La curvatura de una hélice (parte 1)

calculemos la curvatura de una curva tridimensional y la que tengo en mente se le conoce como hélice y las primeras dos componentes de la función que describe a la hélice la hacen parecer un círculo entonces primero tendremos coseno de t luego tendremos seno de t y finalmente vamos a poner t sobre 5 y la forma en la que se ve podríamos visualizarla muy bien aquí tenemos la gráfica y esta figura se le conoce como hélice y puedes ver cómo desde el plano xy desde esa perspectiva todo parece como si estuviéramos dibujando un círculo aquí por supuesto las líneas deberían estar bien alineadas pero como estamos trabajando con un poco de perspectiva bueno algo se ve como un espiral verdad pero en realidad debería dibujarse un círculo ahora bien la componente zeta debido a que se está incrementando a medida que el parámetro t también va incrementándose entonces estamos como elevando nos es como como una escalera en espiral de verdad o de caracol ahora antes de calcular la curvatura queremos saber en realidad qué es lo que esto representa digamos podríamos imaginarnos no sé que estamos en un camino o quizás en el espacio digamos que estamos en una nave espacial verdad podríamos imaginar que toda nuestra maquinaria en algún punto se atasca verdad no podríamos usar ningún control digamos ni el volante o lo que sea que que maneje esta nave espacial verdad y entonces vamos a tener una trayectoria en círculo verdad y ese círculo podría parecerse más o menos a algo así así que si estuviéramos girando digamos en esta hélice de verdad pero de repente no podemos hacer nada simplemente trazaremos un gran círculo verdad y digamos lo que nos incumbe aquí es hablar del radio de este círculo y si tomamos uno entre el radio de ese círculo que hemos trazado entonces obtenemos la curvatura y así es como obtenemos nuestra curvatura y que denotamos con capa minúscula verdad y en realidad cuando calculamos directamente la curvatura no hablamos de este círculo verdad pero de hecho es algo muy bueno que deberíamos tener en mente y para calcularlo en realidad necesitamos tener primero el vector tangente a la curva en cada punto d de esta misma curva verdad es decir en esencia si nosotros pensamos en nuestra hélice y por supuesto no soy tan bueno dibujando hélices como la computadora verdad pero pues este vector tangente tendremos un vector tangente unitario en cada uno de los puntos de esta curva y eso es lo que está representado con el vector tdt o la función vectorial tdt verdad entonces esto ya sabemos cómo calcularlo en realidad es el vector derivada de nuestra función vectorial es verdad y tendrá que ir dividido entre su propia norma ya que su magnitud verdad ya que de esta forma lo hacemos unitario verdad tiene magnitud 1 y por supuesto nuestro objetivo final será calcular la derivada de este vector tangente pero no con respecto al parámetro t sino con respecto a la longitud de arco así que primero vamos a calcular quién es nuestro vector derivada el vector derivada simplemente será derivar cada una de las entradas de este vector así que la derivada del coche no es menos seno de t la derivada del seno de t es coseno de t y la derivada de t en 35 es simplemente un quinto entonces aquí tenemos este vector y ahora simplemente calculemos la norma de este vector verdad que será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes verdad entonces el cuadrado de este componente sería seno cuadrado de t el cuadrado de éste que es coseno cuadrado de t más el cuadrado de un quinto que es 1 sobre 25 muy bien y quizás notes que suelo utilizar las funciones seno y cosenos quizás por un lado es porque suelen dibujar círculos y esos son bonitos o también porque simplifican las cosas verdad en realidad el seno cuadrado más el coseno cuadrado es uno verdad entonces de aquí lo que obtendremos es la raíz cuadrada de 1 más 1 sobre 25 muy bien y de hecho podríamos hacer todavía esto más simple verdad porque uno es 25 sobre 25 y le sumaremos 1 sobre 25 lo cual nos da 26 sobre 25 verdad entonces aquí tendremos la raíz cuadrada de 26 sobre 25 y podríamos incluso distribuir la raíz cuadrada en esta división verdad tendríamos la raíz cuadrada de 20 dividido entre la raíz cuadrada de 25 que es 5 y como vimos esto se puede poner un poco la tos o en otros ejemplos pero en este en particular es fácil verdad pues la norma es simplemente una constante entonces si nosotros regresamos de este lado vemos que la norma de esto es sólo una constante y podemos decir que tdt es simplemente nuestro vector original que teníamos dividido entre la norma que como vimos es raíz de 26 sobre 5 entonces tendremos que la primer componente es menos seno de t dividido entre la raíz de 26 sobre 5 que es la norma nuestra segunda componente voy a hacer esto todavía un poquito más amplio nuestra segunda componente será coseno de t dividido entre este numerito que es raíz de 26 sobre 5 y finalmente tendremos un quinto un quinto dividido entre la raíz de 26 sobre 5 bien ahí tenemos quién es nuestro vector tangente unitario en cada punto de la curva y mejor vamos a pararle hasta aquí en este vídeo vamos a continuar con el cálculo de la curvatura de la hélice en el próximo vídeo