La diferencial de una función con valores vectoriales

en vídeos previos vimos que podíamos describir una curva en base a la función de valores vectoriales de la posición la cual en términos generales será la posición x como función de tiempo por el vector horizontal unitario más la posición y en función del tiempo por el vector vertical unitario y está esencialmente describe si te imaginas que es una partícula y el parámetro t el tiempo entonces describe la posición de esa partícula para un tiempo t dado así que si queremos establecer para una curva en particular digamos la curva c escribiríamos su función r de t la cual será aplicable para valores de t entre a y b y esto va a escribir una curva en dos dimensiones declamación una gráfica aquí aquí pagamos una gráfica repasaremos lo que hemos hecho en los últimos vídeos la curva podría ser algo así donde aquí estaría te iguala aquí te iguala ve y entonces aquí tendríamos el vector vector y a medida que va creciendo el tiempo si esta es una partícula no necesariamente una partícula pero bueno si esto es una partícula es fácil de imaginar a medida que va creciendo el tiempo los vectores se van moviendo sobre la posición de la curva eso lo vimos dos vídeos atrás y en el último vídeo vimos qué es lo que significa tomar la derivada de una función de valores vectoriales y se nos ocurrió la siguiente idea que de hecho no fue una idea es más bien la definición dijimos que r prima de t la derivada de una función de valores vectoriales también es a su vez una función de valores vectoriales y va a ser igual de acuerdo a como lo definimos a x prima de t por i + d prima de t por jota lo cual también lo podemos escribir como la derivada de r con respecto a t que es igual a la derivada de x con respecto a t es la derivada estándar es una función escalar así es que esta es la derivada de estándar de x en de t y más del pj por j ahora si queremos calcular el diferencial hay toda un desarrollo matemático complicado alrededor de esto no voy a ser muy riguroso aquí simplemente vamos a imaginar que esta expresión la puedes multiplicar por un pequeño dt o de hecho por dt y así obtendríamos el valor de the air' que va a ser igual de equis en de t por d te lo puedes cancelar lo va a escribir aquí por i más del dt por dt por j y esto lo puedes escribir voy a poner las maneras en la cual se puede reescribir esto como de erc que es igual x prima de t dt por y perdón x prima de t dt y x prima desde x en dt por dt por y más y el prima dt que es de jane dt por dt por jota y ahora para completar la trifecta podemos escribir esto como una tercera opción que sería de r es igual a y aquí podemos cancelar de test para tener de x por i + d i j y esto ese sentido con lo que podemos intuir porque si aquí tenemos este vector y este vector y la diferencia entre ellos sería este pequeño valor correspondiente a tr y está compuesto por el cambio en x que es nuestra de x este pequeño cambio aquí lo puedes imaginar aquí en el punto de x x y estamos vector izando lo al multiplicarlo por el vector unitario en la dirección horizontal más de jeff por el vector unitario en la dirección vertical así que cuando multiplicas este cambio por el vector unitario obtienes este vector aquí este vector aquí y cuando multiplicas este cambio por el vector unitario de hecho es negativo obtienes este vector aquí de tal manera que cuando suman las dos tienes el cambio en el vector de posición esto que te presentado es como un antecedente que nos va a ser útil para futuros vídeos de hecho aquí lo voy a dejar porque lo que quería hacer con este vídeo es que te familiarices con esta anotación en el siguiente vídeo lo que voy a hacer es darte el sentido intuitivo de lo que significa exactamente de lo que significa exactamente este término de aquí y reprima dt y cómo cambia depende de las distintas parametrización es lo voy a hacer con dos parametrización es para la misma curva