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La derivada de una función de valores vectoriales. Ejemplo

Ejemplo concreto de la derivada de una función con valores vectoriales para una mejor comprensión de su significado. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

hacer en este vídeo son dos parametrización es de la misma curva pero a diferencia vamos a hacer que le inquiere el incremento en cada curva sea distinto y así podamos tener una mejor intuición de lo que significa la derivada de una función vectorial así que vamos a decir que mi primera parametrización digamos que es x dt igual at&t igual a t cuadrada muy bien entonces en realidad estamos hablando de dos funciones escalares donde está definida entre 0 y digamos 2 ahora si quiere escribir esto como un vector de posición donde donde t es nuestro parámetro y nos va dando en qué punto de la curva nos vamos colocando pues podemos decir que nuestra función es r digamos r 1 que es nuestra primer parametrización r1 de t va a ser igual a x1 dt que esté por el vector y que es el unitario en la dirección x más de uno de t por el vector j que en realidad es t cuadrada de cuadrada por el vector unitario jota que va en la dirección del eje y y voy a hacer muy cuidadoso con esto con los gráficos porque realmente quiero que se entienda que es la derivada cuál es su significado así que pondré pondré mis ejes digamos que aquí está el 1 el 2 el 3 y el 4 sobre el eje y y ahora ponemos el eje x es muy bueno y aquí está el 1 el 2 con esto basta así entre igual a cero cuáles son las coordenadas de nuestra función bueno cuando te vale cero pues equis vale cero y también verdad así que tenemos el punto cero coma cero entre igual aún no tenemos x igual a 1 y ye igual a 1 también así que tenemos el punto 1,1 ahora cuando te vale 2 tenemos en x 2 unidades y en que tenemos 2 al cuadrado que son 4 así que en la dirección x este es nuestro primer vector y en la dirección que tenemos nuestro vector de cuatro unidades es decir este otro correcto así que nuestro último punto es el 2,4 muy bien lo colocamos ahí entonces el vector va en este aspecto verdad nada más para que se vea más claro pintándolo como flechita esto es r 1 de 2 evaluado en 2 verdad este el origen es r 1 en 0 y bueno lo que se ve es que esto es una parábola verdad esta sería la ruta que recorre el punto al moverse bajo esta regla esta es la primera parametrización ahora permítanme deshacerme de todas estas flechas nada más me voy a quedar con el dibujo de lo que de la parábola muy bien lo voy a hacer mejor voy a deshacerme de los puntos nada más y ahí está muy bien así que esta es mi parábola y puede mirarse algo parecido muy bien esta fue la primera parametrización ahora voy a hacer esta misma curva pero voy a hacerlo ligeramente diferente así que vamos a hacer esto en colores distintos digamos que x2 dt va a ser 12 y que 2 dt en este caso va a ser 2 t al cuadrado que es no es otra cosa más que 4 t cuadrada verdad también lo podemos escribir así como 4 t cuadrado ahora esto esto simplemente resultó de elevar estos dos a la misma potencia que es 2 verdad ahora digamos que en lugar de empezar que o que te vaya entre 0 y 1 eso es lo que quiero decir es decir el tiempo se va a recorrer entre 0 y 1 y vamos a tener la misma ruta nuestra segunda posición vectorial digamos r 2 dt va a ser x2 dt por y que es 2 t por nuestro vector y más de 2 dt que es 4 t cuadrada por j muy bien así que cuál es la gráfica bueno parecería que vamos a tener que pintar nuestros ejes nuevamente digamos este es el eje y muy bien y este es el eje x vamos a hacer el dibujo de lo que son las derivadas y todo ponemos cuatro unidades luego uno dos y con esto basta así que vamos a ver qué pasa cuando te es igual a cero cuando t es igual a cero en x se hace cero y en jet también así que en realidad lo que tenemos es el punto cero cero el origen ahora cuando t es igual a un medio en la posición x tenemos un medio de 2 es 1 y en la posición ya tenemos un medio al cuadrado que es un cuarto por cuatro y lo que nos queda es uno muy bien así que cuando t es un medio tenemos el punto 1,1 y por último vamos a ver qué pasa cuando te es igual a 1 cuando t es igual a 1 estamos en el mismo punto final que en el caso anterior así que la misma curva vamos a tener en esta otra parametrización ahora quiero pensar en lo siguiente vamos a pensar que nuestro parámetro t realmente es el tiempo es el tiempo y que de hecho es la interpretación más común que encontramos pero bueno digamos que es el tiempo