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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 3: La derivada parcial y el gradiente (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Derivadas de funciones multivariables
La derivada parcial y el gradiente (artículos)
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El gradiente

Google Classroom
El gradiente almacena toda la información de la derivada parcial de una función multivariable. Pero es más que un simple dispositivo de almacenamiento, tiene varias interpretaciones maravillosas y muchos, muchos usos.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Qué vamos a construir

  • El gradiente de una función escalar multivariable f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, denotado como del, f, empaqueta toda la información de sus derivadas parciales en un vector:
    ∇f=[∂f∂x∂f∂y⋮] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]
    En particular, esto significa que del, f es una función vectorial.
  • Si te imaginas que estás parado en un punto (x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots), en el espacio de entrada de f, el vector del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis te dice en qué dirección te tienes que mover para incrementar el valor de f lo más rápido posible.
  • Estos vectores gradientes, del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis, también son perpendiculares a las curvas de nivel de f.

Definición

Después de aprender que las funciones con entradas multidimensionales tienen derivadas parciales, te puedes preguntar cuál es la derivada completa de una función de esas. En el caso de las funciones escalares multivariables, o sea aquellas que tienen una entrada multidimensional pero una salida unidimensional, la respuesta es el gradiente.
El gradiente de una función f, que se denota como del, f, es la colección de todas las derivadas parciales en forma de vector.
Esto es más fácil de entender con un ejemplo.

Ejemplo 1: dos dimensiones

Si f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y, ¿cuál de las siguientes representa del, f?
Escoge 1 respuesta:

Observa que esto significa que del, f es una función vectorial. En específico, una con entradas y salidas bidimensionales. Esto significa que se puede visualizar muy bien con un campo vectorial. Ese campo vectorial vive en el espacio de entradas de f, que es el plano x, y.
Este campo vectorial es comúnmente llamado el campo gradiente de f.
El gradiente de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y como un campo vectorial.
Pregunta para reflexionar: ¿por qué los vectores en este campo vectorial son tan pequeños a lo largo de la franja diagonal que pasa por en medio del plano x, y?
Región vacía destacada.

Ejemplo 2: tres dimensiones

¿Cuál es el gradiente de f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, minus, x, y, plus, z, squared?
Escoge 1 respuesta:

del, f es una función con entradas y salidas tridimensionales. Como tal, se puede visualizar muy bien con un campo vectorial en el espacio tridimensional.
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Interpretar el gradiente

En cada uno de los ejemplos anteriores, representamos a del, f como un campo vectorial, pero ¿cómo interpretamos estos campos vectoriales?
De manera más concreta, pensemos en el caso donde la entrada de f es bidimensional. El gradiente convierte cada punto de entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en el vector
∇f(x0,y0)=[∂f∂x(x0,y0)∂f∂y(x0,y0)].\begin{aligned} \quad \nabla f(x_0, y_0) = \left[ \begin{array}{c} \\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \end{array} \right]. \end{aligned}
¿Qué nos dice ese vector acerca del comportamiento de la función alrededor del punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
El concepto del ascenso más pronunciado.
Piensa en la gráfica de f como si fuera un terreno montañoso. Si estás parado en la parte de la gráfica directamente encima, o abajo, del punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, la pendiente de la colina depende de la dirección en la que camines. Por ejemplo, si caminas derecho en la dirección positiva de x, la pendiente es start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction; si caminas derecho en la dirección positiva de y, la pendiente es start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction. Pero la mayoría de las direcciones son una combinación de las dos.
Lo más importante que hay que recordar sobre el gradiente es lo siguiente: el gradiente de f, evaluado en una entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, apunta en la dirección del ascenso más pronunciado.
Entonces, si caminas en la dirección del gradiente, estarás subiendo directamente hasta la cima. De manera similar, la magnitud del vector del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis te dice cuál es la pendiente de la colina en esa dirección.
Por el momento no queda inmediatamente claro por qué acomodar las derivadas parciales en un vector nos da la pendiente en la que uno asciende más rápido. Pero no te preocupes, esto lo entenderás una vez que hayamos construido las derivadas direccionales.
Cuando las entradas de una función f viven en más de dos dimensiones, ya no es tan cómodo ver su gráfica como un terreno montañoso. Dicho eso, la misma idea subyacente se mantiene. Ya sea que el espacio de entradas de f se bidimensional, tridimensional o de 1,000,000 de dimensiones, el gradiente de f da el vector en ese espacio de entrada que apunta en la dirección que hace que f crezca más rápido.

Ejemplo 3: cómo se ven los máximos locales

Considera la función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, left parenthesis, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, minus, 3. ¿Cuál es su gradiente?
Escoge 1 respuesta:

Así se ve la gráfica de f:
Gráfica de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, left parenthesis, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, minus, 3
Observa que la gráfica tiene dos picos. Aquí se muestra cómo se ve el campo vectorial de del, f. Se debe entender que los vectores más rojos son más largos, y los vectores más azules son más cortos:
Los dos puntos en el plano que corresponden con los picos de la gráfica de f están rodeados de vectores dirigidos hacia esos puntos. ¿Por qué?
Esto es porque cerca de la cima de una colina, la dirección de ascenso más pronunciado siempre apunta hacia la cima.
Pregunta para reflexionar: ¿cómo se vería el campo gradiente de una función cerca de un mínimo local?

