Introducción a las derivadas parciales

digamos que tengo una función multi variable vamos a llamarle efe y esta función depende de dos entradas vamos a suponer dos entradas x xii y no sé vamos a inventarnos alguna digamos que esto es x cuadrada y más el seno de y más el seno de ella entonces como podemos ver esta es una función que toma valores escalares aunque tiene dos entradas verdad entonces la pregunta que vamos a hacernos en este vídeo es cómo podemos tomar la derivada de una expresión de este estilo y hay un método que es el método de las derivadas parciales y es muy parecido a digamos cuando tomamos derivadas tradicionales verdad así que veremos de hecho que son casi lo mismo así que vamos vamos a recordar un poco cómo es la notación de las derivadas tradicionales tenemos digamos tomemos una función f x una función tradicional y digamos que ésta es x cuadrada entonces tenemos x cuadrada y la notación que a mí más me gusta es esta que es la notación de lights vamos a poner de efe el sobre de x y pensemos en un punto digamos en 2 verdad a mí me gusta mucho la anotación de límites porque al menos sugiere que es lo que está ocurriendo verdad geométricamente entonces yo no gráfica digamos ponemos aquí un eje vamos a hacerlo derechito ponemos un eje y ponemos otro eje aquí está xy aquí vamos a poner fx verdad entonces esto se ve más o menos como una parábola cierto entonces si nosotros nos paramos en x igualados digamos aquí está el 2 y pensamos en este punto verdad entonces la la noción o lo que nos dice la anotación de límites tomémonos un pequeño incremento en la variable que sigamos piensen en un empujoncito de la variable x y esto sería nuestro de x y ahora pensamos cómo sería el cambio en nuestra función efe al movernos digamos con este empujoncito de x así que todo esto será el cambio en verdad entonces esto sería el cambio en f verdad entonces en realidad estamos pensando cómo cambia la salida de nuestra función al hacer un pequeño cambio en nuestra entrada muy bien entonces aquí por supuesto estamos en x igual a 2 y en realidad aquí lo que estamos haciendo es pensar en el cociente verdad es decir estamos pensando en la pendiente verdad la pendiente y esto depende por supuesto del punto en donde estemos pero también podríamos pensar esta misma idea sin gráficas digamos consideremos aquí una recta aquí tenemos nuestro espacio de entradas equis y pongamos aquí en nuestro espacio de salida efe si nosotros nos digamos colocamos en un punto aquí verdad y hacemos un ligero cambio en x pero cambio en x le estamos dando un empujoncito de nuestro punto inicial entonces la forma en la que interpretamos a nuestra función f es que de alguna forma estamos mapeando esta recta a nuestro espacio de salidas verdad entonces uno podría preguntarse cómo afecta a la salida al haber hecho un pequeño cambio en x así que si digamos que nuestro punto bajo la función que hay aquí entonces podríamos pensar que nuestro cambio en la función que vamos a denotar como de f pues a lo mejor fue muy grande verdad un pequeño cambio en x nos dio este cambio en f y estoy mencionando todo esto porque el cálculo de varias variables hacemos exactamente lo mismo entonces nosotros podríamos pensar en digamos un cambio de nuestra función efe digamos al variar la variable x entonces pensemos cómo cambia nuestra función f al variar x verdad y digamos pensémoslo en un punto particular en el punto 1 2 muy bien entonces vamos a ver la influencia del cambio en x en nuestra salida verdad entonces vamos a pensar nuevamente en cambios de x y ver cómo afecta en la salida de nuestra función entonces aquí pensamos otra vez en nuestro espacio de entradas pensemos en nuestro espacio de entradas que técnicamente es un plano verdad aquí está x aquí estará de verdad y nos colocamos en el punto 1,2 aquí estará el 1 2 muy bien aquí estará nuestro punto 1 2 y ahora si pensamos en un incremento pequeño de x podríamos pensar en este pequeño empujoncito en la dirección x verdad y vemos cómo afecta en nuestro espacio de salidas entonces a lo mejor aquí está nuestro espacio de salidas verdad aquí estará efe y a lo mejor si ese punto cae a este otro de acá vemos que nuestro camión efe en estar digamos en esta en este ejemplo a lo mejor va en dirección contraria verdad aquí puede estar el cambio en abajo nuestro cambio en f pero podríamos hacer este mismo argumento al cambiar la variable y entonces podríamos pensar en cómo cambia nuestra función o cómo se ve afectada al variar ligeramente y lo podríamos pensar en el mismo punto verdad entonces en este caso estaríamos cambiando digamos estaríamos moviéndonos un poquito en la dirección de y aquí estaríamos haciendo un pequeño empujoncito en la dirección de iu y vemos cómo afecta a las salidas entonces quizás al mover ye podríamos tener un efecto contrario podría ser que sea un cambio muy grande y del otro lado verdad hacia el hacia la otra dirección aquí podríamos tener cómo afecta a nuestra salida entonces todo esta es la idea digamos de las derivadas parciales pero aquí estamos haciendo un mal uso de la notación en realidad tenemos que usar una nueva anotación para distinguir las funciones que tienen varias variables entonces en vez de utilizar esta de vamos a utilizar una de que es digamos como curvada vamos a quitar estas veces que es una anotación solo para las funciones de una variable cuando tenemos varias variables cuando tenemos varias variables usamos una d que es como curva dita verdad entonces esta de curveada se lee como parcial