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Transcripción del video

en este vídeo vamos a hablar de él la plaza tian bien vamos a hablar de la upla llano y en la plaza no es un operador digamos de la misma forma que la divergencia el gradiente el rotacional o incluso de la misma forma que otros operadores de derivadas son cosas que toman funciones y nos devuelven otra función verdad en este caso digamos que tenemos una función multivariable efe que depende de xy llegue así que puedes imaginar que éste su gráfica verdad más o menos es algo así aquí tenemos el plano y quille y todos estos puntos digamos son la altura que obtenemos al evaluar la función en cada punto verdad así que la plaza ya no vamos a derrotar a la plaza ya no de esta forma con este triángulo y nos va a dar una nueva función escalar que depende de x ideye así que esto nos devuelve una nueva función que toma entradas en dos dimensiones y con salidas en una sola dimensión verdad y es como una segunda derivada porque la forma en la que se define es tomando el la divergencia del gradiente de nuestra función efe así que a esta es la forma en cómo está definida la divergencia el gradiente df y una anotación más común que podrías ver es tomar este operador nada la verdad y hacer el producto punto con el gradiente df así que sí recuerda que si esa es una función escalar verdad entonces el gradiente df nos da un campo vectorial y dado un campo vectorial la divergencia de ese campo vectorial nos devuelve una nueva función escalar verdad en este sentido es como una segunda derivada pero veamos si podemos entender intuitivamente lo que esto significa porque el gradiente nos indica la dirección del ascenso más pronunciado así que si tenemos el campo vectorial en el espacio de entradas de df verdad y cada uno de estos vectores apunta en la dirección en la que deberíamos caminar para que al ir sobre la gráfica como digamos como una colina nos indique la dirección en la que deberíamos incrementar de forma más rápida a la altura verdad y si esto quizás no te resulta familiar deberías checar los vídeos que tenemos sobre gradientes y gráficas y cómo se relacionan y en este ejemplo especificó cuándo tenemos la cima de una colina todos los puntos alrededor de él digamos la dirección en la que deberíamos caminar es justo hacia la cima verdad mientras que sí tenemos digamos como un valle entonces todas las direcciones en las que deberíamos caminar sería al incrementar la función de forma más rápida verdad justamente alejarnos de este valor lo que podríamos llamar que es un mínimo local así que vamos a quitar la gráfica vamos a fijarnos sólo en el campo gradiente que ya ahora vamos a pensar qué es lo que la divergencia representa para este campo entonces imaginamos que este campo vectorial corresponde al flujo de digamos agua o moléculas de de aire o algo así en cualquier momento estos digamos están moviendo siguiendo los vectores a los cuales están anclados entonces por ejemplo si tenemos esta partícula de agua y se mueve más o menos de esta forma siguiendo los vectores que tenemos cerca verdad parece que termina en este punto y eso ocurre con todas las moléculas por aquí cerca verdad en cambio cuando se van alejando digamos como el caso de aquí abajo verdad esta es una este es un indicador de que la divergencia es positiva verdad justamente por que divergen así que por en este caso de abajo tenemos que la divergencia es positiva mientras que en el caso anterior todas las moléculas de agua están convergiendo hacia un punto verdad y eso nos indica que la divergencia es negativa y podríamos tener otra área digamos algo más o menos como este punto central en donde tenemos moléculas de agua que entran pero también están saliendo verdad y aquí quizás no parece que entren a la misma velocidad o quizás más lento más rápido pero esto más o menos podríamos pensar que es divergencia ser así que vamos a tratar de entender qué significa ahora cuando hablamos de la divergencia del gradiente así que vamos a quitar todas estas marcas que hemos hecho vamos a quitar todo esto y entonces ahora nos preguntamos por qué estos vectores están alejando entonces si ponemos la gráfica nuevamente la razón es porque están apuntando hacia fuera porque están siguiendo la dirección del ascenso más pronunciado mientras que en el caso contrario donde la divergencia es muy negativa esto ocurre porque los puntos convergen hacia el verdad y porque convergen hacia el bueno porque el campo gradiente nos indica cómo movernos en la dirección en la que crece más rápido y por lo tanto llegaríamos a la cima de la colina así que en otras palabras la divergencia del gradiente será muy alto en puntos en donde tendremos algo como mínimos es decir que todo alrededor de ellos tiende a ser más alto pero la divergencia del gradiente es baja en puntos que parecen como máximos es decir donde alrededor de esos puntos las funciones más pequeña entonces el operador la plaza no es como una medida de que tanto es un punto un mínimo verdad y será muy positivo cuando es evaluado en ese punto tiende a hacer un valor más pequeño que los valores que toma efe en sus vecinos verdad pero será muy negativo cuando efe valuada en ese punto tiende a ser más grande que sus vecinos y esto sería digamos como el análogo a la segunda derivada en cálculo ordinario verdad en donde tenemos digamos alguna especie de gráfica de una función de una sola variable verdad y entonces la segunda derivada de f será muy baja será negativo en puntos donde parece que es un máximo local pero la segunda derivada de la función será positiva en puntos donde se parece a un mínimo local así que de esta forma en la plaza no es como una especie de análogo de la segunda derivada para funciones multivariable es escalar en el próximo video vamos a ver un ejemplo de todo esto que hemos mencionado