If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:5:25

Transcripción del video

en el último par de videos hable de la regla de la cadena multivariable y que ha notado aquí arriba y en este vídeo quiero escribirlo con notación vectorial y esto nos ayudará a generalizarlo para cuando tengamos un espacio intermedio o intermediario más bien cuando este espacio tenga más dimensiones así que en lugar en lugar de escribir xd te pille dt como funciones separadas pensaremos en una función que toma valores vectoriales muy bien entonces vamos a tomar estas funciones y las vamos a poner en una sola función que tome valores vectoriales que vamos a escribir digamos como vedete muy bien y esto será un vector que por supuesto cada componente dependerá de té verdad y digamos cada componente será x7 billete muy bien entonces cómo podemos ver aquí en nuestra fórmula de la regla de la cadena multivariable aparece la derivada de x y la derivada de ye así que sería bueno pensar por ahora cuál sería la derivada de esta función digamos esta función que toma valores vectoriales verdad así que la derivada de una función que toma valores vectoriales y que tiene sólo una variable de entrada pues simplemente será derivar cada una de las entradas verdad entonces era la deriva de x con respecto a 'the la deriva de ye con respecto a t así que éstas son sus componentes muy bien entonces viendo esta fórmula verdad quizás ahora pueda reconocer que es lo que encontramos aquí aquí tenemos la deriva de x respecto de tech múltiple x una por un número verdad y aquí tenemos la derivada y belle con respecto a 'the multiplicada por otro número en realidad esto lo podemos ver como un producto punto verdad entonces esto lo podríamos ver cómo el producto punto de los vectores podríamos poner aquí nuestro primer vector que tiene coordenadas parcial df con respecto de x y parcial df con respecto de yale ese sería nuestro primer vector y haremos el producto punto con un segundo vector que será el que tiene las derivadas ordinarias verdad es la derivada de x con respecto a t y la derivada de ye con respecto a muy bien este producto punto nos da la fórmula que tenemos arriba pero además estos vectores no son elegidos digamos al azar verdad de hecho este vector que tenemos aquí es el gradiente de nuestra función y esto es justamente la derivada de la función que acabamos de escribir de este lado entonces está en realidad será igual al gradiente de nuestra función efe es verdad y lo multiplicamos y y cuando decimos multiplicamos es con un producto punto por la derivada verdad que voy a escribir así la derivada de nuestra función b y lo escribas y sólo para acordarnos del caso de digamos de las funciones tradicionales verdad entonces esto que tenemos de aquí es la fórmula de la regla de la cadena pero en su versión victoria la verdad es otra forma de escribir la regla de la cadena multivariable y de hecho para ser más precisos tenemos que decir dónde van evaluados verdad entonces en realidad el gradiente de nuestra función efe verdad recordemos ha evaluado en nuestras funciones verdad xd téllez de té o bien que podemos poner como vedete verdad va evaluado en esta función y hacemos el producto punto con la derivada de nuestra función vectorial ve muy bien y esto está en realidad debería resultar te familiar verdad cuando nosotros teníamos el caso de funciones escalar es verdad por ejemplo si quisiéramos calcular la derivada a hacerlo con otro color la derivada con respecto de x de una composición digamos efe compuesta digamos de esta forma con la función gdx verdad entonces nosotros sabemos que hay que derivar la función digamos que está fuera de la función exterior y evaluarla en nuestra función que está dentro la función interior y luego multiplicamos por la derivada de la función que estaba adentro verdad esta es la regla de la cadena tradicional verdad y que de hecho es muy útil para calcular un montón de derivadas entonces si nosotros comparamos con esta nueva fórmula de la dehesa de la regla de la cadena vemos otra vez que es la misma idea la verdad tenemos la deriva de nuestra función efe jgh como ya hemos mencionado la deriva de una función de varias digamos variables de entrada y con una variable de salida es decir una una función escalar verdad está representada por el gradiente de la función y tendrá que ir evaluado en la función o tendrá que ser evaluada en la función que tendríamos aquí adentro que es nuestra función dt y luego tenemos que multiplicar por la deriva de la función de adentro que es la derivada debe pero en este caso la multiplicación de funciones pues en realidad tiene que ser el producto punto porque estamos hablando de vectores verdad y ésta fórmula nos ayudará a generalizar cuando tengamos más dimensiones entonces por ejemplo digamos que tenemos alguna función efe qué pues no sé quizás tiene por decir algo 100-100 coordenadas de entrada muy bien tenemos 100 variables de entrada digamos desde x1 y x2 hasta x gent verdad y digamos que tenemos una nueva función vectorial vedete digamos que esta función pues van a ser 100 funciones verdad va a hacer la función x1 de tx2 dt y así nos seguimos hasta x100 dt muy bien entonces si nos damos cuenta ahora con este digamos con esta nueva nuevo espacio intermediario verdad él el que tiene 100 sin coordenadas verdad entonces con ésta con este nuevo espacio esta fórmula aún tiene sentido verdad el gradiente de nuestra función efe ahora tendrá 100 componentes verdad y tendremos que evaluar las en esta función verdad y luego multiplicamos por la derivada de esta función que también tendrá 100 componentes por lo tanto si podemos hacer y el producto punto así que él es el único detalle verdad del gradiente tendrá 100 entradas la deriva de nuestra función vectorial b también verdad así que esta es la versión más general de la regla de la cadena y lo que es genial de esta forma en la que podemos escribir la es que se puede ver en términos de la derivada direccional pero yo creo que por ahora esto es suficiente así que lo vemos en el siguiente vídeo