El determinante del Jacobiano

en este vídeo quiero hablar acerca de algo que se llama el determinante hakobyan o 10 más o menos lo que suena es el determinante de una matriz pero no de cualquier matriz va a ser el determinante de la matriz segoviana de la que les he estado hablando en los vídeos anteriores pero antes de que pasemos a ese tema sólo quiero dar un pequeño repaso de cómo plantear el determinante en sí solo en un contexto ordinario de álgebra lineal así que si estoy planteando el determinante de alguna matriz digamos que tenemos el determinante de una cierta matriz y no sé me voy a tomar la matriz una sencilla la matriz que tiene en su primera columna 30 y en la segunda columna 1 ok entonces me voy a tomar el determinante de esta matriz y como nos tomábamos el determinante de una matriz bueno esto era igual y lo que hacíamos era lo siguiente me tomaba la multiplicación de la diagonal que va hacia abajo es decir la multiplicación de 3 por 2 entonces me quedaban 3 por 2 ya esto le teníamos que quitar ya esto le tenemos que quitar la multiplicación de la otra diagonal que en este caso es 1 por 0 entonces me quedaría menos 1 por 0 y bueno en este caso es simple 3 por 2 menos uno por cero es lo mismo que 6 así que mi resultado sería 6 pero sin duda hay mucho más que un solo cálculo que está pasando aquí lo que quiero que veamos es que hay una intuición geométrica verdaderamente agradable por ejemplo si pensamos en esta matriz que tengo aquí como una transformación lineal como algo que va a tomar a este primer vector base 30 sobre las coordenadas 30 y este segundo vector va a ser sobre las coordenadas 1 2 ustedes saben si estamos pensando en columnas entonces pueden pensar en el determinante como una medición de que tanto esta transformación estiran o aplasta el espacio y en particular notarán que tengo esta región amarilla resaltada observa esta región que tiene una unidad cuadrada es decir tenemos un cuadrado con longitudes laterales de 1 usuarias de 1 podemos compararla ahora con lo que sucede después de la transformación si me pregunto qué tanto se estira o se encoge esta área la respuesta es que se va a estirar por un factor justo de 6 del determinante es decir todas las áreas que podríamos dibujar cualquier tipo de forma no solamente esta área cuadrada cualquier área que nosotros pensemos se va a estirar por un factor de 6 y realmente podemos comprobar esto viendo este paralelogramo observamos el cuadrado se convirtió en este paralelogramo que tiene una base de 3 y luego tiene una altura de 2 entonces 3 por 12 6 esto tiene que ver con el hecho de que estamos multiplicando aquí 3 por 2 así que ahora vamos a pensar en que podría significar esto pero en esta ocasión en el contexto de lo que estado describiendo en los vídeos anteriores si recuerdan tenemos una función multi variable en que se podía escribir de la siguiente manera era una función de dos componentes en la cual en la primera componente tenemos a efe uno de xy era una función multi variable con dos variables xy y mi segunda entrada era también una función de estas dos mismas variables le habíamos llamado f 2 f 2 también de x james y le habíamos dado un cierto valor a estas funciones habíamos dicho que esto era exactamente igual que el vector que tiene como entradas y bueno la primera función era lo mismo que la función x el seno de iu el seno de bien y la segunda función era bien más el seno de más el seno de x esto era lo que representaban estas dos funciones y la idea era que esta función no es del todo lineal va a ser todo bastante curvo y complicado en cambio si nos acercamos alrededor de una región en particular que recuerdan era representada por la región que tenemos atrapada en el cuadro amarillo este cuadro amarillo es un acercamiento entonces al aplicarle la transformación se ve como una transformación inicial de hecho puedo reproducir esto hacia adelante y podemos ver que aunque todo está alojado dentro de esta versión ampliada las cosas se ven ligeramente como una función lineal notarán que tengo este cuadro amarillo resaltado al interior y este cuadro amarillo corresponde a la unidad cuadrada que estaba indicada en la animación anterior y de nuevo es solo el marcador como algo que podemos ver para saber qué tanto se estira el área de cualquier cosa en esta región así que en este caso particular cuando reproducimos la animación realmente no cambian tanto se estiran un poco pero no es tan drástico así que si conocemos la matriz que describe la transformación de este acercamiento el determinante de esta matriz nos va a decir por qué factor las áreas alrededor de este punto tienden a este de assen y en particular pueden pensar este pequeño cuadrado amarillo y el factor por el cual se estira entonces vamos a recordarlo la matriz que describe la transformación ampliada era el jacob ya no déjame ponerlo aquí el jaco piano que tenía como componente es bueno la primera componente era la derivada parcial de la primera función esto con respecto a x recuerdas y en la segunda componente tenemos la derivada parcial de la segunda función también con respecto a x ok esto en la primera columna y luego en la segunda columna en la primer componente tenemos la parcial