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Derivadas parciales de una superficie paramétrica (parte 1)

Cuando una función vectorial representa una superficie paramétrica, ¿cómo puedes interpretar su derivada parcial? Creado por Grant Sanderson.

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Transcripción del video

ya hemos calculado la derivada parcial de esta función vectorial y la pregunta que quedaba era qué significa en una digamos en un sentido geométrico verdad y todo lo que tenemos que hacer es visualizar esta función y con esta función específica tenemos una entrada bidimensional y la salida es tridimensional lo que significa que la salida tiene más dimensiones que la entrada así que es bueno tratar de visualizar esta superficie parametrizar ahí la la forma que vamos a hacerlo quizás podrías decir que es visualizar la transformación verdad es pensar en el plano ts verdad y aquí es en donde tenemos todas las entradas y podríamos pensar cómo es que se mapean digamos al espacio tridimensional pero cuando hacemos esto de hecho estamos haciendo un poquito de trampa vamos a hacer un poquito de trampa en vez de tener un plano separado pongamos aquí el plano ts así que vamos a ponerlo aquí y aquí en realidad estamos recortando solo a valores que van desde cero para la variable t así que podríamos pensar que cada una de estas marquitas corresponde a un medio verdad así que aquí está el 1 aquí está el 2 luego el 3 y lo mismo tenemos con la variable s así que ese también va desde 0 a 3 y la razón por la cual estoy poniendo esto en el espacio tridimensional digamos estamos sobreponiendo sobre el plano xy verdad es simplemente para hacer la animación un poquito más fácil porque entonces el beneficio aquí es que podríamos fijarnos en cada punto verdad en cada uno de estos puntos así que si pensamos digamos en alguna pareja ts como una pareja de entrada verdad entonces vamos a ver hacia dónde se va a mover en la salida muy bien entonces la salida es tridimensional sin embargo que queremos verlo como una animación así que aquí tenemos nuestro plano ts pero dado nuestro cuadrado veamos con que terminamos en una digamos en una superficie verdad vamos a terminar con una superficie y sólo para hacer esto un poquito más más concreto verdad vamos a irnos hacia acá y vamos a fijarnos sólo en un punto digamos no solo para poder visualizar la función sino también para poder checar cómo son las derivadas parciales muy bien entonces el punto que vamos a considerar es el punto 1,1 que estoy pintando justo aquí así que tenemos la pareja ts donde cada uno de estos vale una verdad este es el 11 y podríamos empezar a predecir digamos dónde va a estar nuestra salida y para hacer esto simplemente tenemos que introducir estos valores en la función así que este es el tipo de visualización que vamos a estar checando vamos a introducir esto en nuestra función así que tendremos 1 al cuadrado menos 1 al cuadrado que es 0 1 por 1 verdad que eso nos da 1 y luego tenemos uno por uno al cuadrado que es uno menos uno por uno al cuadrado que también es uno y nos da en total cero lo cual nos dice que a esta entrada le corresponde el vector de salida 0 1 0 verdad es un vector unitario que apunta en la dirección y así que aquí estará él de verdad podríamos pensar que es un vector que se ve más o menos así es unitario y que apunta en la dirección de verdad ahora el punto en la superficie vamos a ver al que corresponde verdad es la punta de este vector es la forma en que visualizamos cosas parametrizados es justamente la punta del vector el punto que estaremos pensando verdad y si ponemos nuevamente la animación el punto corresponde al 11 y en efecto termina en la punta del vector así que al menos para este valor podemos ver que no te estoy mintiendo con la animación verdad y en principio podríamos hacerlo para cualquier punto dado cualquier punto de entrada podríamos digamos introducirlo en la función y dibujar el vector en el espacio de tres dimensiones y ver la animación verdad y ver dónde cae la punta del vector ahora lo que queremos empezar a pensar es que qué significa la derivada parcial y recordemos este dt verdad este pequeño dt nos dice que es un pequeño empujoncito en la dirección de t así que hacemos un pequeño movimiento verdad es un pequeño movimiento en la dirección de t aquí es aquí está nuestro plano ts verdad aquí está la dirección de t entonces estamos moviéndonos en esta dirección que se ve justamente con la línea verdad que esto representa un valor constante de s aquí en este caso s sería igual a 1 en toda esa