Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:9:33

Transcripción del video

lo que tenemos aquí son tres funciones distintas la primera es una función multivariable porque tiene dos variables de entrada verdad y tiene sólo una salida verdad las otras dos son funciones digamos tradicionales de una variable de entrada y una salida verdad y lo que quiero hacer en este vídeo es pensar en la composición de estas funciones es decir vamos a tomar la función x dt como la primera componente de la entrada de la función entonces tendríamos la función efe evaluada en x dt como primera componente y también vamos a evaluar en la función 7 como segunda componente verdad y digamos la imagen que puedes hacerte en la cabeza para entender esta composición es que digamos de alguna forma nuestra variable te vive en la recta verdad vive en la recta y luego tendremos una función que digamos nos manda a la variable t en el plano verdad tendremos aquí el plano el plano x de verdad y tenemos entonces una función que nos manda a la recta o a la variable de verdad en el plano y finalmente tendremos otra función que nos manda el plano en nuestro espacio de salidas verdad que la representamos con nuestra función efe bien entonces a final de cuentas lo que queremos hacer es calcular la derivada de esta composición y cómo podemos darnos cuenta en realidad es una derivada ordinaria verdad porque a final de cuentas tenemos una sola entrada que es nuestra variable te hice y tenemos una sola salida así que es una derivada ordinaria y en realidad para hacer esto podríamos utilizar lo que se conoce como la regla de la cadena multidimensional o multivariable verdad pero en realidad en este ejemplo no la vamos a necesitar y digo no es que nunca se utiliza en la regla de la cadena verdad en realidad es una herramienta teórica muy útil para comprender la composición de funciones y comprender cómo son los cambios verdad es decir cómo son las derivadas de esas composiciones de funciones entonces lo primero que podríamos hacer nosotros aquí es justamente sustituir quienes xd t-jet entonces en esencia tendremos nuestra función efe evaluada en la primera función que es coseno dt y en la función seno de verdad como segunda componente y recordemos que queremos calcular la derivada de esa función verdad ahora bien nosotros podríamos sustituir coseno dt y cenó dt en la función verdad entonces tendríamos x cuadrada que en este caso sería coseno dt todo esto elevado al cuadrado y luego multiplicamos por de verdad que en este caso sería el seno de té y esto es lo que queremos derivar con respecto a nuestra variable t y entonces en este momento quizás te estarás preguntando por qué te estoy mostrando cómo tomar una derivada de una función tradicional y es que en realidad está derivada nos da la idea de cómo es la regla de la cadena multivariable entonces si nosotros hacemos está derivada verdad podríamos digamos tomar esto como la deriva de un producto verdad entonces la deriva de un producto sería la primera verdad el primer factor por la deriva de la segunda verdad o del segundo factor que en este caso sería la derivada del seno dt que es coseno dt entonces multiplicamos por el coce no dt más ahora tendremos que derivar esta primera verdad y multiplicar por la segunda entonces la derivada de esta primera sería dos veces el coce no dt verdad aquí aquí en esencia lo que estamos haciendo es la regla de la cadena y podríamos pensar que es x cuadrada verdad y al desestimar x cuadrada sería dos veces x y luego por la deriva de x que es la derivada del cocinó dt verdad entonces sería dos veces coseno dt por la derivada del cose no dt que es menos el seno de té y todo esto multiplicando a todo esto estará multiplicando a seno de té al seno del pp muy bien entonces voy voy simplemente a copiar esto mismo aquí abajo pero lo voy a arreglar voy a cambiar el orden para que podamos ver un patrón muy interesante entonces aquí será dos veces el coce no dt ahora voy a multiplicar por el seno de té y esto va a multiplicar a menos el seno de tenencia lo único que hice fue invertir el orden de estos factores ahora bien esta es la derivada de una composición de funciones y lo que quiero hacer ahora es simplemente una observación en términos de las derivadas parciales de nuestra función efe bien entonces vámonos más más abajo de hecho voy a seleccionar esto de aquí para copiarlo y pegarlo más abajo que íbamos a pegarlo más abajo muy bien sólo para que lo tengamos muy presente y ahora vamos a calcular las derivadas parciales muy bien calculemos entonces las derivadas parciales tendremos la derivada parcial df con respecto de x en este caso x era nuestra variable yesería una constante derivamos esto respecto de x y nos da dos equis por la constante que en este caso llegue y ahora calculamos la derivada parcial de la función con respecto a ayer y esto nos da bueno pues si x cuadrado es como una constante derivamos ye y eso es uno y simplemente nos da a nuestra constante que es x cuadrada y este patrón que tenemos con las derivadas parciales aparece en el resultado que obtuvimos anteriormente por ejemplo aquí tenemos dos equis purgue si en lugar de poner x ponemos coseno dt y en lugar de ye ponemos seno dt justamente aparece aquí es por eso que quise invertir el orden para que fuera mucho más claro verdad ahora bien el la x cuadrada aparece justo de este lado verdad sería x cuadrada aquí y aquí x es coseno dt entonces se vuelve coseno cuadrado dt muy bien y por supuesto falta determinar quiénes son los otros factores y eso lo podemos hacer derivando la función x con respecto a t y derivando la función llegue con respecto a t entonces y derivamos x tendremos la deriva del coce no que es menos en no es menos seno de té y la derivada de ye con respecto a te sería la deriva del seno dt que sería coseno dt entonces justamente menos en dónde te aparece aquí y cosenos dt aparece acá verdad entonces al menos en este ejemplo parece ser que la deriva de nuestra composición se ve de la siguiente forma se ve como la derivada parcial df con respecto de ye verdad multiplicando a la derivada de ye la deriva de ye con respecto a que verdad que es coseno dt y tenemos otros sumando que sería esto de aquí que es la derivada parcial df con respecto a x que multiplica a - el nuevo dt que en este caso sería la derivada de x con respecto a de verdad y por supuesto cuando digo aquí la derivada parcial df respecto de lleó respecto de x en realidad esto tiene que ir evaluado en los valores que tenemos para y si llegué en este caso son funciones y son coseno dt y llegue de verdad son justamente estas funciones de las que estamos hablando y en realidad esta fórmula que acabamos de obtener esta fórmula que acabamos de obtener tiene un nombre y se le conoce como regla de la cadena multivariable incluso podríamos ponerlo digamos en general tenemos que la derivada con respecto a tec de la composición df evaluada en la función xd te pille dt así digamos en general se puede calcular como la derivada parcial de nuestra función efe con respecto a x verdad multiplicando a la deriva de la función x con respecto a 'the verdad y luego sumamos la derivada parcial df con respecto ayer multiplicando a la derivada de gec con respecto a t por supuesto aquí solamente y hemos invertido el orden de los humanos pero no debe causar ningún problema y en realidad existe una versión más general de la regla de la cadena pero digamos esto que hemos obtenido aquí es el caso más simple verdad que podemos tomar en donde en realidad empezamos con una dimensión verdad tenemos una dimensión luego pasamos a dos dimensiones con una función verdad y luego regresamos a una dimensión en el próximo video voy a hablar de la intuición de por qué esta fórmula de la regla de la cadena es cierta en general verdad o al menos para funciones que sean que podamos derivar verdad y aquí vivimos un ejemplo y mostramos que resultaba ser cierto pero pero en realidad hay un bonito razonamiento detrás de por qué esta fórmula es cierta también hablaré de una forma digamos generalizada en donde usaremos una anotación vectorial y se verá mucho más limpio y quizás también después veamos un argumento más formal de por qué esto es cierto nos vemos en el siguiente vídeo