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Derivadas parciales de campos vectoriales

¿Cómo interpretas la derivada parcial de una función que define un campo vectorial? Creado por Grant Sanderson.

Transcripción del video

pensemos un poco en las derivadas parciales de campos vectoriales un campo vectorial como ya vimos es una función bueno en esta ocasión trabajaremos con un ejemplo en dos dimensiones así que pongamos algo que tiene dos dimensiones como entrada y como salida vamos a obtener el mismo número que el número de entradas esto es importante y cada una de estas componentes de salida va a depender de las variables de entrada así que por ejemplo en mi primera componente se me ocurre poner a x x en la segunda componente que cuadrada menos equis cuadrada entonces puedes calcular alguna derivada parcial de este campo verdad bueno puedes tomarte no sé la derivada de p con respecto a algunas de las variables por ejemplo x la derivada de b con respecto a x ok y se calculamos esto bueno vamos a obtener otra función de x de james y lo que realmente estamos haciendo es tomarnos las derivadas parciales de cada una de las componentes así que en la primera componente x se toma como una variable y como una constante y por lo tanto me va a quedar simplemente james la derivada parcial de la segunda componente bueno observa que ya se ve como una constante por lo tanto esto no aparece y solamente nos quedamos con la derivada de menos x cuadrada con respecto a x que es menos 2x así que de una forma analítica si sabes cómo tomar la derivada parcial entonces puedes tomar la derivada parcial de una función vectorial y por lo tanto de un campo vectorial ahora la parte divertida e importante es cómo lo vamos a interpretar bueno todo esto se puede hacer en una manera visual así que vamos a hacerlo bien la razón por la cual llamamos a un campo vectorial de esta manera es porque si tomamos todo el plano x en cada uno de los puntos va a representar un vector por ejemplo si tomamos de entrada no se pensemos en un punto en particular en el punto 12 entonces este punto donde x es igual a 1 y desigualdad 2 lo podemos asociar con el vector salida que es bueno si lo calculamos con x igual a 1 y 2 tengo 1 por 2 lo cual estos y después tengo 2 al cuadrado menos 1 al cuadrado lo cual es 3 entonces tenemos el vector 23 asociado con este punto de entrada y lo que tenemos en un campo vectorial tomamos un vector y lo pegamos a un punto lo ancla a este punto en donde mi componente x es de 2 en mi componente y en este 3 así que pega este vector más o menos así a este punto y bueno esto pasa para todos los puntos del plano en nuestro campo vectorial y si lo hacemos al final terminaríamos con algo así recuerda cuando calculas esto especialmente en una computadora esto tiende a mentirte un poco ya que en cada punto tenés un vector pero este se vería muy pero muy pequeño a comparación de lo que realmente se presenta aquí pero bueno en la realidad no podemos poner todos los vectores en este plano sin que se viera todo amontonado y bueno aquí también quiero mencionar otra cosa el color lo que nos da es un vago sentido de longitud donde los azules representan un vector mucho pero mucho más chico que los de color amarillo así que esto nos da una pequeña idea de qué tan largo es un vector ahora bien las derivadas parciales nos van a dar cosas más específicas porque si piensas un poco interpretamos una derivada parcial en cualquier contexto te vas a dar cuenta que en realidad lo pensamos como un pequeño jalón en este caso en la dirección x así que si ésta es nuestra entrada original aquí tenemos un pequeño jalón y el valor de este jalón es el número que representa tu derivada parcial en x así que la pregunta será cuál es el cambio resultante para esta salida y esto porque bueno la salida es un vector y además también es el cambio en la salida así que vamos a decir que tenemos otro vector ligado a este mismo punto cierto no sé tal vez sea algo así puede ser algo similar o algo ligeramente distinto y vamos a querer tomar el cambio en este vector dividido entre el cambio de este pequeño jalón original a ver intentaré ser más específico si estás comparando dos vectores diferentes