línea verdad y por el contrario dejamos de correr libremente y si vemos cómo se transforma esta línea verdad bajo el mapeo a la superficie parametrizado podemos tener una idea de cómo está variando la entrada con la entrada de verdad en el espacio de salidas así que toda esta línea rosa básicamente nos dice qué pasa si a ese se mantiene constante que es igual a 1 y dejamos hacer correr libremente y obtenemos una curva en el espacio de tres dimensiones verdad ahora si tuviéramos otra constante s tendríamos otra curva y quizás podríamos ver aquí en digamos en las líneas de la malla que tenemos pintada verdad qué tipo de curvas podríamos tener así que en lugar de pensar ahora en el movimiento de t como como un todo verdad pensemos ahora en pequeños empujones ok pensemos ahora en en esto que hemos denotado como parcial de verdad es algo que estamos imaginando cómo un pequeño un pequeño movimiento en la dirección de verdad en realidad vamos lo estamos pensando muy pequeño porque vamos a tomar un límite eventualmente verdad si queremos ser un poquito más precisos así que digamos que parcial del tc algo como 0.01 verdad que es algo muy pequeño verdad y si ahora nos fijamos en la transformación en cómo se mueve ese pequeño empujoncito entonces eso quizá se estire o se encoja verdad pero va a terminar resultando en una especie de vector que apunta a lo largo de la curva y por supuesto será tangente de esa curva ese vector nos dice cómo nos movemos digamos en una forma muy pequeña muy pequeña pero tangente verdad así que lo que estamos pensando es en un pequeño cambio en el vector de salida de su es parcial debe muy bien parecía el bebé y entonces lo dividimos entre el pequeño valor o del tate de verdad que era de 0.01 y entonces debido a que estamos dividiendo entre algo muy pequeño nuestro vector va a ser más grande así que la derivada real va no va a ser algo muy muy pequeño en realidad va a ser algo visible verdad sólo que estamos escalando ese pequeño vector que hemos obtenido verdad apropiadamente en este caso sería dividido entre una centésima o lo que es lo mismo x si en verdad entonces eso es lo que nos da un vector tangente a esta curva y mientras más grande sea digamos mientras más largo nos estará diciendo que al variar t nos movemos digamos a lo largo de esta curva rosa verdad en movimientos mucho más rápidos y largos la proporción de estos pequeños cambios entonces sería más grande así que si cambiamos un poquito la perspectiva podríamos tener una mejor idea de cómo se comporta la curva cerca de ese punto y podemos ver que se mueve de forma positiva en la dirección x verdad también se mueve de forma positiva en la dirección y en la dirección zeta de hecho es negativa verdad esta curva como que tiende a irse hacia abajo en la variable zetas y que antes de si quiere introducir nuestros valores en la función de la derivada parcial que calculamos anteriormente podríamos decir simplemente viendo la imagen que en el valor x verdad va va a tender a irse algo positivo en el valor que también tendrá que irse algo positivo pero en la dirección zeta se irá a algo negativo verdad un poquito más negativo simplemente de cómo se ve esta curva y al menos eso es intuitivo así que vamos a tratar de introducir estos valores ahora en nuestra derivada parcial que ya tenemos verdad así que cuando tenemos de igual a uno bueno vamos a borrar esto primero cuando tenemos que igual a 1 aquí tendremos 2 cuando ese es uno tendremos uno y aquí tendremos uno al cuadrado menos dos por uno por uno eso es uno menos dos que es menos uno así que recuperamos ese patrón de positivo positivo negativo que habíamos visto y también podríamos ver cómo es que en la dirección x se mueve el doble de rápido que en la dirección de verdad se mueve más a la derecha que en la dirección de jay otra vez en principio podríamos imaginarnos hacer esto no solo en un punto sino en cualquiera verdad a lo largo de esta curva o incluso a lo largo de toda la superficie y el movimiento correspondiente digamos la dirección en la que nos está empujando la dirección de verdad nos dará un vector en tres dimensiones y esa es la interpretación que tenemos de la derivada parcial de funciones vectoriales y otra vez el vector derivada no es el vector que resulta del empujoncito con desde verdad todavía falta dividir entre dt y bueno formalmente tendríamos que hacer un límite verdad ahora bien en el próximo vídeo quiero tratar de hacer exactamente lo mismo para ver qué pasa cuando empujamos ahora en la dirección s sólo para tener una buena idea de qué ocurre en este ejemplo