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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 3: La derivada parcial y el gradiente (artículos)

Las derivadas direccionales (introducción)

¿Cómo cambia el valor de una función multivariable a medida que mueves el valor de entrada en alguna dirección específica?

Antecedentes

Qué vamos a construir

Si tienes una función de varias variables, $f (x, y)$ ‍, y un vector en el espacio de entradas de la función, $\vec{v}$ ‍, la derivada direccional de $f$ ‍ a lo largo del vector $\vec{v}$ ‍ te dice la tasa de cambio $f$ ‍ a medida que la entrada se mueve con el vector de velocidad $\vec{v}$ ‍.

La notación aquí es $\nabla_{\vec{v}} f$ ‍, y se calcula al tomar el producto punto entre el gradiente de $f$ ‍ y el vector $\vec{v}$ ‍, es decir, $\nabla f \cdot \vec{v}$ ‍.
Cuando uses la derivada direccional para calcular la pendiente, primero asegúrate de normalizar el vector $\vec{v}$ ‍.

Generalizar las derivadas parciales

Considera una función multivariable:

f (x, y) = x^{2} - x y

Sabemos que las derivadas parciales con respecto a

x

y

nos dan la razón de cambio de

f

a medida que movemos la entrada ya sea en la dirección

x

y

La derivada parcial de

f

con respecto a

x

\frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - x y) = 2 x - y

Si evaluamos esto en algún punto, como

(2, 3)

, obtenemos lo siguiente:

\frac{\partial f}{\partial x} (2, 3) = 2 (2) - 3 = 1

¿Pero qué significa esto en realidad?

Digamos que evalúas la función original

f

en el punto

(2, 3)

f (2, 3) = (2)^{2} - (2) (3) = - 2

Ahora mueve el valor de entrada un poco en la dirección de

x

, tal vez por un valor de 0.01, moviéndola a

(2.01, 3)

. La funciona ahora se evalúa así:

\begin{aligned} f (2.01, 3) & = (2.01)^{2} - (2.01) (3) \\ = 4.0401 - 6.03 \\ = - 1.9899 \end{aligned}

El cambio total en la salida, de –2 a –1.9899, es de 0.0101. La razón entre este cambio y el tamaño del cambio en el espacio de entrada se muestra a continuación:

\frac{0.0101}{0.01} \approx 1 = \frac{\partial f}{\partial x} (2, 3)

Mientras más pequeño sea nuestro cambio original, esta razón será más cercana a

\frac{\partial f}{\partial x} (2, 3) = 1

La pregunta aquí es saber qué pasa si movemos la entrada de

f

en una dirección que no sea paralela al eje

x

o al eje

y

Por ejemplo, la siguiente imagen muestra la gráfica de

f

junto con un pequeño paso a lo largo de un vector

\vec{v}

en el espacio de entrada que, en este caso, quiere decir el plano

x y

. ¿Existe alguna operación que nos indique cómo se compara la altura de la gráfica por encima de la punta de

\vec{v}

con la altura de la gráfica por encima de su cola?

Como seguro habrás adivinado, hay un nuevo tipo de derivada, llamada la derivada direccional, que responde esta pregunta.

Igual que como se toma la derivada parcial con respecto a alguna variable, por ejemplo

x

y

, la derivada direccional se toma a lo largo de algún vector

\vec{v}

en el espacio de entrada.

Una manera muy útil de pensar acerca de esto es imaginar un punto en el espacio de entrada de la función que se mueve con una velocidad

\vec{v}

. La derivada direccional de

f

a lo largo de

\vec{v}

es la razón de cambio resultante en la salida de la función. Así que, por ejemplo, multiplicar el vector

\vec{v}

por dos duplicaría el valor de la derivada direccional, ya que todos los cambios ocurrirían el doble de rápido.