El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel

Como los campos vectoriales, los mapas de curvas de nivel también se dibujan en el espacio de entrada de la función, por lo que nos podemos preguntar qué pasa si el campo vectorial de del, f se coloca sobre el mapa de curvas de nivel que le corresponde a f.
Por ejemplo, consideremos la siguiente función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y:
Mapa de curvas de nivel de x, y
Campo gradiente de x, y
Mapa de curvas de nivel y campo gradiente de x, y
Al observar la imagen de arriba, te podrás dar cuenta de algo interesante: cada vector es perpendicular a la curva de nivel que toca.
Para ver por qué esto es cierto, considera una curva de nivel particular, digamos aquella que representa el valor de salida dos, y haz un acercamiento a un punto sobre esa curva. Sabemos que el gradiente del, f apunta hacia la dirección en la que el valor de f incrementa más rápidamente. Hay dos maneras de pensar acerca de esta dirección:
  1. Escoge un tamaño de paso fijo y encuentra la dirección tal que ese tamaño de paso haga que f incremente lo más posible.
    Dados pasos de tamaño constante que se alejan de un punto en particular, el gradiente es aquel para el cual f se incrementa más.
    Figura 1
  2. Escoge un incremento fijo en f, y encuentra la dirección tal que requiera el menor paso incrementar a f por esa cantidad.
    Dados pasos que incrementan f en un tamaño determinado, la dirección del gradiente es la del paso más pequeño.
    Figura 2
De cualquier forma, estás tratando de maximizar el desplazamiento vertical sobre el horizontal, ya sea maximizando el desplazamiento vertical o minimizando el horizontal.
La curvas de nivel proporcionan una buena ilustración de como se puede ver esta segunda perspectiva. En la Figura 2 de arriba, hay una segunda curva de nivel que representa al valor de salida 2.1, que es ligeramente mayor que el valor 2, representado por la curva inicial. El gradiente de f debería apuntar en la dirección que nos llevará a esta segunda curva con el menor tamaño de paso.
Entre más nos acerquemos a la gráfica, cada curva se parecerán más a una recta, y las curvas parecerán rectas paralelas. El camino más corto entre una recta paralela y otra siempre es perpendicular a ambas, así que el gradiente se verá perpendicular a la curva de nivel.

El operador nabla

En cálculo multivariable, y en otras áreas de las matemáticas, la palabra operador aparece muchas veces. Esto puede sonar elegante, pero la mayor parte del tiempo puedes pensar que operador significa "algo que convierte una función en otra función".
La derivada es un ejemplo de un operador, pues transforma una función f en una nueva función f, prime. Los operadores diferenciales son operadores que extienden la idea de una derivada a un contexto diferente.
Ejemplos de operadores diferenciales:
NombreSímboloEjemplo
Derivadastart fraction, d, divided by, d, x, end fractionstart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, 2, x
Derivada parcialstart fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fractionstart fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, x, y, right parenthesis, equals, 2, x, minus, y
Gradientedel∇(x2−xy)=[2x−y−x]\nabla(x^2 - xy) = \left[\begin{array}{c} 2x - y \\ -x \end{array}\right]
El símbolo del se conoce como "nabla" o "del". Típicamente, "nabla" se refiere al propio símbolo, mientras que "del" se refiere al operador que representa. Esto quizá te puede parecer un poco confuso porque el operador "del" incluye símbolos de \partial, pero vaya, ¿cuándo ha sido razonable la terminología matemática?
Como sea que lo quieras llamar, podemos pensar el operador del como un vector cuyas componentes son derivadas parciales:
∇=[∂∂x∂∂y⋮] \nabla = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \quad \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array}\right]
Esta no es una definición real. Por un lado, la dimensión de este vector no está definida ya que depende de cuántas entradas haya en la función a la que se le aplica del. Además, está haciendo las cosas demasiado rápido y a lo loco para crear un vector de operadores. Pero, como en la práctica su significado suele ser claro, la gente rara vez se preocupa por esto.
Imagina "multiplicar" este vector por una función escalar:
∇f=[∂∂x∂∂y⋮]f=[∂f∂x∂f∂y⋮]\begin{aligned} \nabla f &= \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \quad \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array} \right]f \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \quad \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}
Por supuesto, esto no es una multiplicación, simplemente estás evaluando cada operador de derivada parcial en la función. Sin embargo, esta es una forma muy útil de pensar acerca de del dado que vuelve a aparecer más adelante en el contexto de otros operadores que vamos a estudiar más adelante: la divergencia, el rotacional y el laplaciano.

Resumen

  • El gradiente de una función escalar multivariable f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, denotado como del, f, empaqueta toda la información de sus derivadas parciales en un vector:
    ∇f=[∂f∂x∂f∂y⋮] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]
    En particular, esto significa que del, f es una función vectorial.
  • Si te imaginas que estás parado en un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis en el espacio de entrada de f, el vector del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis te dice en qué dirección te tienes que mover para incrementar el valor de f lo más rápido posible.
  • Estos vectores gradientes del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis también son perpendiculares a las curvas de nivel de f.

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