Derivadas parciales de una superficie paramétrica (parte 2)

hola de nuevo en el último vídeo empezamos a hablar de cómo interpretar la derivada parcial de una función que representa a una superficie parametrizado en este caso teníamos dos variables de entrada y un vector de tres variables de salida verdad y típicamente visualizamos estos como superficies en un espacio de tres dimensiones y todo en este proceso digamos podríamos pensar que teníamos una porción del plano ts y vemos cómo se mueve al espacio de salida verdad y nuevamente estamos aquí haciendo un poco de trampa con esta animación porque en realidad éste no es el plano ts verdad este es el plano xy en realidad deberíamos pensarlo como un espacio separado y deberíamos ver cómo se mueve a las tres dimensiones pero es más difícil de animar de esta forma así que simplemente nos vamos a quedar con el plano xy de aquí y estaremos pensando en este cuadrado donde t y s tienen un rango que va de 0 a 3 verdad y lo que he dicho es que la derivada parcial con respecto a que si imaginamos esta línea verdad que representa el movimiento en la dirección de t vemos cómo se mapea a todos estos puntos en el espacio de salida es verdad y el vector de la derivada parcial nos da tangente a esta curva que representa a la línea verdad y que corresponde al movimiento en la dirección de t y mientras más largo sea es más rápido el movimiento mientras sería más sensible a los pequeños empujoncitos en la dirección de t en la dirección de s verdad vamos a tomar digamos vamos a borrar todo esto de aquí ok y si en lugar de ver esto con respecto a t lo vemos con respecto a s verdad entonces consideramos la derivada parcial con respecto a s verdad entonces aquí vamos a tener algo muy similar diríamos bueno cuál es la línea que corresponde al movimiento en la dirección de ese y esta que voy a dibujar va a ser perpendicular a la que teníamos anteriormente verdad porque está en el plano ts en este caso la línea amarilla corresponde al valor de t constante igual a 1 y dejamos a s variar verdad y si vemos como se mate a la línea a medida que nos movemos en el espacio de entradas tendremos puntos correspondientes en el espacio de salida y esto nos dice qué es lo que ocurre al variar s en la entrada verdad se empieza a curvar muy interés de forma muy interesante verdad esta rejilla que tenemos aquí pintada realmente nos ayuda porque cada vez que vemos que las líneas de la rejilla se intersectan una de estas líneas representa el movimiento en la dirección de t y la otra en la dirección de s y para las derivadas parciales pensamos de forma similar verdad pensamos que vamos a pensar qué significa esta parcial con respecto de s que entonces vamos a acercarnos por acá la derivada parcial respecto de s lo pensamos como si representamos un un pequeño movimiento en la dirección de s simplemente un pequeño empujoncito verdad y luego tendremos una un empujoncito correspondiente en el espacio de salidas verdad nos fijamos justamente en el espacio de salidas y ahí tendremos nuestro pequeño empujoncito verdad por ejemplo podríamos pensar que nuestro pequeño empujoncito en la entrada corresponde a un vector tres veces más grande quién sabe verdad digamos a lo mejor se están estirando las cosas verdad a lo mejor puede ser que sean más tres veces más grande pero el punto es que es un vector verdad y lo que hacemos es pensar a este vector como en nuestra derivada parcial de b efecto de es el resultado que obtenemos es un vector tangente que en realidad no es un vector pequeño verdad sino que ésta es un vector suficientemente grande de verdad y esto corresponde a la tasa a la que cambia no sólo con pequeños cambios sino la casa la tasa de cambio con respecto a no estaba a nuestra variable es de verdad el que se genera por el movimiento en esta dirección pero en el espacio de salidas así que vamos a calcular esto para este esta función que tenemos aquí sólo para tener práctica calculando este tipo de cosas así que si nos fijamos aquí la variable t ahora es una constante verdad así que la derivada aquí es cero y sólo hay que derivar menos s cuadrada eso nos queda menos 2 s verdad si nos vamos a la siguiente componente ese es la variable t es constante entonces al derivar esto nos queda solo t ahora tendremos derivada de dts cuadrada es dos veces por s dos veces este por s menos la derivada de esto sería t cuadrada verdad porque éste es constante y ese es nuestra variable y al d s nos da 1 y si ahora evaluamos en el punto 11 que es nuestro punto rojo de aquí entonces o tren obtendríamos que aquí sería menos 2 por 1 es menos 21 verdad y 2 por uno por uno menos uno al cuadrado es dos por uno por uno menos uno al cuadrado entonces tendríamos dos menos uno que es 1 así que cuando nos fijamos en el vector de la derivada parcial la componente x debe ser negativa y las componentes jay-z ambas deben ser positivas y si nos fijamos aquí en la en la animación verdad al ver el movimiento a lo largo de la curva todo encaja verdad porque si nos movemos a lo largo de esta curva nos fijamos en la componente x verdad y esa debe ser negativa porque nos estamos moviendo hacia la izquierda ahora si nos fijamos en la dirección de y podemos ver que nos estamos moviendo hacia arriba verdad y de hecho nos movemos a la izquierda el doble de rápido que cuando nos movemos hacia arriba y para la componente zeta verdad de hecho nos estamos moviendo justamente también hacia arriba entonces vamos bien pero también podríamos preguntarnos es real en qué dirección nos estamos moviendo y allí digamos el beneficio de la animación aquí es que podríamos fijarnos muy bien en cómo se mueve esta curva verdad aquí tenemos ese que va desde 0 a 3 y podemos ver muy bien cuál es el movimiento que corresponde a esta curva y si le echaron un buen ojo pueden ver que nuestro vector de la derivada parcial apunta justo en la dirección que se mueve la curva verdad y una cosa muy bonita que podemos ver aquí es que nuestras dos derivadas parciales que hemos encontrado podríamos pensar que cada una de ellas es un vector tangente a la superficie verdad así que una es la derivada parcial con respecto a t y la otra es en la otra dirección verdad es la la derivada parcial respecto de ese y entonces tenemos vectores tangentes a la superficie entonces podríamos pensar también en una derivada direccional verdad algo que combine estas dos formas en las que nos podemos mover en los vectores tangentes a la superficie y hablaremos de esto más adelante cuando hablemos de planos tangentes para poder expresar de hecho la ecuación de un plano tangente pero esto es todo lo que necesita saber sobre las derivadas parcial de superficies parametrizados y en los próximos vídeos hablaremos de las derivadas parciales pero de funciones con valores vectoriales en otros contextos porque quizás no siempre estamos pensando en curvas que se van moviendo verdad aún queremos pensar cómo es que este tipo de pequeños empujoncitos corresponden a otros empujoncitos en el espacio de salidas y cuál sería la proporción entre ellos así que con esto nos vemos en el próximo vídeo