la matriz 2 1 déjame ponerlo con este color 2 1 y en la otra columna me voy a tomar no sé menos 3 - 3 1 ya verás ahorita porque estoy escribiendo esta matriz de dos colores distintos pero si a esta matriz la multiplicó no sé imagínate que la vamos a multiplicar por un vector bidimensional llamado el vector x bien entonces recordemos que obtengo de multiplicar esta matriz por este vector bueno esto me va a dar un vector de dos componentes que se va a ver más o menos así tendrían dos por equis déjame ponerlo con sus respectivos colores que multiplica a x ok ya esto hay que sumarle menos 3 porque entonces me quedaría más menos 3 que multiplica y ya está en nuestra primera componente de este vector y en la segunda componente 1 por x más 1 porque así que puedo poner aquí x aquí voy a poner más aquí voy a poner james y déjame poner los respectivos unos aquí voy a tener uno por equis y aquí voy a tener uno por jim y bueno observa que obtuve un vector de dos dimensiones tienen dos componentes y lo importante de todo esto es tener una comprensión geométrica profunda de lo que significa en realidad tomar el vector xy y multiplicarlo por esta matriz para obtener este vector 2x menos 3 james x más bien en la segunda componente y sobre todo entender que a esto de aquí le llamamos una transformación lineal lo que quiero es que entendamos que es una transformación lineal así que lo que voy a hacer es simplemente mostrarles cómo se ve esta transformación en particular en la gráfica del lado izquierdo donde cada uno de estos puntos de esta cuadrícula le voy a decir a la computadora oye si este punto fuera x james entonces quiero que me lo transformes en el punto 2 x menos 3 y en la primera componente y en la segunda componente x + y aquí puedes ver cómo se ven todos los puntos en el espacio se mueven y terminan en este estado final ahora hay un par de cosas que quiero hacer notar la primera de ellas es que todas las rectas de esta cuadrícula permanecen paralelas y uniformemente separadas y la segunda que es muy importante es que siguen siendo rectas no se curvan de alguna manera y eso es muy especial esa es la forma geométrica en la que pueden pensar una transformación link y podrás pensarlo así decir las rectas permanecen rectas y en particular las rectas de la cuadrícula donde empezamos aquí empezaron como verticales y horizontales y cuando aplicamos la transformación siguen siendo paralelas y siguen estando uniformemente separadas y otra cosa a notar aquí es que si nos regresamos y observas estos dos vectores resaltados el vector de verden y el vector de rojo estos dos comenzaron justo aquí observa los comenzaron como vectores va a ser cierto el vector verde que tenemos aquí es el vector 10 déjame ponerlo 10 ok mientras que el otro vector este que tenemos de color rojo es el vector 0 1 lo voy a escribir 0 1 y bueno si ahora regresamos para acá y notamos en donde caen bajo esta transformación entonces cuando la matriz es multiplicada por cada uno de estos vectores en el espacio el lugar donde cae el vector verde el que comenzó como el 10 ahora tiene coordenadas 21 y eso corresponde muy directamente con el hecho de que en la primera columna de esta matriz tengamos justo al 21 y luego del mismo modo el segundo vector el vector 01 termina en las coordenadas menos 1 - 2 - 3 menos 3,1 y eso corresponde con el hecho de que la segunda columna de esta matriz tengamos al menos 31 y en realidad es bastante sencillo ver por qué esto es cierto voy a continuar y multiplicar la matriz que teníamos la matriz original que bueno ya es bastante fácil de encontrar si observas tenemos aquí el vector 21 entonces pongo 21 y el vector menos 31 entonces pongo menos 3 1 y bueno ahora lo que quiero ver es en realidad qué es lo que está pasando con las columnas para que nos den el punto en donde acaban los vectores va a ser cuando le aplicamos la transformación cuando la multiplicamos por esta matriz y ahora cuando tomas la multiplicación de esto por el primer vector observa vamos a multiplicar esto por el vector 10 entonces noten a que nos va a llevar bueno nos va a llevar al vector que tiene como coordenadas 2 x 1 lo cual es 2 más y después tengo menos 3 x 0 lo cual es cero ok y en la segunda componente tengo uno por uno lo cual es uno más uno por cero lo cual es cero así que los únicos términos que en realidad importan son estos dos el 2 y el 1 y vamos a llegar al vector de hecho al vector 2 1 déjame ponerlo al vector 2 1 del mismo modo si tomamos a la misma matriz déjame ponerla de nuevo a la matriz 21 menos 31 y ahora lo multiplicó por el otro vector canónico por el vector 01 entonces vamos a ver qué obtenemos de esta multiplicación y si observas esto me va a dar 2 x 0 lo cual es 0 más menos 3 por 1 lo cual es menos 3 y después tengo 1 x 0 lo cual es 0 + 1 x 1 lo cual es 1 y si observas justo lo que hace este 0 es eliminarlos esta columna y me quedo simplemente con este vector voy a llegar justo al vector menos 3 y como dije geométricamente el significado de