La fórmula explícita del laplaciano

digamos que tenemos una función multi variable efe que depende de x 1 x 2 y digamos que puede depender de muchísimas variables verdad digamos hasta una x n donde x n es digamos donde n es un número muy muy grande verdad entonces aquí nuestro nuestro espacio de entradas es de n dimensiones que puede ser muy grande y nosotros sabemos cómo calcular lo vimos en el vídeo anterior cómo calcular el aplazando de nuestra función en febrero esto esencialmente es la divergencia del campo gradiente de efe y por supuesto el campo gradiente es un campo vectorial al cual podemos digamos sacarle la divergencia verdad esta es la idea de la plastia no y en este vídeo lo que quiero hacer es mostrarte otra fórmula de lo que de cómo calcular el aplasia no digamos que es es una fórmula mucho más directa para lo cual vamos a considerar nuestro digamos nuestra especie de vector que es el este triangulito nav la verdad que es el que tiene las derivadas parciales con respecto a todas las variables verdad entonces aquí sería al respecto de x 1 parcial respecto de x2 y tenemos hasta la parcial respecto de la última que sería x n verdad entonces si nosotros queremos calcular el gradiente de f tenemos que imaginar que hacemos esta multiplicación del operador no habla con efe verdad y esto simplemente sería como una especie de multiplicación verdad en donde obtenemos un vector ahora sí en donde tenemos tenemos la derivada parcial con respecto de x1 de nuestra función f la derivada con respecto de x2 de nuestra función escalar efe y así continuamos verdad obtenemos todas las derivadas parciales hasta llegar a la última derivada parcial que es respecto de x n de nuestra función f verdad y aquí es este es el gradiente de nuestra función ahora bien sólo para hacerlo rápido voy a borrar esto de aquí y ahora pensamos en la divergencia que esencialmente es este este operador no habla cuando aplicamos el producto punto con este vector que es el gradiente de febrer entonces la idea es que tomamos digamos coordenada coordenada las multiplicamos y luego las sumamos verdad entonces cuál sería la primera tendríamos la derivada con respecto de x1 de la derivada con respecto de x1 de f verdad eso sería la segunda derivada con respecto de x1 ambas veces de nuestra función efe ahora sí vamos con el segundo término verdad que tendríamos que sumar tendríamos otra vez la segunda derivada con respecto de x2 ambas veces verdad de nuestra función f y así podríamos ir sumando hasta llegar al último término verdad que es esta que es la segunda vamos a corregir el color que es la segunda derivada con respecto de la última variable x n de nuestra función f verdad entonces esta es una fórmula para el laplace ya no que de hecho podríamos incluso escribirlo de forma más compacta de esta forma utilizando la anotación sigma entonces aquí tenemos el la plastia no de f verdad que simplemente va a ser la suma y esta suma la expresamos con sigma mayúscula verdad la suma desde igual a uno hasta n de las segundas derivadas parciales de f con respecto de la variable y es verdad esto es de nuestra función f y esta es una forma más compacta de escribir al la plastia no de nuestra función f verdad entonces a veces la gente utiliza variables como x jay-z en realidad no importa el nombre que le demos a las variables el punto es que es la suma de las segundas derivadas parciales verdad y aquí tenemos una fórmula alterna para lo que es el la plaza no pero a mí personalmente me gusta más escribir la plaza no como la divergencia del gradiente de nuestra función porque indica muchas más ideas por ejemplo la idea de donde se encuentran los máximos y los mínimos verdad ahora bien esta fórmula anterior que hemos obtenido es quizás más directa cuando tenemos que calcular casos particulares que se nos presentan en el camino y al menos aquí es mucho más claro cómo es que la plastia no es es una extensión de la idea de la segunda derivada verdad bueno nos vemos en el próximo vídeo