Notación

Existen varias distintas notaciones para este concepto:

$\nabla_{\vec{v}} f$ ‍
$\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}$ ‍
$f_{\vec{v}}^{'}$ ‍
$D_{\vec{v} f}$ ‍
$\partial_{\vec{v}} f$ ‍

Todas estas notaciones representan lo mismo: la razón de cambio de

f

a medida que mueves la entrada a lo largo de la dirección de

\vec{v}

. Vamos a usar la notación

\nabla_{\vec{v}} f

, simplemente porque de manera sutil te da una pista de cómo calcular la derivada direccional al usar el gradiente, lo cual verás en un instante.

Ejemplo 1: $\vec{v} = \hat{j}$ ‍

Antes de ver la fórmula general para calcular

\nabla_{\vec{v}} f

, veamos cómo podemos volver a escribir la noción más conocida de una derivada parcial como una derivada direccional.

Por ejemplo, la derivada parcial

\frac{\partial f}{\partial y}

nos da la tasa de cambio de

f

a medida que movemos la entrada en la dirección de

y

. En otras palabras, a medida que nos movemos a lo largo del vector

\hat{j}

. Por lo tanto, podríamos escribir la derivada parcial con respecto a

y

como

\frac{\partial f}{\partial y} = \nabla_{\hat{j}} f

Simplemente estamos jugando con la notación. Lo más importante es tener una imagen mental clara de lo que la notación representa.

Pregunta para reflexionar: supón que

\vec{v} = \hat{i} + \hat{j}

. ¿Cuál es tu mejor estimación de

\nabla_{\vec{v}} f

Cómo calcular la derivada direccional

Digamos que tienes una función multivariable

f (x, y, z)

) que toma tres variables de entrada,

x

y

z

, y quieres calcular su derivada direccional a lo largo del siguiente vector:

\vec{v} = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}]

Resulta que la respuesta es

\nabla_{\vec{v}} f = 2 \frac{\partial f}{\partial x} + 3 \frac{\partial f}{\partial y} + (- 1) \frac{\partial f}{\partial z}

Esto debería tener sentido porque un pequeño desplazamiento a lo largo del vector

\vec{v}

se puede dividir en

d o s

pequeños movimientos en dirección de

x

, en

t r e s

en la dirección de

y

y uno hacia atrás, por

- 1

, en la dirección de

z

. En el siguiente artículo vamos a ahondar de manera rigurosa en este razonamiento.

En general, podemos escribir el vector

\vec{v}

de manera abstracta como sigue:

\vec{v} = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}]

La derivada direccional se ve así:

\nabla_{\vec{v}} f = v_{1} \frac{\partial f}{\partial x} + v_{2} \frac{\partial f}{\partial y} + v_{3} \frac{\partial f}{\partial z}

Es decir, el pequeño desplazamiento en la dirección del vector

\vec{v}

consiste de

v_{1}

veces un pequeño desplazamiento en la dirección de

x

v_{2}

veces un pequeño desplazamiento en la dirección de

y

v_{3}

veces un pequeño desplazamiento en la dirección de

z

Esto puede escribirse en una forma compacta y muy agradable al usar el producto punto y el gradiente:

\begin{aligned} \nabla_{\vec{v}} f (x, y, z) \\ = v_{1} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y, z) + v_{2} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z) + v_{3} \frac{\partial f}{\partial z} (x, y, z) \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y, z) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z) \\ \frac{\partial f}{\partial z} (x, y, z) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}] \\ = \nabla f (x, y, z) \cdot \vec{v} \end{aligned}

Es por esto que la notación

\nabla_{\vec{v}}

es tan sugestiva de la forma en la que calculamos la derivada direccional:

\begin{array}{r} \nabla_{\vec{v}} f = \nabla f \cdot \vec{v} \end{array}

Tómate un momento para disfrutar el hecho de que una sola operación, el gradiente, contiene suficiente información para calcular la razón de cambio de una función en ¡cualquier dirección posible! ¡Esas son muchísimas direcciones! Izquierda, derecha, arriba, abajo, nornoreste,

{34.8}^{\circ}

en sentido de las manecillas del reloj a partir del eje

x

... ¡La locura!

