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Funciones armónicas

Si el laplaciano de una función es cero en todas partes, entonces se dice que la función es armónica. Las funciones armónicas aparecen todo el tiempo en la física, y capturan una cierta noción de "estabilidad", siempre que un punto del espacio se encuentre influenciado por sus vecinos.

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Transcripción del video

hola a todos aquí me gustaría hablar de las funciones armónicas muy bien entonces en este vídeo vamos a hablar de las funciones armónicas que en realidad son un tipo muy especial de funciones de varias variables y se definen en términos del la plaza no verdad entonces recordemos que nosotros ya hemos definido en los vídeos anteriores en la plastia no de una función que puede depender de varias variables en este vídeo vamos a pensar en una función de dos variables y esto lo definimos como la divergencia del gradiente de nuestra función f y por supuesto esto lo evaluamos en el punto que nos interese verdad entonces esto ya hemos discutido que digamos que extiende la la idea de la segunda derivada verdad entonces las funciones armónicas se definen en términos de la plastia no y vamos a decir que una función es armónica si su la plastia no es cero en todos los puntos de nuestro espacio de entrada si algunas personas para enfatizar que se da en todos los puntos xy digamos en el espacio de entradas le ponen una tercera línea esto enfatiza que se debe cumplir en todo x es decir que la plaza no es idénticamente 0 entonces en realidad esto no representa una ecuación sino afirma algo de nuestra función f que estamos considerando y para pensar digamos un poquito en la intuición de lo que son las funciones armónicas pensemos en las funciones escalares es decir que toman una variable de entrada y una varias y tendremos una sola salida verdad entonces pensemos en el caso en una función escalar es decir consideramos la segunda derivada de nuestra función y que esto sea cero en todos los puntos de digamos de entrada verdad entonces si nosotros pensamos en esto a la hora de integrar esta función es decir pensamos en aquellas funciones cuya derivada verdad es 0 verdad y eso querría decir que son las funciones constantes entonces el hecho de que la segunda derivada sea 0 siempre significa que la primera derivada es constante en todos lados y nuevamente si integramos tendremos que nuestra función f x sería igual a c por x más cualquier otra constante entonces típicamente esto se ve como una función lineal verdad es decir la gráfica de nuestra función es esencialmente una línea recta entonces esto esto tiene mucho sentido verdad si por ejemplo le damos una interpretación a la segunda derivada verdad porque por ejemplo si tuviéramos otro caso en donde no nuestra función no fuera una línea sino que se viera no sé quizás más o menos algo así verdad entonces cuando tenemos este caso aquí tenemos una parte en donde es como cóncava hacía bajo verdad y esto ocurre siempre que la segunda derivada de f negativa en cambio en esta parte donde tenemos concavidad hacia arriba tendremos que la segunda derivada de nuestra función es positiva verdad para tener la concavidad hacia arriba en cambio si la segunda derivada es siempre cero entonces no puede curvarse verdad no podemos tener concavidad hacia abajo ni concavidad hacia arriba así que la única forma que tenemos es una línea recta verdad no puede curvarse ahora bien si usamos la idea de una función de varias variables entonces aquí es en donde se puede poner mucho más interesante que estas funciones lineales aquí tengo una gráfica verdad que es la gráfica de una función armónica y en realidad es la gráfica de la siguiente función tenemos la función f x y lo voy a hacer mejor con verde con verde entonces tenemos la función f de x y esta es la función e elevado a la x que multiplica al seno de iu muy bien entonces esta es la función que tenemos aquí graficada y al fijarnos en la gráfica de aquí espero que esto tenga mucho más sentido de porque esto es más o menos algo como ea la x por seno de verdad entonces a medida que nos movemos en la dirección de x verdad si nos movemos en esta dirección esencialmente tenemos esta forma exponencial que vemos aquí verdad entonces lo único que ocurre es que esto está haciendo x otra cosa que es una función de ye verdad entonces si mantenemos allí constante en realidad esto se ve como una constante verdad entonces notemos que si esa constante fuera negativa verdad si el seno del en algún punto resulta ser negativo entonces toda nuestra función exponencial en realidad se va hacia abajo verdad entonces es cómo era la equis verdad pero al revés y verdad así que si imaginamos que ahora nos mueve en la dirección de verdad en vez de la dirección x si nos movemos a lo largo de la dirección de verdad vemos que tenemos esta forma si no se nos oirá la verdad entonces esto tiene sentido porque tenemos el seno de jeff y depende la digamos la amplitud depende de quién sea ea la equis verdad la amplitud de esta onda va a depender de la equis y será muy alta en puntos en donde ella la equis sea muy grande verdad pero será muy pequeña cuando ella la equis sea muy muy pequeño así que de hecho es muy difícil de notar lo que se está ocurriendo por aquí verdad así que esta es la gráfica que estamos mirando y yo afirmo que esta función es armónica verdad es decir que ésta es una función cuyo la plastia no es igual a cero verdad entonces recordemos cómo es que podemos calcular esto nosotros sabemos que en la plastia no verdad de una función en la plaza no de una función en cualquier punto se puede calcular bueno por supuesto como la divergencia del gradiente pero tenemos otro método para calcular lo que es sumar la segunda derivadas parciales de nuestra función entonces sumamos la segunda derivada parcial de f con respecto de x ambas veces y la segunda derivada de f con respecto de ambas veces y si tuviéramos más variables pues entonces sumaríamos más segundas derivadas parciales y yo afirmo entonces que esto es igual a cero y por supuesto esto se puede quedar como un ejercicio para ti verdad es muy fácil y se sirve que te familiarizas con el cálculo de la plastia no y lo interesante aquí es ver cómo se interpreta