de la primera función con respecto a g en la segunda componente tenemos la parcial de la segunda función de f 2 con respecto también ayer ok esta era mi matriz hakobyan y ahora lo que vamos a querer es calcular su determinante ahora recuerdan si evalúan cada una de estas derivadas parciales en un punto en particular independientemente del punto al cual nos acerquemos en este caso era el menos 2,1 una vez que introducen esos datos a esta matriz lo único que obtienes es una matriz llena de números ahora lo que resulta ser una cosa bastante útil cosa que veremos más adelante en los conceptos de cálculo multivariable es sacar el determinante de esta matriz para analizar qué tanto el espacio se está estirando o aplastando en esta región así que en el vídeo anterior trabajamos esto para este ejemplo particular y llegamos a que esta matriz la podríamos escribir de la siguiente manera la podríamos escribir como la matriz que tienen en la primera componente de la primera columna el valor de 1 que es la derivada de esta función con respecto a x me quedaría simplemente 1 y de igual manera la segunda componente de la segunda columna me queda 1 la derivada de esta función con respecto ayer es simplemente 1 mientras que de este lado íbamos a obtener el coche no de x porque observan estamos tomándonos la derivada de la segunda función con respecto a x entonces simplemente tengo que derivar esta función con respecto a x y me quedaría el coseno de x y por otra parte acá arriba también me va a quedar el cose no pero ahora que ya el coche no deje esto porque estamos derivando esta función con respecto a gemma y yo lo que quiero en este vídeo es encontrar el determinante de esta matriz así que vamos a escribirlo pero el determinante de bueno de todo esto que tengo aquí y el determinante de todo esto que tengo aquí va a ser simplemente como acabamos de recordar multiplicar lo que hay en la diagonal entonces me quedaría uno por uno lo cual es simplemente 1 entonces aquí tengo uno ya esto hay que quitarle la multiplicación de la otra diagonal que es coser no de x por jose no te llama jose no de x por coseno de y ahora nosotros nos estamos fijando en un punto en particular en el punto menos 21 entonces déjame escribirlo quiero encontrar este determinante en el punto donde x vale menos 2 y donde ya vale 1 entonces vamos a sustituir por x igual a menos 2 y menos uno justo aquí en este caso tengo uno menos el seno de menos dos pero el coste no de menos dos lo calcula antes de empezar este vídeo tú puedes hacerlo con tu calculadora y ver que en efecto me den el valor de menos 0.42 ok esto lo voy a multiplicar por el coseno de 1 aquí me quedaría el coseno de 1 pero también ya lo calculado anteriormente y toman el valor de 0.54 de hecho esto lo vimos en el vídeo pasado recuerdas 0.54 y cuando multiplico estos dos obtengo aproximadamente el valor de menos 0.22 7 que cuando lo multiplicó por este menos se convierte en más y cuando lo sumo con un hombre me queda que todo esto de aquí todo esto de aquí es simplemente 1.227 esto evaluado en este punto recuerda lo que estamos haciendo es obteniendo el determinante total evaluado en el punto menos 21 y entonces obtenemos que es aproximadamente a 1.227 así que esto les está diciendo que las áreas alrededor de ese punto tienden a estirarse por ese factor y esa especie de rectas terminan en lo que veremos veremos que las áreas se estiran tal vez un poco pero no tanto cierto solo por un factor de 1.2 ahora vamos a compararlo con otro punto se me ocurre tomarnos el punto donde x es igual a 0 y es igual a 1 así que aquí en lugar de menos 2 voy a poner que x sea igual a 0 déjame ponerlo con este color para que veas que lo cambiamos y entonces que voy a obtener bueno ya no voy a obtener este valor de aquí es cierto lo que voy a obtener ahora es lo siguiente me va a quedar 1 - el coseno de 0 y bueno el coseno de 0 es 1 por el coseno de uno que habíamos dicho que era 0.54 ok pero uno por 0.54 0.54 y uno menos eso es simplemente 0.46 así que todo esto se reduce a 0.46 ahora que cambiamos de punto y porque estoy cambiando de punto porque observa a causa del determinante de este jacob ya no estoy obteniendo un número menor que un hombre alrededor del punto cero uno esto nos está diciendo que deberíamos esperar áreas que se aplasten justamente deberían de plantarse por un factor de 0.46 y veamos esto parece correcto si estamos viendo la versión ampliada alrededor de ese punto y las áreas deberían de tender a contraerse alrededor de ese punto y de hecho lo hacen vean que se aplastan parece que por bastante y gracias a nuestro cálculo podemos concluir que se redujeron proporcional justamente por un factor de 0.46 esto es lo que significa el determinante así que como dije esto es en realidad una noción muy agradable en todo el cálculo multivariable y es que vive en un pequeño entorno local alrededor del punto y si solamente quieren tener un sentido general para esta función como una transformación que tiende a estirar esa región o aplastarlos juntos entonces esa función es el determinante de la matriz hakobyan a la cual nos dice que tanto cambien las áreas alrededor de este pequeño entorno y con esto los veo en el siguiente vídeo