una transformación lineal es que las rectas de la cuadrícula permanecen paralelas y uniformemente separadas y cuando empiezan a pensar un poco acerca de eso se puede saber en dónde cae este vector verde y dónde caen este vector rojo eso va a bloquear en su lugar donde la cuadrícula completa debe ir así que permíteme mostrarte a qué me refiero y como corresponde esto con tal vez una definición diferente a la que hayas escuchado para lo que significa una transformación lineal es decir que si tenemos algún tipo de función l que va a adoptar un vector y nos va a arrojar otro vector se dice que es lineal si satisfacen dos propiedades la primera es que cuando tengan una constante que multiplican a ese vector al vector que vamos a meter entonces nos des de respuesta la constante que multiplican a esta función que es lineal que está aplicada a su vez al vector esta es la primera propiedad de otra manera cuando estamos aplicando la transformación a un vector escalado esto sea lo mismo que escalar la transformación del vector y del mismo modo la segunda propiedad de la linealidad es que si tú tienes la suma de dos vectores del vector ven más el vector w entonces al aplicarle esta transformación lineal lo que tendríamos que obtener es la transformación aplicada al vector b ya esto sumarle la transformación aplicada al vector doble y esta es la segunda propiedad o dicho de otra manera esto es lo mismo que primero aplicar la transformación a cada uno de los vectores por separado y después sumarlos a sumar primero los dos vectores y después aplicarles la transformación ahora bien una de las consecuencias más importantes de esta definición formal de linealidad es que si tú tomas una función la función l y se aplica a un vector cualquiera voy a pensar en el vector x bien entonces cuando tú aplicar la función a este vector lo que vas a obtener es lo siguiente es lo mismo que aplicar la función am x ojo estamos hablando de una función lineal entonces va a ser x que multiplica al vector canónico 1010 y a esto sumarle 10 veces que va a multiplicar al otro vector canónico al vector canal ni con 0 1 0 1 y bueno esto es debido a las propiedades que tenemos acá arriba a las propiedades de linealidad si puedo separar a zinc no importa si primero escalón y después sumo o si lo hago al revés entonces esto me va a quedar exactamente igual déjenme bajar un poco la pantalla para que sigamos trabajando esto me va a quedar exactamente igual que x por cualquiera que sea la transformación lineal de este vector base es el vector canónico entonces déjame ponerlo así x por la función lineal aquí esta función se está aplicando a este vector para que no perdamos la notación la función lineal aplicada al vector 10 ok y a esto sumarle diez veces que multiplica la función lineal a lo que quiera que nos den la función aplicada al otro vector pase al vector 01 y bueno tal vez te sea mucho más claro si lo aplicó para un ejemplo tal vez sea más fácil si le pongo un valor a este vector x m así que voy a decir que este vector x que va a ser y vamos a ponerle un cierto valor voy a decir que esto va a ser igual al vector 21 vamos a ver qué pasa cuando le aplicamos la transformación a este vector entonces si buscamos sobre la cuadrícula donde está el punto 2 1 este punto en particular y después le aplicamos la transformación quiero que siga en este punto para ver dónde cae iba a terminar justo aquí bien entonces en términos de la cuadrícula anterior es decir la cuadrícula original con la que comenzamos el punto está ahora en 3 ahí es donde terminamos pero lo importante y lo que quiero que noten es que sigue siendo dos veces el vector verde más una vez el vector rojo así que satisfacen esta propiedad de x por cualquiera que sea la versión transformada de este vector base 10 más que por la versión transformada del segundo vector va a ser 0 1 entonces si hacemos un pequeño resumen lo más importante es que cuando tengamos un tipo de matriz como ésta que tengo aquí pueden considerarla como una transformación del espacio que mantiene a las rectas de la cuadrícula paralelas y uniformemente separadas y ese es un tipo muy especial de transformación es una propiedad muy restrictiva para tener una función que manda puntos bidimensionales a otros puntos bidimensionales y la manera conveniente de codificar esa idea es que el lugar donde cae ese primer vector va a ser el que comienza con una unidad a la derecha está representado por la primera de esta matriz y el lugar donde cae el segundo vector base en el que está apuntando con una unidad hacia arriba está codificado por la segunda columna de la matriz y si esto les parece totalmente desconocido o quieren aprender más acerca de esto pueden ver los vídeos que he hecho anteriormente pero en términos de la matriz hakobyan am y tener un sentido geométrico para esa matriz que es a donde vamos con este pequeño resumen que di sobre álgebra lineal debería de ser suficiente para ponernos en marcha y con esto los veremos en el siguiente vídeo