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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 3: La derivada parcial y el gradiente (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Derivadas de funciones multivariables
La derivada parcial y el gradiente (artículos)
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Las derivadas direccionales (introducción)

Google Classroom
¿Cómo cambia el valor de una función multivariable a medida que mueves el valor de entrada en alguna dirección específica?

Antecedentes

Qué vamos a construir

  • Si tienes una función de varias variables, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, y un vector en el espacio de entradas de la función, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, la derivada direccional de f a lo largo del vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top te dice la tasa de cambio f a medida que la entrada se mueve con el vector de velocidad start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Cambio en la entrada en la dirección de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
  • La notación aquí es del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, y se calcula al tomar el producto punto entre el gradiente de f y el vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, es decir, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
  • Cuando uses la derivada direccional para calcular la pendiente, primero asegúrate de normalizar el vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Generalizar las derivadas parciales

Considera una función multivariable:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y
Sabemos que las derivadas parciales con respecto a x y y nos dan la razón de cambio de f a medida que movemos la entrada ya sea en la dirección x o y.
La pregunta aquí es saber qué pasa si movemos la entrada de f en una dirección que no sea paralela al eje x o al eje y.
Por ejemplo, la siguiente imagen muestra la gráfica de f junto con un pequeño paso a lo largo de un vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top en el espacio de entrada que, en este caso, quiere decir el plano x, y. ¿Existe alguna operación que nos indique cómo se compara la altura de la gráfica por encima de la punta de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top con la altura de la gráfica por encima de su cola?
Cambio en la entrada en la dirección de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
Como seguro habrás adivinado, hay un nuevo tipo de derivada, llamada la derivada direccional, que responde esta pregunta.
Igual que como se toma la derivada parcial con respecto a alguna variable, por ejemplo x o y, la derivada direccional se toma a lo largo de algún vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top en el espacio de entrada.
Una manera muy útil de pensar acerca de esto es imaginar un punto en el espacio de entrada de la función que se mueve con una velocidad start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. La derivada direccional de f a lo largo de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top es la razón de cambio resultante en la salida de la función. Así que, por ejemplo, multiplicar el vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top por dos duplicaría el valor de la derivada direccional, ya que todos los cambios ocurrirían el doble de rápido.

Notación

Existen varias distintas notaciones para este concepto:
  • del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f
  • start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end fraction
  • f, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, prime
  • D, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, f, end subscript
  • \partial, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f
Todas estas notaciones representan lo mismo: la razón de cambio de f a medida que mueves la entrada a lo largo de la dirección de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Vamos a usar la notación del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, simplemente porque de manera sutil te da una pista de cómo calcular la derivada direccional al usar el gradiente, lo cual verás en un instante.

Ejemplo 1: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

Antes de ver la fórmula general para calcular del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, veamos cómo podemos volver a escribir la noción más conocida de una derivada parcial como una derivada direccional.
Por ejemplo, la derivada parcial start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction nos da la tasa de cambio de f a medida que movemos la entrada en la dirección de y. En otras palabras, a medida que nos movemos a lo largo del vector start bold text, j, end bold text, with, hat, on top. Por lo tanto, podríamos escribir la derivada parcial con respecto a y como start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, equals, del, start subscript, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, end subscript, f.
Simplemente estamos jugando con la notación. Lo más importante es tener una imagen mental clara de lo que la notación representa.
Pregunta para reflexionar: supón que start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top. ¿Cuál es tu mejor estimación de del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f?

