La definición formal de las derivadas parciales

ya hemos hablado de las derivadas parciales de una función de varias variables y también hemos visto cómo calcular las e interpretarlas en términos de gráficas lo que quiero hacer ahora es dar una definición formal y sólo sólo para recordar esto es algo que se aplica para funciones con varias entradas verdad digamos podríamos tener si en variables aquí de entrada que se yo podría ser muchísimas verdad y creo que es bueno retomar la analogía para el caso de una dimensión así que pensemos cómo se define la derivada con una variable muy bien entonces pensemos en alguna función digamos que tenemos f x f x que sea como siempre nuestro ejemplo clásico x cuadrada y nosotros pensamos en quién sería la derivada de nuestra función con respecto a x verdad entonces vamos a pintar un plano aquí tenemos el eje vertical el eje horizontal en el eje vertical pondremos efe x y nosotros sabemos qué se ve más o menos así es como una es una parábola de hecho más o menos se ve así entonces para calcular la derivada de la función necesitamos especificar en donde vamos a calcular la verdad esto depende de qué punto digamos en qué punto estamos localizados entonces digamos que nos encontramos en este punto a verdad y la idea de calcular esta derivada es tomar un pequeño paso digamos en la dirección x verdad que vamos a denotar como de equis verdad y luego vemos que tanto influye esto en la función verdad es decir que tanto cambia la función al haber hecho esta pequeña variación verdad y en esencia lo que tenemos que hacer ahora es calcular la pendiente verdad de la línea que conecta estos dos puntos es decir tenemos que calcular la la proporción que hay entre df y de x que por eso es muy conveniente utilizar la anotación de la aemet es verdad entonces si nosotros por ejemplo a este de x le llamamos h verdad que es un número que va a ser muy entonces tendremos por aquí abajo h y acá arriba tendremos la variación que hay con efe verdad entonces tendremos efe de a más h que es cuánto vale la función al habernos movido tantito a la derecha verdad y le restamos lo que teníamos anteriormente esto nos da que tanto cambió la función verdad y ahora en realidad no queremos tomarnos una h particular sino queremos cada vez tomarnos h es más pequeñas y por eso es que tomamos un límite cuando h tiende a cero y esto es lo que significa tomar los pasos cada vez más más y más pequeños verdad ahora en el mundo de varias variables tenemos una historia similar y lo que vamos a hacer es tomar una fracción en digamos en donde h será un pequeño paso en alguna dirección por ejemplo en este caso en la dirección x verdad entonces por ejemplo tomemos por supuesto hay que decir dónde vamos a evaluar esto verdad digamos que evaluamos en él digamos que tenemos sólo dos entradas y vemos quién sería esta derivada parcial bueno nuevamente hagamos un cociente verdad de cómo cambia nuestra función al hacer un pequeño cambio este pequeño cambio en la dirección x vamos a llamarle nuevamente h verdad y si por ejemplo lo vemos todo esto en el espacio de entradas aquí tendremos nuestro espacio de entradas que es el espacio es un plano el plano xy y digamos que aquí ubicamos nuestro punto a b este es el punto y coma b entonces nuestra h en esencia es una una pequeña desviación una pequeña desviación en la dirección x sería nuestro de bueno aquí pues tenemos como parcial de x verdad nuestro cambio en x que también podríamos llamar h verdad y es lo que tenemos justamente aquí y como ya hemos visto anteriormente digamos la idea de tener una función que nos mande este espacio de entradas a este otro espacio de salidas que en este caso es la recta verdad aquí tendremos efe y digamos quizás por aquí cae aquí tendremos la imagen de este punto ya en el espacio de salida es verdad entonces esta pequeña variación en la dirección x nos da una variación en en ene efe verdad sería nuestra parcial de f verdad y entonces lo que queremos hacer es calcular esta diferencia verdad la diferencia de cuando teníamos efe de a más h efe de a más h que es nuestra pequeña variación y la segunda coordenada se quedó fijada verdad esa no la hemos movido y queremos ver cómo cambia con respecto al punto original verdad sería efe de b ve esto y nuevamente no queremos cualquier h si no queremos hacer que esta h se vuelva cada vez más y más pequeña es decir que este pequeño brinco se haga más chico más chico más chico y entonces estamos calculando esta proporción verdad significa que estamos tomando estamos aproximando por cambios cada vez más y más pequeños e iu y esta sería nuestra definición formal de la derivada parcial de nuestra función con respecto a la variable x y solo para practicar vamos a tratar de hacer exactamente lo mismo pero para nuestra variable y vamos a quitar toda esta parte que hicimos para el caso en una dimensión verdad que ya deberíamos estar muy familiarizados con el que vamos a quitar esto y retomemos entonces cuál sería la definición para la derivada parcial de nuestra función pero ahora con respecto a la variable y la derivada parcial de nuestra función pero ahora con respecto a la variable i y como siempre estaremos pensando evaluando esto en algún punto particular verdad entonces como como calcularemos esto ahora lo que vamos a tener es una pequeña variación pero en la dirección y acá tendremos nuestra nuestra pequeña variación y esto pues nos inducir a alguna variación en la función f verdad entonces vamos a hacer vamos a hacer el cociente de la variación ene efe y en el denominador tendremos nuestro pequeño incremento en la variable y que de hecho también vamos a denotar con h verdad entonces aquí tendremos h 'hemos h en el denominador y ahora lo que vamos a hacer es calcular efe de verdad la variable x se queda constante entonces aquí es a coma b y aquí sí tenemos un incremento más h y luego restamos lo que valía la función en el punto original efe como ve muy bien y nuevamente no queremos una h particular sino queremos hacer que estas desviaciones sean cada vez más y más pequeñas entonces aplicamos el límite cuando h tiende a cero verdad y por supuesto aquí en vez de h podríamos haber puesto del talle o pudimos haber puesto otra letra en realidad no importa quién hayamos puesto verdad el punto es que está este numerito o esta constante se vaya haciendo cada vez más y más pequeña así que esta es la definición formal para una derivada parcial es muy parecida al caso de una dimensión pero yo lo que siempre hago para tratar de recordarlo es tratar de de comprender qué significa esta digamos parcial de f esta parcial de x o parcial de y que en esencia es recuperar la notación de la verdad estamos viendo pequeños cambios en cada uno de ellos y es bueno siempre tener en mente esto puede ser algo útil sobre todo digamos a medida que introduzcamos nuevas nociones y tipos de derivadas como la derivada direccional y creo que ayudará a entender qué es lo que pasa en ciertos contextos bueno aquí terminamos este vídeo nos vemos en el próximo