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Transcripción del video

digamos que tengo una curva ce verdad y a esta curva se la vamos a parametrizar como digamos nuestra coordenada x que en realidad va a ser una función que depende del tiempo y también nuestra coordenada y será una función que depende del tiempo entonces esta curva está contenida en el plano verdad en r2 y vamos a considerar valores del tiempo digamos t que sean mayores o iguales que a y menores o iguales que ve muy bien entonces lo que vamos a hacer ahora es tratar de graficar lo vamos a tratar de hacer una un esbozo de una gráfica de cómo sería esta curva entonces aquí tenemos nuestros ejes aquí tenemos el eje horizontal que es el eje x el eje vertical que es el eje y y podríamos pintar nuestra curva que quizás se vea algo así verdad entonces por ejemplo aquí aquí tendríamos el punto final que corresponde a cuando te es igual a b y entonces este punto tiene coordenadas x debe coma y debe y debe y por ejemplo entonces este primer punto de aquí seguiría cuando te vale a verdad y tendría coordenadas x de a coma idea y entonces el resto de estos puntos corresponden a los distintos valores de t entre a y b verdad para estas funciones x y ye muy bien entonces ya hemos visto esto antes por supuesto es digamos la forma común de parametrizar una curva usando 22 funciones parametrizados verdad con el parámetro de ahora lo que quiero hacer es describir esta misma curva usando una función de valores vectoriales verdad entonces lo que vamos a hacer es tomar una función de valores vectoriales digamos vamos a tomarnos r&r y le voy a poner una flechita arriba para que se indique claramente que es una función que toma valores vectoriales y de hecho en algunos libros de texto en vez de usar digamos arriba del aire utilizarían negritas verdad pero pues sería muy difícil poner yo en este en estos dibujos negritas verdad entonces en nosotros sólo para distinguir las funciones vectoriales vamos a poner una flechita arriba y sólo para que quede muy claro esto de aquí va a depender por supuesto del parámetro t que es podríamos pensar que es el tiempo verdad y todos estos de aquí todos estos valores que puede tomar esta función son vectores de posición estos son vectores aquí está ese no se ve muy bien son vectores de posición muy bien y voy a aclarar en unos segundos a qué se refiere esto de los vectores de posición de hecho lo voy a aclarar porque a veces algunas personas consideran por ejemplo este vector que es el mismo que este vector verdad digamos que para estas personas que consideran estos dos vectores como vectores equivalentes no importa dónde empiezan y donde terminan en tanto tengan la misma magnitud y dirección muy bien entonces para nosotros digamos en este caso cuando consideramos vectores de posición todos los vectores comenzarán en el origen verdad en el origen de coordenadas y terminarán en este punto por ejemplo del espacio en donde estemos trabajando verdad entonces por ejemplo nosotros podríamos poner este vector de posición de esta forma comienza en el origen y termina en el punto del espacio que nos interesa verdad entonces de esta misma idea se puede aplicar por ejemplo cuando estamos hablando de tres dimensiones de cuatro dimensiones o incluso de n dimensiones verdad así que así es como consideramos a esta función r de t como una función de posiciones de valores vectoriales entonces voy a seguir usando este color verde este rd te lo vamos a poder escribir de la siguiente forma va a ser x dt que multiplica a nuestro vector unitario en horizontal es decir en la dirección del eje x dt que multiplica al vector unitario pero en la dirección vertical verdad es decir en la dirección del eje y y por supuesto que si uno tuviera por ejemplo una tercera dimensión verdad podríamos poner más z que depende del tiempo por el vector unitario en la dirección del eje z pero bueno aquí solo estamos trabajando en r2 es decir en el plano así que nos vamos a quedar hasta aquí y por supuesto hay que poner que nuestro t nuestro parámetro t se encuentra entre los valores que son todos los valores que se encuentran entre a y entre b muy bien entonces vamos a tratar de dibujar esto mismo en otra digamos en otra gráfica para que se vea claramente que en realidad estamos expresando la misma curva es exactamente la misma curva entonces aquí está el eje x aquí está el eje de verdad ahora por ejemplo pensemos en el punto rda vamos a hacerlo por aquí vamos a ver quién sería rda bueno pues rda sería simplemente sustituir en vez de poner te vamos a poner a entonces sería x de a que multiplica nuestro vector unitario y verdad que va en la dirección horizontal más de a por el vector unitario en la dirección vertical verdad entonces por ejemplo esto en nuestra primera imagen por ejemplo aquí está nuestra coordenada x de a esto sería ideal y por ejemplo podríamos pensar que este es nuestro vector unitario y y este es nuestro vector unitario jota verdad entonces así que pensemos que es lo que está ocurriendo este vector y lo estamos estirando hasta este punto que tiene digamos magnitud x sea verdad simplemente estamos estirando el vector unitario y hasta llegar a este punto y de hecho lo mismo ocurriría con el vector j estaríamos estirando lo hasta llegar a este punto con magnitud idea muy bien lo que ocurriría en nuestro siguiente caso es que tendríamos nuestro vector de posición es decir comienza en el origen verdad y tiene esas dos componentes aquí estaría más o menos el x de a veces nuestro vector y y por acá estaría nuestra nuestro vector que corresponde a llegue a por el vector j verdad entonces este vector de aquí es r de a es r de a muy bien entonces qué pasaría por ejemplo si ahora tomamos un valor un poco más grande que a por ejemplo qué pasaría si tomamos ere evaluado en a más h bueno pues esto nuevamente sería x de a más h por el vector unitario y más idea más h por el vector unitario jota y pues básicamente lo único que está ocurriendo es que estamos dejando avanzar un poco nuestro parámetro de verdad entonces puede ser que ahora estemos colocados en este punto de aquí verdad entonces lo que ocurre lo que ocurre es que vamos a tener nuestro vector que estaría localizado más o menos así verdad siguiendo la imagen de esta curva estaría más o menos localizado aquí y este vector de aquí sería r evaluado lo va a poner mejor arriba este vector de aquí sería el vector r evaluado en h verdad entonces así podemos notar que a medida que aumentamos el parámetro t lo único que va ocurriendo es que estamos recorriendo esta misma curva pero cada uno de estos puntos lo estamos representando con un vector es decir una flecha que va del origen al punto del espacio por eso es que es un vector de posición entonces más o menos esta curva se vería más o menos así cuando lo estamos recorriendo quizás voy a voy a hacerlo un poquito mejor así y que corresponde a más o menos la misma imagen que tenemos acá a verdad entonces por ejemplo este último punto correspondería al vector que va de este punto a este otro verdad un poquito un poquito distinto verdad lo voy a hacer voy a hacerlo un poco menos grueso para que se vea claro entonces aquí tendríamos nuestra flecha verdad nuestro vector y lo tenemos este sería rdb éste sería r debe que sería el último punto en nuestra curva así que espero que no te es que estos vectores de posición lo único que están haciendo es especificar los mismos puntos de esta curva original que parametrizados con las funciones x de t 7 y esto sólo lo hago como un pequeño repaso porque ahora nos vamos a adentrar en la idea de lo que es derivar una función de valores vectoriales pero eso lo haré en el próximo vídeo