Derivadas parciales de campos vectoriales, componente a componente

sigamos pensando en las derivadas parciales de los campos vectoriales esta es una de las cosas que vale la pena practicar porque es un concepto importante para el cálculo multivariable así que vale la pena tomarse el tiempo para tomar varios ejemplos y resolverlos por ejemplo este que voy a ir separando parte por parte voy a decir que tenemos un campo vectorial que es justo este tipo que tengo aquí y voy a decir que representa una función una función vectorial que depende de dos variables x y de james y voy a decir que de salida vamos a obtener algo también en dos dimensiones cuyas componentes sean funciones de xy de james así que pongámosle un nombre así que imagina que mi primera componente le pongo el nombre de la componente p es una componente que también depende de x y de james justo como habíamos dicho ok y mi segunda componente la voy a llamar q va a ser una función que también dependa de x y de 10 y bueno cualquiera de estas dos componentes son funciones escalares p y q son letras que se usan en los teoremas de cálculo multivariable con el hecho de que cualquier lector piense claro q son las componentes del vector salida del campo vectorial y bueno en este caso en específico voy a tomar la función que había elegido en el vídeo pasado recuerdas en el vídeo pasado había tomado como primera componente es decir como la componente p a la función x por james déjame escribirlo x james y como segunda componente como la función q a ye cuadrada menos equis cuadrada recuerdas esto es lo que habíamos tomado en el vídeo pasado y en el último vídeo estuvimos hablando acerca de cómo interpretar las derivadas parciales de esta función ven la función vectorial con respecto a una de las variables es decir la derivada parcial de este vector bm y de hecho lo habíamos calculado respecto a x lo cual tiene sus méritos pero yo pienso que es importante para entenderlo de una manera general sin embargo en este vídeo no voy a hablar acerca solamente de esto pienso que sería mucho más útil y es lo que vamos a hacer pensar estas derivadas parciales en términos de cada uno de los componentes y si pensamos en p y q observamos que tenemos 4 derivadas parciales posibles tenemos dos de ellas con respecto a p la derivada parcial de p con respecto a x la derivada parcial de p con respecto a yemen ok y también tenemos dos derivadas parciales con respecto a acumula déjame ponerlas aquí la derivada parcial de q ok con respecto a x y también tenemos la derivada parcial de q con respecto aa ok tenemos estas cuatro derivadas parciales involucradas ahora estas cuatro nos van a servir para entender cuál es su influencia en el campo vectorial como un todo y en este ejemplo en particular vamos a calcular las así que vamos a fijarnos en la primera en la derivada parcial de pep con respecto a x bueno si observas la función p es la función xy y como ahora estamos derivando con respecto a x entonces observamos la ye parece como una constante y por lo tanto la derivada va a ser simplemente ya y si calculamos la parcial de p con respecto a ella bueno va a pasar lo contrario en este caso x se va a ver como una constante y por lo tanto la derivada parcial va a ser x ok ahora para el caso de la función q tengo que la derivada de q con respecto a x de esto que tengo aquí me va a quedar bueno la idea parece como constante por lo tanto se va me queda simplemente en menos 2 x menos 2x y por otra parte la derivada de q con respecto ayer si observas esto parece como una constante se va y me quedan simplemente 2 siempre positiva 2 así que aquí tenemos las cuatro posibles derivadas parciales y lo que quiero que hagamos ahora es ver si podemos entender cuál va a ser su influencia en toda esta función vista como un todo que va a significar en términos de la imagen que tengo aquí y en particular vamos a aplicarnos en un punto en específico se me ocurre que tomemos a un punto que esté sobre el eje x se me ocurre pensar en este punto que tengo aquí donde es igual a 0 y x tomo un valor positivo así que imaginemos el punto no serna dejame escribirlo por aquí vamos a fijarnos en el punto x ok y que sea igual al punto no sé se me ocurre que x valga 2 y valga 0 ok vamos a fijarnos qué es lo que pasa en este punto y si sustituimos estos valores en las derivadas parciales que voy a obtener bueno si introducimos el valor de x por 2 y de 10 por 0 entonces en este caso voy a obtener 0 en este punto ok en este caso voy a obtener 2 en este punto ok en este caso voy a obtener menos 2 veces x lo cual