este hecho verdad el hecho de que la plastia no se anule en todos lados entonces otra forma de interpretar a la segunda derivada es de esta forma verdad si por ejemplo nos fijamos en esta parte de aquí de nuestra función esta parte digamos está curvando de esta forma es cóncava hacia abajo entonces por ejemplo pensemos en este punto máximo de por aquí entonces este punto máximo de por aquí en realidad es porque todos digamos en puntos vecinos de nuestra función tendremos que el valor bajo la función menor a este máximo verdad justamente por eso es por eso es máximo pero también una forma de pensar a la segunda derivada es de la siguiente forma tenemos que la segunda derivada en nuestro punto x0 que pensamos por ejemplo que es el máximo esto resulta ser negativo verdad entonces qué es lo que ocurriría digamos si estamos de este lado bueno de este lado ocurre exactamente lo contrario en lugar de tener una segunda derivada negativa vamos a tener una segunda derivada positiva verdad en este caso sería una segunda derivada positiva entonces imaginamos otra situación en donde tengamos también nuestros ejes verdad y ahora tenemos una función que más o menos se ve así es decir que no tengamos mínimos y máximos si tenemos un punto digamos x0 en este caso tendremos un punto x0 verdad y éste es digamos el valor de su función entonces podemos tomar un punto a la izquierda y un punto a la derecha que se encuentra en más o menos a la misma distancia de x verdad entonces nos fijamos en sus valores aquí está el valor de este punto y acá estaría el valor de este otro punto verdad entonces en este caso la segunda derivada de la función evaluada en el punto x0 es positiva verdad justamente por esta idea de concavidad hacia arriba sin embargo podemos ver que del lado derecho esta función crece muchísimo lo cual nos dice que en promedio la función tiende a ser mayor en sus vecinos que le digamos tiende a ser mayor en los vecinos de x0 en promedio verdad y la razón por la cual digo esto es porque la idea de la plastia no y en el mundo de las funciones de varias variables eso es mejor tratar de entenderlas de esta forma así que si nos fijamos en esta función y lo vemos desde arriba como si fuéramos volando verdad tenemos nuestro plano xy con el eje x el eje y y nos fijamos en cualquier punto de entrada específico entonces para entender a la plastia no pensemos primero en círculos alrededor de este punto entonces pensamos en todos los vecinos que se encuentran sobre este círculo perfecto es decir aquellos que están a una distancia específica del punto de interés verdad así que la pregunta que vamos a responder con el la plastia no es bueno si tenemos nuestros vecinos en promedio van a tomar valores mayores o menores que nuestro punto original y de hecho así fue como hicimos la introducción de la plaza no en el vídeo original en donde estábamos dando cierta intuición para este operador verdad nos preguntamos alrededor de nuestros puntos de entrada que ocurre resultan tomar valores mayores o menores en promedio verdad y si nos fijamos en un punto en donde la plaza no de la función tiene un valor positivo digamos en este punto eso significa que todos los vecinos tienden a ser en promedio mayores que nuestro punto verdad bajo la función así que si nos fijamos en el punto en donde la plaza no de la función es más chico que 0 entonces todos los vecinos en promedio tienden a tener menores valores bajo la función verdad es por eso que en este caso nuestro punto tiende a parecerse más a un máximo local verdad si por ejemplo en la playa no fuera mayor que serán un punto entonces en realidad se vería un poquito más parecido a un mínimo porque todos los vecinos tendrían un valor mayor que lo que es en el punto original pero las funciones armónicas son muy especiales porque nos está diciendo que el valor de la función en sí mismo digamos el valor de la plaza no de la función en todo punto es igual a cero es decir en promedio verdad en cualquier punto posible los vecinos van a tomar en promedio el mismo valor que este punto de aquí es decir la altura de la gráfica por arriba de estos vecinos será en promedio el mismo así que si nos fijamos por ejemplo en la gráfica esto es lo que significa verdad si nos fijamos en un punto de entrada sabemos que la salida de este punto verdad se va a parecer más o menos a todos los demás alrededor es decir a este círculo de vecinos si los proyectamos sobre la gráfica esto significa que la altura de todos estos puntos en el círculo en promedio son los mismos verdad no importa donde nos fijemos y nuevamente te invito a que te fijes en esta función y realmente calcule ese la plaza no para convencerte de que es cero en todos lados pero lo que es interesante es que al fijarnos en la x por el seno de verdad el valor promedio de este círculo en estos puntos verdad siempre va a ser igual al valor del punto central esto no es algo que sea tan fácil de ver a partir de la fórmula pero en realidad no es un cálculo tan complicado como para que podamos hacer esta conclusión verdad que es muy muy muy interesante y esto en realidad aparece siempre en la física así que por ejemplo si estamos calentando algo y queremos describir cómo es que el calor digamos en un punto dado de un cuarto está relacionado con el valor promedio del calor de sus puntos vecinos verdad en realidad podríamos pensar en muchísimas otras circunstancias verdad donde tengamos un punto en el espacio físico y qué pensar en algo acerca de ese punto no sé quizás la tasa a la cual cierta propiedad cambia o cómo se cómo podríamos corresponder lo con el valor promedio de sus puntos alrededor de él verdad así que siempre que estemos relacionando vecinos con nuestro punto original en la plastia no va a aparecer y las funciones armónicas tienen esta tendencia a corresponder con cierta noción de estabilidad verdad pero ya no vamos a hablar mucho más en detalle de todo esto en realidad esto empieza a introducirse en el tema de las ecuaciones diferenciales parciales pero al menos en el contexto del cálculo de varias variables quería darte un indicio un poquito de intuición de cómo en interpretar este operador verdad y tratar de interpretar esto en términos físicos y geométricos bueno con esto terminamos y nos vemos en el próximo vídeo