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La regla de la cadena multivariable y las derivadas direccionales

Transcripción del video

en el último vídeo introduje la forma vectorial de la regla de la cadena y digamos solo para recordar de qué trata todo esto pues pensemos en esta función efe que aquí pusimos 100 variables de entrada pero en realidad no importaba realmente el número de variables de entrada verdad entonces digamos tenemos este espacio que tiene 100 dimensiones y por supuesto no puedo yo visualizar si en dimensiones pero no importa digamos aquí tenemos este espacio con 100 dimensiones o incluso si quieres digamos contextualizar lo más pensando pensemos que tiene dos en realidad esto es irrelevante verdad y esta función lo que hace es tomar este espacio de 100 dimensiones y transformarlo en la recta verdad que es justamente nuestro espacio de salida verdad y más aún acá arriba tenemos otro espacio verdad el espacio de entradas de la variable de verdad entonces tenemos una función que estas digamos esta variable t hilo y más bien transforma esta recta y la manda a este espacio de 100 dimensiones verdad entonces la forma en la que pensamos esta composición de funciones verdad sería algo así como una función f que en lugar de poner estas 100 variables ponemos nuestra función vectorial vedete verdad vedete es una función que a cada t le asigna un punto en este espacio de 100 dimensiones y está dado de esta forma verdad allí por supuesto aquí lo que queremos hacer es ver cómo sería la derivada de esta función y en realidad eso está dado por esta fórmula que ya pudimos escribir desde el vídeo anterior verdad ahora bien esta fórmula nos dice que hay que tomar el gradiente de la función f evaluarla en nuestra función vedette y hacer el producto punto con la derivada de la función vectorial vedete donde por supuesto la función o más bien la derivada de esta función vectorial verdad la deriva con respecto a ti pues simplemente es calcular la derivada de cada una de estas componentes verdad entonces sería la derivada de la primer componente la derivada de la segunda y así nos seguimos hasta llegar a la última verdad a la última a la derivada de la última componente muy bien y lo que quiero hacer en este vídeo es ver cómo es que esto se parece un montón a la derivada direccional muy bien entonces de hecho te recomiendo que veas el vídeo sobre la derivada direccional para que puedas repasar un poco de qué trata y en esencia la derivada direccional nos decía lo siguiente tomábamos un punto p digamos consideremos este vector p que se encuentra en nuestro espacio de entrada es verdad y tomemos algún vector w tomemos un vector wv de este vector w será la dirección en la que nos vamos a mover en este espacio de entrada es verdad y decíamos bueno un pequeño cambio en esta dirección w cómo es que va a afectar en el cambio de nuestra efe verdad esa es la idea que trata de abordar la derivada direccional verdad entonces de hecho la respuesta está dada justamente por la derivada direccional verdad que escribimos como un gradiente con un subíndice con el subíndice de w que es la dirección en la que nos movemos y vamos a calcular esta derivada direccional en el punto o el vector que nos interesa que es p verdad y nosotros ya vimos que esto se calcula como el gradiente de nuestra función evaluada en ese punto y hacemos el producto punto con el vector wv verdad entonces si nosotros observamos esta fórmula de la derivada direccional y observamos la de la regla de la cadena en digamos multivariable en realidad podemos ver que estas dos cosas se parece en verdad se parecen muchísimo de hecho esta fórmula que tenemos aquí voy a hacer un poco de espacio lo podemos justamente reescribir en términos de la derivada direccional verdad entonces si nos damos cuenta de esto lo podríamos ver como derivada direccional de nuestra función verdad en este caso será en la dirección del vector b prima de t verdad será en la dirección del vector de prima de t y tendremos que evaluar en el punto v de t en el punto verde y esta es una forma muy bonita y digamos compacta en la que podemos escribir la regla de la cadena multivariable pero utilizando derivadas direccionales en entonces si quisiéramos pensar de qué trata esto digamos déjenme borrar por ejemplo todo esto que tenemos aquí vamos a borrar todo esto para que tengamos espacio para deducir por qué tiene tanto sentido pensar en derivadas direccionales muy bien entonces en esencia lo que está haciendo la función vedette es que cada uno de estos puntos te lo asocia con un punto en este espacio de 100 dimensiones entonces quizás se ve algo así es una una curva digamos y si ahora pensamos digamos en un punto o brt es decir un punto de esta curva aquí tenemos el punto de dt verdad pues la forma en la que podemos pensar a la derivada de esa función en este punto particular es justamente como tangente verdad a esta curva y que nos indica esencialmente la dirección en la que nos estamos moviendo verdad entonces porque tiene sentido pensar a la regla de la cadena digamos en términos de derivadas direccionales bueno recordemos que es lo que significa esto estamos calculando la derivada con respecto a t de esta función verdad quiere decir que tomamos un pequeño empujoncito en este espacio donde vive la variable de verdad estamos haciendo un pequeño cambio y esto causa un pequeño cambio también en la dirección de nuestra curva verdad y esto causa un pequeño cambio en nuestro espacio de 100 dimensiones verdad y será ese cambio en la dirección de la derivada de la función vectorial b y al mismo tiempo esta derivada indica cómo nos estamos moviendo pero luego esto este pequeño movimiento también cambia la salida de nuestra función efe verdad y eso es lo que dicta la derivada direccional aquí tendríamos este cambio en f verdad y eso es lo que dicta la derivada direccional de hecho por eso la notación que a veces se utiliza para denotar a la derivada direccional es justamente como si fuera una derivada parcial con respecto a la dirección en la que nos estamos moviendo verdad esencialmente es hacemos un pequeño cambio en la dirección del vector w y vemos cómo cambia la salida de nuestra función y luego calculamos la proporción verdad y hacemos entender un límite a cero entonces si nos damos cuenta toda esta esta serie de composiciones y de cambios es es una forma muy bella de comprender la regla de la cadena multivariable verdad pues estamos pensando en esta curva que está digamos siendo recorrida en este espacio de 100 dimensiones verdad está descrita por la función de dt y la dirección y la rapidez con la que nos movemos determina el cambio en la salida verdad así que espero que con esto tengamos una mejor idea del qué es la regla de la cadena y la derivada direccional