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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 1

Lección 6: Visualizar funciones multivariables (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Pensar acerca de funciones multivariables
Visualizar funciones multivariables (artículos)
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Mapas de curvas de nivel

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Cuando dibujar en tres dimensiones es inconveniente, un mapa de curvas de nivel es una alternativa útil para representar funciones que tienen un espacio de entrada bidimensional y un espacio de salida unidimensional.

Antecedentes

El proceso

Las curvas de nivel ayudan a representar funciones con una entrada bidimensional y una salida unidimensional. Por ejemplo, considera esta función:
f(x,y)=x4−x2+y2.
En las gráficas, la manera de asociar el valor de entrada, (x,y), con el de salida, f(x,y), es combinándolos en un triplete (x,y,f(x,y)), y graficarlo como un punto en un espacio tridimensional. La gráfica consiste en todos los posibles puntos tridimensionales de la forma (x,y,f(x,y)), que en conjunto forman un tipo de superficie.
Pero algunas veces, dibujar una imagen tridimensional puede ser complicado o difícil de hacer a mano. Las curvas de nivel nos ayudan a representar la función al dibujarlas solo en el espacio de entrada bidimensional.
Aquí mostramos cómo se hace:
  • Paso 1: comienza con la gráfica de la función.
Gráfica de la función del ejemplo.
  • Paso 2: corta a la gráfica con varios planos paralelos al eje xy, separados por la misma distancia. Puedes pensar acerca de estos planos como los lugares en donde la coordenada z es igual a alguna salida dada, como z=2.
Gráfica con planos de nivel que la cortan.
  • Paso 3: marca la gráfica en donde los planos la cortan.
Gráfica con las curvas de nivel marcadas.
  • Paso 4: proyecta estas líneas sobre el plano xy y etiqueta sus alturas correspondientes.
Curvas de nivel aisladas de una gráfica.
Ejemplo de un mapa de curvas de nivel
En otras palabras, escoge un conjunto de valores de salida a representar y, para cada uno de esos valores de salida, dibuja una curva que pase por todos los valores de entrada (x,y) para los cuales f(x,y) sea igual a ese valor. Para no perder de vista cuáles curvas corresponden a cuáles valores de salida, normalmente se escribe el valor de salida en algún punto de cada curva.
Nota: la elección de los valores de salida que quieras representar, como {−2,−1,0,1,2}, casi siempre deben estar igualmente espaciados. Esto hace que se más fácil entender la "forma" de la función con solo mirar el mapa de curvas de nivel.

Ejemplo 1: paraboloide

Considera la función f(x,y)=x2+y2. La forma de su gráfica se conoce como un "paraboloide", el equivalente tridimensional de una parábola.
Gráfica de f(x,y)=x2+y2
Así se ve su mapa de curvas de nivel:
Mapa de curvas de nivel de f(x,y)=x2+y2
Observa que los círculos no están igualmente espaciados. Esto es porque la altura de la gráfica se incrementa más rápidamente conforme te alejas del origen. Por lo tanto, aumentar la altura en una cantidad fija requiere alejarse del origen con un paso más pequeño en el espacio de entrada.

Ejemplo 2: ondas

¿Qué sucede con la función f(x,y)=cos⁡(x)⋅sin⁡(y)? Su gráfica se ve muy ondulada:
Gráfica de f(x,y)=cos⁡(x)⋅sin⁡(y)
Y aquí está su mapa de curvas de nivel:
Una característica que vale la pena señalar es que las crestas y los valles se puede ver muy parecidos en un mapa de curvas de nivel, y solo se pueden distinguir al leer las etiquetas.

Ejemplo 3: función lineal

Ahora echemos un vistazo a la función f(x,y)=x+2y. Su gráfica es un plano inclinado.
Gráfica de f(x,y)=x+2y
Esto corresponde a un mapa de curvas de nivel que tiene líneas rectas igualmente espaciadas:
Mapa de curvas de nivel de f(x,y)=x+2y

Ejemplo 4: mapa literal

Los mapas de curvas de nivel suelen ser muy usados en mapas reales para representar la altitud de los terrenos montañosos. La imagen de la derecha, por ejemplo, es una representación de un cráter lunar.
Mapa de curvas de nivel de una montaña
Mapa de curvas de nivel del cráter del Rayo Sur en la Luna, de wikipedia
Imagina que caminas por este cráter. Cuando las curvas de nivel se encuentran muy pegadas, la pendiente es más bien pronunciada. Por ejemplo, desciendes de 7700 metros a 7650 metros en una distancia muy corta. En el fondo, donde las curvas son más escasas, las cosas son más planas, variando entre 7650 y 7628 metros en grandes distancias.

El prefijo iso

Las curvas de nivel tienen varios nombres:
  • Curvas de nivel.
  • Conjuntos de nivel, llamados así porque representan el conjunto de puntos (x,y) donde la altura de la gráfica permanece sin cambio, por lo tanto, nivelada.
  • Isolíneas, donde "iso" es un prefijo griego que significa "igual".
Dependiendo de lo que represente el mapa de curvas de nivel, el prefijo iso puede estar pegado a varias cosas. Estos son dos ejemplos comunes de los mapas meteorológicos.
  • Una isoterma es una curva de nivel para una función que representa la temperatura .
  • Una isobara es una curva de nivel que representa una presión.

Obtener intuición a partir de un mapa de curvas de nivel

Puedes decir qué tan pronunciada está una porción de tu gráfica a partir de qué tan cerca están las curvas de nivel. Cuando están espaciadas, significa que hay que hacer grandes movimientos laterales para cambiar de altitud; pero cuando están cerca, la altitud se incrementa rápidamente para pequeños incrementos laterales.
Los conjuntos de nivel asociados con alturas que se aproximan a un pico de la gráfica se verán como curvas cerradas más y más pequeñas, cada una encerrando a la siguiente. Lo mismo ocurre para un valle de la gráfica. Esto significa que puedes identificar los máximos y los mínimos de una función al usar su mapa de curvas de nivel y buscar conjuntos de curvas cerradas que encierran una a la otra, como círculos concéntricos distorsionados.

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