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Transcripción del video

lo que tenemos aquí son tres funciones distintas la primera es una función multi variable porque tiene dos variables de entrada verdad y tiene sólo una salida verdad las otras dos son funciones digamos tradicionales de una variable de entrada y una salida verdad y lo que quiero hacer en este vídeo es pensar en la composición de estas funciones es decir vamos a tomar la función x dt como la primera componente de la entrada de la función entonces tendríamos la función f evaluada en x dt como primera componente y también vamos a evaluar en la función 7 como segunda componente verdad y digamos la imagen que puedes hacerte en la cabeza para entender estas composiciones que digamos de alguna forma nuestra variable t vive en la recta verdad vive en la recta y luego tendremos una función que digamos nos manda a la variable t en el plano verdad tendremos el plano el plano x de verdad y tenemos entonces una función que nos manda a la recta oa la variable de verdad en el plano y finalmente tendremos otra función que nos manda el plano en nuestro espacio de salidas verdad que la representamos con nuestra función entonces a final de cuentas lo que queremos hacer es calcular la derivada de esta composición y cómo podemos darnos cuenta en realidad es una derivada ordinaria verdad porque a final de cuentas tenemos una sola entrada que es nuestra variable t&c y tenemos una sola salida así que es una derivada ordinaria y en realidad para hacer esto podríamos utilizar lo que se conoce como la regla de la cadena multidimensional o multi variable verdad pero en realidad en este ejemplo no la vamos a necesitar y digo no es que nunca se utilice la regla de la cadena verdad en realidad es una herramienta teórica muy útil para comprender la composición de funciones y comprender cómo son los cambios verdad es decir cómo son las derivadas de esas composiciones de funciones entonces lo primero que podríamos hacer nosotros aquí es justamente sustituir quién es x dt y t entonces en esencia tendremos nuestra función f evaluada en la primera función que es coseno de t y en la función seno de verdad como segunda componente y recordemos que queremos calcular la derivada de esa función verdad ahora bien nosotros podríamos sustituir coseno de t y seno de t en la función verdad entonces tendríamos x cuadrada que en este caso sería coseno de t todo esto elevado al cuadrado y luego multiplicamos por de verdad que en este caso sería el seno de t y esto es lo que queremos derivar con respecto a nuestra variable t y entonces en este momento quizás te estarás preguntando por qué te estoy mostrando cómo tomar una derivada de una función tradicional y es que en realidad esta derivada nos da la idea de cómo es la regla de la cadena multivariable entonces si nosotros hacemos esta derivada verdad podríamos digamos tomar esto como la derivada de un entonces la derivada de un producto sería la primera verdad el primer factor por la derivada de la segunda verdad del segundo factor que en este caso sería la derivada del seno de t que es coseno de t entonces multiplicamos por el coseno de t más ahora tendremos que derivar esta primera verdad y multiplicar por la segunda entonces la derivada de esta primera sería dos veces el coseno de verdad aquí aquí en esencia lo que estamos haciendo es la regla de la cadena aquí podríamos pensar que es x cuadrada verdad y al derivar x cuadrada sería 2 veces x y luego por la derivada de x que es la derivada del coseno dt verdad entonces sería dos veces coseno de t por la derivada del coseno de teques - el seno de t y todo esto multiplicando a todo esto estará multiplicando seno de t seno de t muy bien entonces voy voy simplemente a copiar esto mismo aquí abajo pero lo voy a arreglar voy a cambiar el orden para que podamos ver un patrón muy interesante entonces aquí será dos veces el coseno de t ahora voy a multiplicar por el seno de t y esto va a multiplicar a menos el seno de t en esencia lo único que hice fue invertir el orden de estos factores ahora bien esta es la derivada de una composición de funciones y lo que quiero hacer ahora es simplemente una observación en términos de las derivadas parciales de nuestra función efe muy bien entonces vámonos más más abajo de hecho voy a seleccionar esto de aquí para copiarlo y pegarlo más abajo y vamos a pegar lo más abajo muy bien solo para que lo tengamos muy presente y ahora vamos a calcular las derivadas parciales muy bien calculemos entonces las derivadas parciales tendremos la derivada parcial de f con respecto de x en este caso x será nuestra variable y sería una constante derivamos esto respecto de xy nos da 2x por la constante que en este caso es de y ahora calculamos la derivada parcial de la función con respecto a iu y esto nos da bueno pues si x cuadradas como una constante derivamos ye y eso es 1 y simplemente nos da nuestra constante que es x cuadrada y este patrón que tenemos con las derivadas parciales aparece en el resultado que obtuvimos anteriormente por ejemplo aquí tenemos 2x porque si en lugar de poner x ponemos coseno de t y en lugar de ye ponemos seno de t justamente aparece aquí y es por eso que quise invertir el orden para que fuera mucho más claro verdad ahora bien en la equis cuadrada aparece justo de este lado verdad sería x cuadrada y aquí x es coseno de t entonces se vuelve coseno cuadrado de t muy bien y por supuesto falta determinar quiénes son los otros factores y eso lo podemos hacer derivando la función x con respecto a t y derivando la función con respecto a t entonces si derivamos x tendremos la derivada del coseno que es menos seno es - seno de t y la derivada de con respecto a que sería la derivada del seno de t que sería coseno de t entonces justamente menos seno de t aparece aquí y coseno de t aparece acá verdad entonces al menos en este ejemplo parece ser que la derivada de nuestra composición se ve de la siguiente forma se ve como la derivada parcial de f con respecto de y verdad multiplicando a la derivada de que la derivada de y con respecto a t verdad que es coseno de t y tenemos otro sumando que sería esto de aquí que es la derivada parcial de f con respecto a x que multiplica a menos seno de t que en este caso sería la derivada de x con respecto a de verdad y por supuesto cuando digo aquí la derivada parcial de f respecto de y respecto de x en realidad esto tiene que ir evaluado en los valores que tenemos para xy ya que en este caso son funciones y son coseno de t y que de verdad son justamente estas funciones de las que estamos hablando y en realidad esta fórmula que acabamos de obtener esta fórmula que acabamos de obtener tiene un nombre y se le conoce como regla de la cadena multivariable incluso podríamos ponerlo digamos en general tenemos que la derivada con respecto de la composición de f evaluada en la función x de t y así digamos en general se puede calcular como la derivada parcial de nuestra función f con respecto a x verdad multiplicando a la derivada de la función x con respecto a t verdad y luego sumamos la derivada parcial de f con respecto a y multiplicando a la derivada de g con respecto a t por supuesto aquí solamente hemos invertido el orden de los sumandos pero no debe causar ningún problema y en realidad existe una versión más general de la regla de la cadena pero digamos esto que hemos obtenido aquí es el caso más simple verdad que podemos tomar en donde en realidad empezamos con una dimensión verdad tenemos una dimensión luego pasamos a dos dimensiones con una función verdad y luego regresamos a una dimensión en el próximo vídeo voy a de la intuición de por qué esta fórmula de la regla de la cadena es cierta en general verdad o al menos para funciones que sean que podamos derivar verdad y aquí vimos un ejemplo y mostramos que resultaba ser cierto pero pero en realidad hay un bonito razonamiento detrás de por qué esta fórmula es cierta también hablaré de una forma digamos generalizada en donde usaremos una notación vectorial y se verá mucho más limpio y quizás también después veamos un argumento más formal de por qué esto es cierto nos vemos en el siguiente vídeo