Ejemplo 2:

Problema: echa un vistazo a la siguiente función.

f (x, y) = x^{2} - x y

¿Cuál es la derivada direccional de

f

en el punto

(2, - 3)

en la dirección del vector

\begin{array}{r} \vec{v} = 0.6 \hat{i} + 0.8 \hat{j} \end{array}

Solución: puedes pensar acerca de la derivada direccional como una suma ponderada de derivadas parciales, como se muestra a continuación:

\begin{array}{r} \nabla_{\vec{v}} f = 0.6 \frac{\partial f}{\partial x} + 0.8 \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}

O bien, puedes pensar acerca de ella como el producto punto del gradiente con el vector, como se muestra a continuación:

\begin{array}{r} \nabla_{\vec{v}} f = \nabla f \cdot \vec{v} \end{array}

La primera notación es más rápida, pero para practicar, vamos a ver cómo se desarrolla la interpretación del gradiente. Comenzamos por calcular el propio gradiente:

\nabla f = [\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - x y) \\ \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} - x y) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 x - y \\ - x \end{matrix}]

A continuación, sustituye el punto

(x, y) = (2, - 3)

ya que este es el punto que el problema nos está preguntando.

\begin{array}{r} \nabla f (2, - 3) = [\begin{array}{c} 2 (2) - (- 3) \\ - (2) \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \end{array}] \end{array}

Para obtener la derivada direccional deseada, tomamos el producto punto entre este gradiente y

v

\begin{aligned} \nabla_{\vec{v}} f (2, - 3) & = \nabla f (2, - 3) \cdot (0.6 \hat{i} + 0.8 \hat{j}) \\ = [\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 0.6 \\ 0.8 \end{array}] \\ = 7 (0.6) + (- 2) (0.8) \\ = 2.6 \end{aligned}

Encontrar la pendiente

¿Cómo obtendrías la pendiente de una gráfica que se interseca con un plano que no es paralelo ni al eje

x

ni al eje

y

Puedes utilizar la derivada direccional, pero hay algo importate que debes recordar:

Si se usa la derivada direccional para calcular la pendiente, entonces $\vec{v}$ ‍ debe ser un vector unitario o debes recordar dividirlo entre $| | \vec{v} | |$ ‍.

En la definición y el cáclulo de arriba, duplicar la longitud del vector

\vec{v}

duplicaría el valor de la derivada direccional. En términos del cálculo, esto se debe a que

\nabla f \cdot (2 \vec{v}) = 2 (\nabla f \cdot v)

Sin embargo la pendiente de la gráfica en la dirección de

\vec{v}

, depende solo de la dirección de

\vec{v}

, y no de la magnitud

| | \vec{v} | |

. Veamos por qué:

¿Cómo podemos imaginar esta pendiente? Corta la gráfica de

f

con un plano vertical que corte al plano

x y

en la dirección de

\vec{v}

. La pendiente en cuestión es la de una recta tangente a la curva resultante. Como con cualquier pendiente, buscamos el desplazamiento vertical entre el horizontal.

En este caso, el desplazamiento horizontal será la distancia resultante de un pequeño desplazamiento en la dirección de

\vec{v}

. Podemos expresar ese desplazamiento como una suma de

h \vec{v}

a un punto de entrada

x_{0}

, donde

h

representa un número pequeño. La magnitud de este desplazamiento es

h | | \vec{v} | |

El cambio resultante en la salida de

f

se puede aproximar al multiplicar este pequeño valor

h

por la derivada direccional:

h \nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0})

De hecho, el desplazamiento vertical de la recta tangente (a diferencia de la gráfica de la función) es precisamente

h \nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0})

, debido a este desplazamiento horizontal de tamaño

h | | \vec{v} | |

. Para todos los detalles de por qué esto es cierto, ve la definición formal de la derivada direccional en el siguiente artículo.