Cómo calcular la derivada direccional

Digamos que tienes una función multivariable f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis) que toma tres variables de entrada, x, y y z, y quieres calcular su derivada direccional a lo largo del siguiente vector:
v⃗=[23−1] \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{2} \\ \redE{3} \\ \greenE{-1} \end{array} \right]
Resulta que la respuesta es
del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start color #bc2612, 3, end color #bc2612, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, plus, start color #0d923f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, z, end fraction
Esto debería tener sentido porque un pequeño desplazamiento a lo largo del vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top se puede dividir en start color #0c7f99, d, o, s, end color #0c7f99 pequeños movimientos en dirección de x, en start color #bc2612, t, r, e, s, end color #bc2612 en la dirección de y y uno hacia atrás, por start color #0d923f, minus, 1, end color #0d923f, en la dirección de z. En el siguiente artículo vamos a ahondar de manera rigurosa en este razonamiento.
En general, podemos escribir el vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top de manera abstracta como sigue:
v⃗=[v1v2v3] \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \redE{v_2} \\ \greenE{v_3} \end{array} \right]
La derivada direccional se ve así:
del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, plus, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, z, end fraction
Es decir, el pequeño desplazamiento en la dirección del vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top consiste de start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 veces un pequeño desplazamiento en la dirección de x, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 veces un pequeño desplazamiento en la dirección de y y start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f veces un pequeño desplazamiento en la dirección de z.
Esto puede escribirse en una forma compacta y muy agradable al usar el producto punto y el gradiente:
=∇v⃗f(x,y,z)=v1∂f∂x(x,y,z)+v2∂f∂y(x,y,z)+v3∂f∂z(x,y,z)=[∂f∂x(x,y,z)∂f∂y(x,y,z)∂f∂z(x,y,z)]⋅[v1v2v3]=∇f(x,y,z)⋅v⃗\begin{aligned} &\phantom{=}\nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(x, y, z) \\\\ &= \blueE{v_1} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) + \redE{v_2} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) + \greenE{v_3} \dfrac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\\\ \redE{v_2} \\\\ \greenE{v_3} \end{array} \right] \\\\ &= \nabla f(x, y, z) \cdot \vec{\textbf{v}} \end{aligned}
Es por esto que la notación del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript es tan sugestiva de la forma en la que calculamos la derivada direccional:
∇v⃗f=∇f⋅v⃗\begin{aligned} \nabla_{\maroonD{\vec{\textbf{v}}}} f = \nabla f \cdot \maroonD{\vec{\textbf{v}}} \end{aligned}
Tómate un momento para disfrutar el hecho de que una sola operación, el gradiente, contiene suficiente información para calcular la razón de cambio de una función en ¡cualquier dirección posible! ¡Esas son muchísimas direcciones! Izquierda, derecha, arriba, abajo, nornoreste, 34, point, 8, degrees en sentido de las manecillas del reloj a partir del eje x... ¡La locura!

Ejemplo 2:

Problema: echa un vistazo a la siguiente función.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y,
¿Cuál es la derivada direccional de f en el punto left parenthesis, 2, comma, minus, 3, right parenthesis en la dirección del vector v⃗=0.6i^+0.8j^\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \blueE{0.6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0.8} \hat{\textbf{j}} \end{aligned}?
Solución: puedes pensar acerca de la derivada direccional como una suma ponderada de derivadas parciales, como se muestra a continuación:
∇v⃗f=0.6∂f∂x+0.8∂f∂y\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}}f = \blueE{0.6} \dfrac{\partial f}{\partial x} + \redE{0.8} \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{aligned}
O bien, puedes pensar acerca de ella como el producto punto del gradiente con el vector, como se muestra a continuación:
∇v⃗f=∇f⋅v⃗\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}}f = \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}} \end{aligned}
La primera notación es más rápida, pero para practicar, vamos a ver cómo se desarrolla la interpretación del gradiente. Comenzamos por calcular el propio gradiente:
∇f=[∂f∂x∂f∂y]=[∂∂x(x2−xy)∂∂y(x2−xy)]=[2x−y−x] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\ \\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\blueE{\partial x}} (\blueE{x}^2 - \blueE{x}y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} (x^2 - x\redE{y}) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2\blueE{x} - y \\ -x \end{array} \right]
A continuación, sustituye el punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, comma, minus, 3, right parenthesis ya que este es el punto que el problema nos está preguntando.
∇f(2,−3)=[2(2)−(−3)−(2)]=[7−2]\begin{aligned} \nabla f(2, -3) = \left[\begin{array}{c} 2(2) - (-3) \\\\ -(2) \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 7 \\\\ -2 \end{array} \right] \end{aligned}
Para obtener la derivada direccional deseada, tomamos el producto punto entre este gradiente y start bold text, v, end bold text:
∇v⃗f(2,−3)=∇f(2,−3)⋅(0.6i^+0.8j^)=[7−2]⋅[0.60.8]=7(0.6)+(−2)(0.8)=2.6\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(2, -3) &= \nabla f(2, -3) \cdot \left( \blueE{0.6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0.8} \hat{\textbf{j}} \right) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} 7 \\\\ -2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{0.6} \\\\ \redE{0.8} \end{array} \right] \\\\ &= 7(\blueE{0.6}) + (-2)(\redE{0.8}) \\\\ &= 2.6 \end{aligned}