y se están arraigados a dos puntos diferentes entonces sería mucho más fácil si movemos el espacio para anclar dos al mismo punto al menos esto para empezar así que vamos a dibujar otro espacio un espacio distinto por aquí y piensa este espacio original como el espacio en donde viven estos vectores así que voy a poner un nuevo espacio por ejemplo y si hacemos eso entonces este primer vector que tiene como componentes 2 3 no se pongámosle un nombre le voy a poner el nombre de b uno va a estar justo aquí y por otro lado tenemos el jalón de salida a este segundo vector le vamos a llamar b 2 y voy a decir que también vive en este espacio pero voy a exagerar esta diferencia solo para que sea visible así que digamos que es diferente en cualquier forma pero ligeramente diferente imagina que estos son dos vectores y ahora la diferencia entre estos dos vectores va a ser otro vector que va a conectar a la cabeza de este vector con la cabeza de este otro vector ya este le voy a llamar a dv ahora la forma en la que podemos pensar esto es decir que si a b1 es decir al vector original vamos el vector debe es decir este pequeño cambio que se observa es la diferencia entre ambos esto me va a dar b 2 es decir el cambio en la salida y es que observa si lo pensamos en términos de caracola lo puedes ver bastante fácil el vector de verde más el vector de azul nos da el vector de rosa que conecta me observa la cola con la cabeza del segundo bien ahora cuando estamos hablando de derivadas parciales básicamente lo que estamos diciendo es gay qué pasa si tomo el tamaño del jalón de salida y lo divido por el salón de entrada así que vamos a pensarlo en términos de nuestro cambio original que no sé supongamos que tiene un tamaño de 0.5 este es el cambio en la dirección en x y entonces cuál es el cambio en ven en el vector b con respecto al cambio en x que básicamente seremos diciendo que este vector hay que escalarlo por 2 es decir este pequeño debe es la mitad de tamaño que este otro vector el vector que equivale a la derivada parcial entonces este otro vector el vector de azul el que tiene un tamaño muy grande es la derivada de b con respecto a x en su forma escalada y bueno esto tiene sentido porque piensa la acción en un principio está parcial x es muy pero muy pero muy pequeña no sé supongamos que es de 1 sobre 100 un centésimo ésta sería de un centésimo o algo de ese orden y entonces la derivada con respecto a x sería un vector con un tamaño normal y el punto al que señala nos indica la dirección a la cual este vector de verde cambiarían cuando se está moviendo bueno para hacer más concretos que te parece si calculamos este vector entonces vamos a fijarnos en la derivada de b con respecto a x en el punto 12 y bueno esto también va a ser un vector va a ser el vector donde lleva al de todos entonces a que me queda 2 y sigue vale 12 x vale 1 aquí tengo menos 2 y bueno puedes ver que aquí en definitiva mi dibujo está mal porque ahora sabemos quién es el vector de rosa ahora tenemos un cambio de dos y menos dos que se va a ver más o menos si borramos la dirección incorrecta por aquí todo esto y ponemos un cambio en la dirección en x de 2 y en la componente de menos 2 entonces el vector derivada se va a ver algo como esto así que el pequeño jalón en tve que buscábamos es un vector que va en esta dirección algo en esta dirección y esto significa que el campo vectorial cuando te mueves y cuando consideras que varios vectores se anclan en cada uno de los puntos bueno cuando pasas por el punto 12 la forma en la que los vectores están cambiando es una forma que va a hacer la derecha y hacia abajo así que debemos y los dibujamos y borramos esto que ya sabemos que está mal va a ser un pequeño jalón que bueno se va a ver algo así es más pequeño en la dirección de james y más grande en la dirección x porque está cambiando conforme lo que nos dicta héctor de azul y bueno en el siguiente vídeo vamos a ver más ejemplos de todo esto para que te quede mucho más claro lo que esto significa y sobre todo lo que significa en términos de cada componente y bueno es que todo esto nos va a servir para otros temas como la divergencia y el rotacional así que nos vemos en el siguiente vídeo