Idea intuitiva detrás del laplaciano

en este vídeo vamos a hablar de la plastia no muy bien vamos a hablar de la upla ya no y en la playa no es un operador digamos de la misma forma que la divergencia el gradiente el rotacional o incluso de la misma forma que otros operadores de derivadas son son cosas que toman funciones y nos devuelven otra función verdad en este caso digamos que tenemos una función multi variable efe que depende de xy así que puedes imaginar que esta es su gráfica verdad más o menos es algo así aquí tenemos el plano xy y todos estos puntos digamos son la altura que obtenemos al evaluar la función en cada punto verdad así que la plastia no vamos a denotar a la plastia no de esta forma con este triángulo y nos va a dar una nueva función escalar que depende de xy de y así que esto nos devuelve una nueva función que toma entradas en dos dimensiones y con salidas en una sola dimensión verdad y es como una segunda derivada porque la forma en la que se define es tomando la divergencia del gradiente en nuestra función efe así que esta es la forma en cómo está definida la divergencia del gradiente df y una notación más común que podrías ver es tomar este operador nav la verdad y hacer el producto punto con el gradiente de f así que si recuerda que si f es una función escalar verdad entonces el gradiente de f nos da un campo vectorial y dado un campo vectorial la divergencia de ese campo vectorial nos devuelve una nueva función escalar verdad en este sentido es como una segunda derivada pero veamos si podemos entender intuitivamente lo que esto significa porque el gradiente nos indica la dirección del ascenso más pronunciado así que si tenemos el campo vectorial en el espacio de entradas de d efe verdad y cada uno de estos vectores apunta en la dirección en la que deberíamos caminar para que al ir sobre la gráfica como digamos como una colina nos indique la dirección en la que deberíamos incrementar de forma más rápida a la altura verdad y si esto quizás no te resulta familiar deberías de checar los vídeos que tenemos sobre gradientes y gráficas y cómo se relacionan y en este ejemplo específico cuando tenemos la cima de una colina todos los puntos alrededor de digamos la dirección en la que deberíamos caminar es justo hacia la cima verdad mientras que si tenemos digamos como un valle entonces todas las direcciones en las que deberíamos caminar sería al incrementar la función de forma más rápida verdad justamente alejarnos de este valor lo que podríamos llamar que es un mínimo local así que vamos a quitar la gráfica vamos a fijarnos sólo en el campo gradiente ok y ahora vamos a pensar qué es lo que la divergencia representa para este campo entonces imaginamos que este campo vectorial corresponde al flujo de digamos agua o moléculas de aire o algo así en cualquier momento estos digamos se están moviendo siguiendo los vectores a los cuales están anclados entonces por ejemplo si tenemos esta partícula de agua y se mueve más o menos de esta forma siguiendo los vectores que tenemos cerca verdad parece que termina en este punto y eso ocurre con todas las moléculas por aquí cerca verdad en cambio cuando se van alejando digamos como el caso de aquí abajo verdad este es una este es un indicador de que la divergencia es positiva verdad justamente porque divergen así que en este caso de abajo tenemos que divergencia es positiva mientras que en el caso anterior todas las moléculas de agua están convergiendo hacia un punto verdad y eso nos indica que la divergencia es negativa y podríamos tener otra área digamos algo más o menos como este punto central en donde tenemos moléculas de agua que entran pero también están saliendo verdad y aquí quizás no parece que entren a la misma velocidad o quizás más lento o más rápido pero esto más o menos podríamos pensar que es divergencia cero así que vamos a tratar de entender qué significa ahora cuando hablamos de la divergencia del gradiente así que vamos a quitar todas estas marcas que hemos hecho vamos a quitar todo esto y entonces ahora nos preguntamos por qué estos vectores se están alejando entonces si ponemos la gráfica nuevamente las razones por qué están apuntando hacia afuera porque están siguiendo la dirección del ascenso más pronunciado mientras que en el caso contrario donde la divergencia es muy negativa esto ocurre porque los puntos convergen hacia el verdad y porque convergen hacia el bueno porque el campo gradiente nos indica cómo movernos en la dirección en la que crece más rápido y por lo tanto llegaríamos a la cima de la colina en otras palabras la divergencia del gradiente será muy alto en puntos en donde tendremos algo como mínimos es decir que todo alrededor de ellos tiende a ser más alto pero la divergencia del gradiente es baja en puntos que parecen como máximos es decir donde alrededor de esos puntos la función es más pequeña entonces el operador laplace ya no es como una medida de que tanto es un punto un mínimo verdad y será muy positivo cuando f evaluado en ese punto tiende a ser un valor más pequeño que los valores que toman f en sus vecinos verdad pero será muy negativo cuando f evaluada en ese punto tiende a ser más grande que sus vecinos y esto sería digamos como el análogo a la segunda derivada en cálculo ordinario verdad en donde tenemos digamos alguna especie de gráfica de una función de una sola variable verdad y entonces la segunda derivada de f será muy baja será negativo en puntos donde parece que es un máximo local pero la segunda derivada de la función será positiva en puntos donde se parece a un mínimo local así que de esta forma en la plastia no es como una especie de análogo de la segunda derivada para funciones multi variables escalar en el próximo vídeo vamos a ver un ejemplo de todo esto que hemos mencionado