Encontrar la pendiente

¿Cómo obtendrías la pendiente de una gráfica que se interseca con un plano que no es paralelo ni al eje x ni al eje y?
Corta la gráfica en una dirección que no sea paralela a las direcciones x o y.
Puedes utilizar la derivada direccional, pero hay algo importate que debes recordar:
Si se usa la derivada direccional para calcular la pendiente, entonces start bold text, v, end bold text, with, vector, on top debe ser un vector unitario o debes recordar dividirlo entre vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
En la definición y el cáclulo de arriba, duplicar la longitud del vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top duplicaría el valor de la derivada direccional. En términos del cálculo, esto se debe a que del, f, dot, left parenthesis, 2, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, del, f, dot, v, right parenthesis.
Sin embargo la pendiente de la gráfica en la dirección de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, depende solo de la dirección de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, y no de la magnitud vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar. Veamos por qué:
¿Cómo podemos imaginar esta pendiente? Corta la gráfica de f con un plano vertical que corte al plano x, y en la dirección de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. La pendiente en cuestión es la de una recta tangente a la curva resultante. Como con cualquier pendiente, buscamos el desplazamiento vertical entre el horizontal.
Calcular la pendiente usando la derivada direccional.
En este caso, el desplazamiento horizontal será la distancia resultante de un pequeño desplazamiento en la dirección de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Podemos expresar ese desplazamiento como una suma de h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top a un punto de entrada start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, donde h representa un número pequeño. La magnitud de este desplazamiento es h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
El cambio resultante en la salida de f se puede aproximar al multiplicar este pequeño valor h por la derivada direccional:
h, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
De hecho, el desplazamiento vertical de la recta tangente (a diferencia de la gráfica de la función) es precisamente h, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, debido a este desplazamiento horizontal de tamaño h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar. Para todos los detalles de por qué esto es cierto, ve la definición formal de la derivada direccional en el siguiente artículo.
Por lo tanto, el desplazamiento horizontal entre el vertical de la pendiente de nuestra gráfica es
h∇v⃗f(x0,y0)h∣∣v∣∣=∇v⃗f(x0,y0)∣∣v∣∣\begin{aligned} \dfrac{h\nabla_{\vec{\textbf{v}}}f(x_0, y_0)}{h||v||} = \boxed{\dfrac{\nabla_{\vec{\textbf{v}}}f(x_0, y_0)}{||v||}} \end{aligned}
Observa que si start bold text, v, end bold text, with, vector, on top es un vector unitario, o sea que vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals, 1, entonces la derivada direccional sí da la pendiente de la gráfica a lo largo de esa dirección. De lo contrario, es importante recordar dividir entre la magnitud de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Algunos autores van tan lejos que incluyen la normalización en la definición de del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f.
Definición alternativa de la derivada direccional:
∇v⃗f(x)=lim⁡h→0f(x+hv⃗)−f(x)h∣∣v⃗∣∣\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(\textbf{x}) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(\textbf{x} + h\vec{\textbf{v}}) - f(\textbf{x})}{h\blueE{||\vec{\textbf{v}}||}} \end{aligned}
Personalmente, creo que esta definición pone demasiado énfasis en el caso de uso particular de encontrar la pendiente, así que prefiero usar la definición original y normalizar start bold text, v, end bold text, with, vector, on top cuando sea necesario.

Ejemplo 3: pendiente

Problema: en el escenario para este problema tenemos tres jugadores.
Jugador 1, la función:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, y, right parenthesis
Jugador 2, el punto:
left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis
Jugador 3, el vector:
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
¿Cuál es la pendiente de la gráfica de f en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis a lo largo del vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top?
Respuesta: como estamos buscando la pendiente, primero debemos normalizar el vector en cuestión. La magnitud vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar is square root of, 2, squared, plus, 3, squared, end square root, equals, square root of, 13, end square root, por lo que dividimos cada término entre square root of, 13, end square root para obtener el vector unitario resultante start bold text, u, end bold text, with, hat, on top en la dirección de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:
Ahora encuentra el gradiente de f:
Sustituye el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis en este gradiente.
Por último, toma el producto punto entre start bold text, u, end bold text, with, hat, on top y del, f, left parenthesis, pi, slash, 3, comma, 1, slash, 2, right parenthesis:

Resumen

  • Si tienes una función de varias variables, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, y un vector en el espacio de entradas de la función, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, la derivada direccional de f a lo largo del vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top te dice la tasa de cambio f a medida que la entrada se mueve con el vector de velocidad start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
  • La notación aquí es del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, y se calcula al tomar el producto punto entre el gradiente de f y el vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, es decir, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
  • Cuando uses la derivada direccional para calcular la pendiente, primero asegúrate de normalizar el vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

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