Por lo tanto, el desplazamiento horizontal entre el vertical de la pendiente de nuestra gráfica es

\begin{array}{r} \frac{h \nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0})}{h | | v | |} = \frac{\nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0})}{| | v | |} \end{array}

Observa que si

\vec{v}

es un vector unitario, o sea que

| | \vec{v} | | = 1

, entonces la derivada direccional sí da la pendiente de la gráfica a lo largo de esa dirección. De lo contrario, es importante recordar dividir entre la magnitud de

\vec{v}

Algunos autores van tan lejos que incluyen la normalización en la definición de

\nabla_{\vec{v}} f

Definición alternativa de la derivada direccional:

\begin{array}{r} \nabla_{\vec{v}} f (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h \vec{v}) - f (x)}{h | | \vec{v} | |} \end{array}

Personalmente, creo que esta definición pone demasiado énfasis en el caso de uso particular de encontrar la pendiente, así que prefiero usar la definición original y normalizar

\vec{v}

cuando sea necesario.

Ejemplo 3: pendiente

Problema: en el escenario para este problema tenemos tres jugadores.

Jugador 1, la función:

f (x, y) = \sin (x y)

Jugador 2, el punto:

(x_{0}, y_{0}) = (\frac{π}{3}, \frac{1}{2})

Jugador 3, el vector:

\vec{v} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}

¿Cuál es la pendiente de la gráfica de

f

en el punto

(x_{0}, y_{0})

a lo largo del vector

\vec{v}

Respuesta: como estamos buscando la pendiente, primero debemos normalizar el vector en cuestión. La magnitud

| | \vec{v} | |

\sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}

, por lo que dividimos cada término entre

\sqrt{13}

para obtener el vector unitario resultante

\hat{u}

en la dirección de

\vec{v}

Ahora encuentra el gradiente de

f

Sustituye el punto

(x_{0}, y_{0}) = (\frac{π}{3}, \frac{1}{2})

en este gradiente.

Por último, toma el producto punto entre

\hat{u}

\nabla f (π / 3, 1 / 2)

Resumen

Si tienes una función de varias variables, $f (x, y)$ ‍, y un vector en el espacio de entradas de la función, $\vec{v}$ ‍, la derivada direccional de $f$ ‍ a lo largo del vector $\vec{v}$ ‍ te dice la tasa de cambio $f$ ‍ a medida que la entrada se mueve con el vector de velocidad $\vec{v}$ ‍.
La notación aquí es $\nabla_{\vec{v}} f$ ‍, y se calcula al tomar el producto punto entre el gradiente de $f$ ‍ y el vector $\vec{v}$ ‍, es decir, $\nabla f \cdot \vec{v}$ ‍.
Cuando uses la derivada direccional para calcular la pendiente, primero asegúrate de normalizar el vector $\vec{v}$ ‍.

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Joan Sebastián Pérez
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “¿Cuál sería la diferencia...” de Joan Sebastián Pérez
¿Cuál sería la diferencia entre la pendiente que se da en la definición con vector unitario y la razón de cambio que se da con la definición que toma el vector sin normalizar? Me refiero a que es claro que de una definición a otra se ve un cambio del resultado bastante considerable.
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Respuesta
- Eric
  Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Piensa en esa cuestión co...” de Eric
  Piensa en esa cuestión como con las derivadas. Lo que te interesa no es la diferencia entre dos puntos, sino el incremento gradual. Dicho esto, se debe saber que se busca el cambio contínuo, no el discreto.
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Cálculo multivariable

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Antecedentes

Qué vamos a construir

Generalizar las derivadas parciales

Notación

Ejemplo 1: v→=j^‍

Cómo calcular la derivada direccional

Ejemplo 2:

Encontrar la pendiente

Ejemplo 3: pendiente

Resumen

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Ejemplo 1: $\vec{v} = \hat{j}$ ‍