Idea intuitiva detrás de la regla de la cadena multivariable

en el último vídeo introduje lo que es la regla de la cadena multi variable y en este vídeo quiero explicar por qué es cierta digamos con un poquito de intuición así que la forma en la que podemos pensar una expresión como esta digamos tenemos esta función efe que depende de dos variables digamos x y verdad así que vamos a poner esto en nuestro digamos en una especie de espacio de entradas aquí tenemos el plano x de verdad y como siempre estaríamos pensando en una transformación de este espacio digamos a el espacio de salidas que es la recta en este caso verdad aquí está nuestro espacio de salidas y por otro lado tenemos este otro espacio en donde vive nuestra variable de verdad y estaríamos pensando que cada punto de este espacio verdad a través de otra transformación la enviamos a este espacio intermedio verdad que es el plano x de verdad entonces tendremos que pensar a esta función verdad que nos manda digamos a este plano x tendríamos que pensarlo como una función que tiene una salida de dos dimensiones verdad una entrada y dos salidas muy bien entonces al pensarlo de esta forma resulta al final en una función que toma una variable de entrada verdad y hasta el final tenemos una de salida así que el único detalle es que tenemos un intermediario multidimensional verdad entonces si nosotros queremos pensar en su derivada pensamos en este punto por ejemplo de aquí y hacemos un pequeño cambio un empujoncito en nuestra variable t verdad entonces pensamos en un pequeño empujoncito dt por supuesto que esto va a provocar otro empujoncito en nuestra salida entonces por ejemplo si tenemos aquí nuestro punto de salida luego hacer un poquito más para acá verdad a lo mejor esto nos dará otro empujón en este espacio y lo estoy pintando digamos un poco grande aunque tenemos que pensarlo como un pequeño empujón pero lo pinto grande para que se vea claro y pueda yo dibujar y complementar esta idea verdad ahora bien este empujón que tenemos en en esta digamos en este plano verdad provocará a la hora de aplicar la siguiente transformación un punto y un último empujoncito pero en el espacio de salidas para efe verdad entonces aquí tendremos un empujoncito un d efe verdad y si nos ponemos a pensar en este paso intermedio tenemos está digamos este movimiento o esta este pequeño cambio que también podemos descomponerlo en sus componentes verdad aquí esto nos provocará un pequeño cambio en equis y un pequeño cambio en verdad y en realidad no es no es un cambio arbitrario en realidad es el cambio que se genera debido a nuestro pequeño cambio en dt verdad entonces en realidad nosotros podríamos pensar nuestro cambio en x verdad podríamos pensar nuestro cambio en x que sea proporcional a nuestro cambio ente y si nos ponemos a pensar en cuál sería ese factor que hace este cambio en x debido al cambiante pues eso tendría que ser digamos ese factor tendría que ser la derivada de nuestra función x dt verdad con respecto a t verdad este es el factor que nos dice a que corresponde un pequeño empujoncito en la dirección x verdad y de hecho por eso es que muchas personas lo piensan como si fuera una como si fueran fracciones y como si pudiéramos cancelarlo verdad aunque bueno esto nada más es una regla digamos esa es algo nemotécnico es para que podamos recordar cómo se comporta esto y por supuesto también podríamos pensar esto mismo pero en la dirección de verdad nuestro pequeño cambio en que tendrá que ser proporcional a nuestro cambio ente verdad y ese factor de proporcionalidad sería la derivada de jake con respecto a t muy bien eso es digamos el nuestro cambio en la dirección y es por eso que es bastante útil escribirlo como fracciones verdad esto es en realidad en the limits además de que digamos de que es algo útil desde el punto de vista técnico también refleja lo que se hace cuando usamos un argumento más formal y que seguro veremos en algún vídeo posterior muy bien entonces finalmente si nos preguntamos por el cambio final en nuestra función efe pues tendremos un cambio en x verdad que se produce tendremos tendremos más bien un cambio en nuestra función efe verdad pero que se produce por el cambio en x bien y eso por supuesto tendrá que ser proporcional a la derivada parcial de nuestra función efe con respecto a la variable x verdad entonces este cambio que estoy anotando aquí este cambio aquí es debido nuestro cambio en x debido a de x muy bien y por supuesto nuevamente también tendremos un cambio en nuestra función f debido al cambio y entonces tendremos nuestro cambio en f verdad será que digamos este será debido a nuestro cambio en verdad esto será proporcional al cambio en g y el factor de proporcionalidad será la derivada parcial de f con respecto a la variable de verdad entonces si nosotros juntamos estos dos digamos y juntamos todo al al final hay dos cosas que están provocando un cambio en f verdad así que vamos a ver cómo se vería nuestro cambio en f nuestro cambio ene efe sería por un lado nuestro cambio debido al cambio en x verdad entonces esto sería la derivada parcial de f con respecto a x por de x pero de x ya vimos que es proporcional al cambio en dt y donde este este factor es la derivada de x con respecto de t entonces hay que multiplicar la derivada de x con respecto a ate y luego multiplicamos por dt y todo esto es nuestro cambio debido al cambio en x ahora debemos sumar también nuestro cambio debido al cambio en verdad es decir tendremos que sumar la derivada parcial respecto de y por déja pero de jay ya vimos que es la derivada de que con respecto a t por nuestro cambiante verdad entonces tendremos tendremos que multiplicar esto por la derivada de jake con respecto a t por de t muy bien entonces este es digamos la forma en la que podemos ver el cambio de nuestra función verdad entonces nosotros lo que podríamos hacer es dividir todo esto entre de verdad podríamos dividir todo esto entre dt y si dividimos de este lado tenemos que dividir también de este otro lado entre dt así que a quitar todo esto quitemos todo esto pongamos aquí el signo más digamos en medio vamos a ponerlo aquí y entonces aquí hemos obtenido nuevamente la fórmula que bueno digamos con lo que habíamos iniciado el vídeo pero esta es la fórmula de la regla de la cadena multivariable verdad entonces justamente en estas partes se ven como podrían incluso también cancelar se de equis y de verdad para expresar nuestro cambio en nuestra función f verdad pero bueno espero que esto te haya ayudado a tener una mejor intuición de la regla de la cadena y de cómo pensamos en pequeños cambios consecutivos verdad a medida que vamos componiendo nuestra función creo que esto da una muy buena idea de por qué la regla de la cadena es cierta