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Transcripción del video

en el último par de vídeos hablé de la regla de la cadena multivariable y que he anotado aquí arriba y en este vídeo quiero escribirlo connotación vectorial y esto nos ayudará a generalizar lo para cuando tengamos un espacio intermedio o intermediario más bien cuando este espacio tengan más dimensiones así que en lugar en lugar de escribir x dt 7 como funciones separadas pensaremos en una función que toma valores vectoriales muy bien entonces vamos a tomar estas funciones y las vamos a poner en una sola función que tome valores vectoriales que vamos a escribir digamos como vedete muy bien y esto será un vector que por supuesto cada componente dependerá de t verdad y digamos cada componente será x dt dt muy bien entonces como podemos ver aquí en nuestra fórmula de la regla de la cadena multivariable aparece la derivada de xy la derivada de y así que sería bueno pensar por ahora cuál sería la derivada de esta función digamos esta función que toma valores vectoriales verdad así que la derivada de una función que toma valores vectoriales y que tiene solo una variable de entrada pues simplemente será derivar cada una de las entradas verdad entonces será la derivada de x con respecto a t la derivada de jake con respecto a t así que éstas son sus componentes muy bien entonces viendo esta fórmula verdad quizás ahora puedas reconocer qué es lo que encontramos aquí aquí tenemos la derivada de x respecto de t múltiple multiplicado por una por un número verdad y aquí tenemos la derivada de y con respecto a t multiplicada por otro número en realidad esto lo podemos ver como un producto punto verdad entonces esto lo podríamos ver como el producto punto de dos vectores podríamos poner aquí nuestro primer vector que tiene coordenadas parcial de f con respecto de x y parcial de f con respecto de y ese sería nuestro primer vector y el producto punto con un segundo vector que será el que tiene las derivadas ordinarias verdad es la derivada de x con respecto a t y la derivada de ye con respecto a t muy bien este producto punto nos da la fórmula que tenemos arriba pero además estos vectores no son elegidos digamos al azar verdad de hecho este vector que tenemos aquí es el gradiente de nuestra función y esto es justamente la derivada de la función que acabamos de escribir de este lado entonces esto en realidad será igual al gradiente de nuestra función f verdad y lo multiplicamos y cuando decimos multiplicamos es con un producto punto por la derivada verdad que voy a escribir así la derivada de nuestra función b y lo escribo así sólo para acordarnos del caso de digamos de las funciones tradicionales verdad entonces esto que tenemos de aquí es la fórmula de la regla de la cadena pero en su versión vectorial verdad es otra forma de escribir la regla de la cadena multivariable y de hecho para ser más precisos tenemos que decir dónde van evaluados verdad entonces en realidad el gradiente de nuestra función f verdad recordemos va evaluado en nuestras funciones verdad x de tdt o bien que podemos poner como ddt verdad va evaluado en esta función y hacemos el producto punto con la derivada de nuestra función vectorial ve muy bien y esto esto en realidad debería resultarte familiar verdad cuando nosotros teníamos el caso de funciones escalares verdad por ejemplo si quisiéramos calcular la derivada voy a hacerlo con otro color la derivada con respecto de x de una composición digamos f compuesta digamos de esta forma con la función g x verdad entonces nosotros sabemos que hay que derivar la función digamos que está afuera o la función exterior y evaluarla en nuestra función que está dentro la función interior y luego multiplicamos por la derivada de la función que estaba adentro verdad ésta la reglada de la cadena tradicional verdad y que de hecho es muy útil para calcular un montón de derivadas entonces si nosotros comparamos con esta nueva fórmula de la de la regla de la cadena vemos otra vez que es la misma idea de verdad tenemos la derivada de nuestra función f y como ya hemos mencionado la derivada de una función de varias digamos variables de entrada y con una variable de salida es decir una una función escalar verdad está representada por el gradiente de la función y tendrá que ir evaluado en la función o tendrá que ir evaluada en la función que tendríamos aquí adentro que es nuestra función de dt y luego tenemos que multiplicar por la derivada de la función de adentro que es la derivada de b pero en este caso la multiplicación de funciones pues en realidad tiene que ser el producto punto porque estamos hablando de vectores verdad y esta fórmula nos ayudará a generalizar cuando tengamos más dimensiones entonces por ejemplo digamos que tenemos alguna función f pues no sé quizás tiene por decir algo cien cien coordenadas de entrada muy bien tenemos 100 variables de entrada digamos desde x1 y x2 hasta x 100 verdad y digamos que tenemos una nueva función vectorial vedete digamos que esta función pues van a ser 100 funciones verdad va a ser la función x1 dt x2 dt y así nos seguimos hasta x dt muy bien entonces sí nos damos cuenta ahora con este digamos con esta nueva nuevo espacio intermediario verdad el que tiene 100 si en coordenadas verdad entonces con esta con este nuevo espacio esta fórmula aún tiene sentido verdad el gradiente de nuestra función efe ahora tendrá 100 componentes verdad y tendremos que evaluarlas en esta función verdad y luego multiplicamos por la derivada de esta función que también tendrá 100 componentes por lo tanto si podemos hacer y el producto punto así que ese es el único detalle verdad el gradiente tendrá 100 entradas la derivada de nuestra función vectorial b también verdad así que esta es la versión más general de la regla de la cadena y lo que es genial de esta forma en la que podemos escribirla es que se puede ver en términos de la derivada direccional pero yo creo que por ahora esto es suficiente así que lo veremos en el siguiente vídeo