me va a dar menos 4 y por lo tanto aquí voy a obtener 2 x 0 lo cual es 0 ok y una vez que ya tenemos estas 4 derivadas parciales evaluadas en el punto en el que elegimos vamos a ver primero qué es lo que pasa con esta derivada parcial en el contexto de mi dibujo así que para eso vamos a fijarnos qué es lo que pasa en la dirección x con los puntos vecinos a este punto donde está anclado este vector es decir vamos a fijarnos en este punto de aquí este punto de acá y vamos a fijarnos qué es lo que pasa en la dirección x bueno en este punto en particular observa que no nos estamos moviendo en la dirección x si observas a estos puntos vecinos observa que están exactamente igual este vector apunta hacia abajo y este vector apunta también hacia abajo así que aquí no existe un cambio en la componente x de estos vectores lo cual tiene sentido porque observa el valor en ese punto es de 0 que es justo lo que nos dice nuestra derivada parcial muy bien entonces en este primer caso no esperamos un cambio bien ahora déjenme borrar esto porque vamos a ver qué es lo que pasa en el siguiente caso ahora voy a pensar qué es lo que va a pasar cuando nos fijamos en la derivada de p con respecto a y esto que tengo aquí y ahora lo que quiero que veas es que este tiene un valor positivo entonces esto nos sugiere que el cambio en la componente x mientras nos movemos en la dirección quién va a tomar un valor y si vemos por aquí esta vez no nos vamos a mover la dirección x sino que nos vamos a mover en dirección james y para eso vamos a comparar este vector con este vector los vecinos de el vector que nos estamos fijando y si observas este vector tiene una componente x que va hacia la derecha y este vector tiene una componente x que va hacia la izquierda y este equipo es 0 y eso tiene mucho más sentido porque si observas la componente x de este vector también va a crecer estamos pasando de algo que va la izquierda a algo que va a ser algo que va a la derecha por lo tanto estamos creciendo y eso tiene sentido porque esta derivada parcial es positiva que es justo lo que nos sugiere el valor de pep que es nuestra componente en x del vector de salida en este caso está creciendo muy bien porque es positiva ahora en contraste vamos a ver qué es lo que pasa con la componente q y para eso déjame borrar esto que tengo aquí vamos a aplicarnos qué es lo que pasa con el cambio en x con respecto a la componente y que en este caso si observas es negativa así que de nuevo vamos a fijarnos qué es lo que pasa en dirección x por lo tanto vamos a fijarnos en estos dos vecinos en estos dos de aquí pero ahora vamos a pensar en la componente i y si observas aquí tenemos un vector pequeño aquí un vector que que es un poco más ya que un vector que crece mucho más y de hecho se mantiene creciendo y creciendo y creciendo pero todos se están apuntando hacia abajo y eso es porque tenemos un crecimiento negativo en la componente y se va volviendo más y más y más y más negativo es decir estamos decreciendo la derivada de q con respecto a x es negativa y es justo lo que tenemos esto mientras cambiamos en y finalmente solamente para dejar las cosas en orden vamos a fijarnos qué es lo que pasa con la derivada de q con respecto a james está que tengo aquí que por cierto me dice que 0 cuando esto acabamos el ejercicio así que bien vamos a ver qué es lo que pasa esta vez de nuevo en dirección james pero ahora vamos a fijarnos qué es lo que pasa en la componente y cómo cambia la segunda componente de mi función vectorial con respecto ayer pues vámonos de nuevo a los vecinos me voy a fijar en este y en este y si observas de aquí acá la componente ya no cambia tienen el mismo tamaño aquí la componente james es ligeramente negativa va hacia abajo y por aquí igual es ligeramente negativa va hacia abajo por lo tanto puedes ver que bueno en definitiva no hay cambios significativos al menos aa ojo de buen cubero tal vez si esté cambiando un poco pero no a simple vista y si nos fijamos de regreso en lo que calculamos tiene sentido porque dice que es igual a cero no hay ningún cambio alrededor de ese punto en la componente de éste así que espero que todo este tipo de análisis te ayude a tener un mejor entendimiento de lo que significa o de lo que representan estas cuatro derivadas parciales y qué es lo que indican en el campo vectorial y esto te servirá para cosas como la divergencia o el rotacional que son conceptos muy importantes y que vamos a ver en los siguientes vídeos pero por lo pronto hasta ahorita lo que te recomiendo es que practiques este tipo de ejercicios