literalmente entonces sería aquí parcial de f con respecto a la variable x o parcial de f con respecto a la variable de verdad y se le llama parcial pues no nos dice toda la historia de cómo está cambiando nuestra en realidad solo nos dice cómo cambia al movernos en cierta dirección ya sea en la dirección de x o en la dirección de verdad entonces aquí por ejemplo solo nos dice cómo cambia la función en la dirección así que en realidad cada una sólo nos da una pequeña parte de la historia de nuestra función así que ahora sí vamos a calcular estás derivadas así que vamos a darnos un espacio por acá aquí tenemos todo esto todo esto muy bien para poder calcular estas derivadas parciales así que vamos a calcular la derivada parcial de nuestra función con respecto a la variable x y digamos vamos a hacerlo en el punto 1,2 muy bien entonces recordemos sólo nos vamos a mover en la dirección de x así que si sólo nos movemos en la dirección de x en realidad vamos a considerar hay como una constante es decir en este caso y va a valer 2 muy bien entonces esto lo podremos reescribir como la derivada parcial con respecto de x de la expresión que tenemos aquí pero aquí lleva a ser igual a 2 entonces tenemos x cuadrada x 2 el seno de 2 seno de 2 muy bien esta es la derivada parcial con respecto de x y esta expresión ya es ya sólo depende de x entonces podemos tomar una derivada tradicional verdad entonces aquí la derivada de x cuadrada sería 2x multiplicada por una constante sería 4x verdad pues esta constante es 2 as la derivada del seno de 2 pero esto es una constante entonces esto simplemente vale 0 y en todo esto tenemos que recordar siempre que vamos a evaluar en x igual a 1 verdad que es el punto en donde estamos parados verdad aquí será tomando x igual a 1 y si tomamos x igual a 1 esto simplemente nos da 4 verdad vamos a ver qué ocurriría con nuestra derivada parcial con respecto de ye en la derivada parcial con respecto de ye en el punto 12 ahora consideraremos a la variable x como constante verdad no nos va a interesar en realidad sólo la vamos a tomar como 1 así que esto será la derivada parcial con respecto de y de la expresión que ya teníamos pero tomando x igual a 1 verdad entonces será 1 al cuadrado 1 al cuadrado que multiplica y más el seno de iu es el seno de iu y todo esto lo vamos a evaluar en g igual a 2 verdad vamos a ponerle un poquito más a la izquierda en igualados entonces otra vez esto se vuelve una derivada tradicional verdad aquí tenemos que derivar ya que nos da uno por uno al cuadrado es uno más la derivada del seno de ye que es co seno de ye y todo esto lo tenemos que evaluar en que igualados y si evaluamos tendremos uno más el coseno de dos muy bien uno más el coseno de dos entonces ésta es una derivada parcial digamos en un punto verdad en el punto 1,2 pero a nosotros nos gustaría una fórmula general que sea útil en cualquier punto verdad así que vamos a hacer algo muy similar pero en lugar de poner una constante sólo vamos a considerar a x 'guaje' constante según sea el caso es entonces vamos a todo esto todo esto y no vamos a pensar en el 12 vamos a pensar en un punto punto arbitrario equis y así que vamos a pensar en el punto x coma y vamos a pensar en el punto x coma y muy bien entonces recordemos en este caso vamos a considerar a la variable y como una constante entonces vamos a derivar con respecto de x nuestra expresión x cuadrada y voy a poner con otro color allí para que quede claro que eso va a ser constante más y el seno de iu se nos dé muy bien entonces sigue es constante verdad vamos a pretender que esto es constante entonces al derivar este sumando tendremos la derivada de una constante por equis cuadrada será 2x 2x por nuestra constante más más la derivada con respecto de x del seno de pero como esto es una constante para fines de derivar con respecto de x entonces esto nos da 0 verdad y entonces esta formulita 2x es la fórmula general para la derivada parcial de f con respecto a x en un punto arbitrario xy por ejemplo si ponemos 12 tendríamos 2 x 1 x 2 que es 4 que era lo que teníamos anteriormente vámonos ahora con la derivada parcial con respecto de y entonces nuevamente vamos a considerar ahora a x como una constante verdad vamos a derivar esta misma expresión x cuadrada x más él seno de iu más el seno de iu y esto lo vamos a derivar con respecto a que entonces en este caso x cuadrada es una constante verdad y sólo derivamos y la derivada de y es uno y esto nos queda x cuadrada y derivamos seno de ye que es co seno de iu entonces otra vez esta es nuestra fórmula general para la derivada parcial de f con respecto a y en un punto cualquiera verdad si ponemos 12 tendríamos 1 + coseno de 2 que era lo que teníamos han tenido anteriormente entonces en resumen todo esto es la idea de una derivada parcial simplemente vamos a pretender que una de las variables es constante y vamos a tomar derivadas ordinarias y sólo tenemos que recordar que esto es así pues sólo nos estamos moviendo en una dirección de la entrada y vemos cómo es que esto influye a la salida verdad en el próximo vídeo te mostraré lo que significa esto en términos de pendientes y gráficas pero siempre es bueno comprender que no solo se pueden estudiar digamos las derivadas en término gráficas y pendientes y es que por ejemplo si si hablamos de funciones vectoriales o con tres entradas ya no podemos ver la gráfica pero la idea de empujar poco y ver cómo cambia la función es más general y ayudará para continuar en el estudio del cálculo de varias variables