en lo que está sucediendo cada una de las curvas verdad es como me voy moviendo a lo largo del tiempo a lo largo de estas de estas líneas ok podemos imaginar un punto que se va moviendo a lo largo de de estas curvas y que es en este caso segundo este punto es capaz de cubrir la misma línea pero en menos tiempo verdad aquí nos lleva de 0 a 1 mientras que en el caso anterior de 0 a 2 en esta segunda parametrización a pesar de que la ruta de acceso era la misma las curvas son iguales en este caso el punto es más rápido ok hay que tener en mente que cuando pensamos en la derivada de ambos vectores de posición de estas funciones en en realidad recordemos que el punto se mueve más rápido cada vez que nos movemos en esta curva verdad ahora veamos la derivada de estos dos chicos veamos así que la derivada de este realmente la derivada de r1 de t déjenme permítanme utilizar otro color mejor déjenme hacerlo en azul digamos la derivada de r1 la derivada de r1 recordemos que la derivada es la derivada de cada una de las componentes verdad así que la derivada de la primera es 1 por i ahora vamos a sumarle la derivada de la segunda componente que en este caso es la derivada de t cuadrada es 2 t y multiplicamos por jota vamos a aprovechar la derivada de esto ahora hagamos la derivada de r2 la derivada de la primera componente es 2 x más la derivada de la segunda es 4 por la derivada de t cuadrada que es 2 t y 4 por 2 es 8 así que tenemos que la derivada será 8 por j 8 t por jota muy bien ahora la pregunta es que que hace cada una de estas derivadas que por qué son tan distintas y son la misma curva así que vamos a mirar no sé vamos a ver qué tan rápido se mueve en uno digamos en el punto 1,1 de esta primera así que en realidad estamos tomando té igual a 1 por lo que el vector derivada del vector derivada de este punto en el punto 11 vamos a hacerlo en el 11 verdad en cada una de las parametrización es así que en este lugar estamos pensando en el tiempo 1 mientras que en el segundo en el tiempo igual a un medio ahora r 1 en 1 sabemos que la derivada de r1 en uno es 1 y más 2 y evaluamos de igual a 1 así que es 2 j así que en este momento la derivada de nuestra función tiene como componente en x1 y como componente en y 2 así que sacamos este vector poniendo esta suma de vectores esta suma de dos vectores colocamos un vector anclado en este punto que llega hasta este que encontramos que es el 1 2 1 y perdón + 2 j déjenme lo pinto mejor exacto yo lo que quiero es que se vea que en realidad están gente a la curva y que va en dirección en la misma dirección en la que la partícula se va moviendo ahora está este vector derivada es el 1 y más 2 j este es la derivada de r1 en el punto de igual a uno correcto cuando te vale 1 cuando el tiempo ha recorrido un segundo ahora analicemos la misma posición en esta segunda parametrización y bueno como ya dijimos aquí es cuando el tiempo ha transcurrido medio segundo así que vamos a tomar vamos a hacerlo con el mismo color la derivada de r2 evaluado en un medio correcto así que la derivada de r2 evaluado en un medio es 2 y más más 88 por de que vale un medio así que es 4 verdad 4 por jota así que qué es lo que estamos viendo la derivada instantánea en este punto está muy relacionada con el caso anterior déjenme lo pinto en este caso nos movemos 2 en la dirección x y 4 en la dirección muy bien obtenemos este punto por lo que al pegar estos dos puntitos que nos definen nuestro nuestro vector déjenme ver si me sale bien o algo así muy bien más o menos no no no lo estoy dibujando tan claro como me gustaría pero bueno vamos a notar algo estos dos vectores van en la misma dirección tienen la misma ruta tangencial a nuestra curva en eso en eso no debe haber duda pero este vector tiene una magnitud mucho más grande que la magnitud del vector anterior de hecho es el doble y eso tiene mucho sentido porque cuando hablábamos de las funciones y sus derivadas y demás esta longitud del vector podemos interpretarlo como la rapidez la longitud será igual a la rapidez que si te has imaginado esto con respecto al tiempo y las parametrización es representan un punto que se mueve a lo largo de la curva en este caso la partícula tiene una velocidad o una rapidez mucho mayor así que si lo piensas el vector de acá lo podemos imaginar como en realidad una velocidad una velocidad y esa es la dirección que lleva la velocidad la otra el tamaño vamos a considerarlo la rapidez ok en este caso si éste usamos el teorema de pitágoras para calcular la la magnitud de estos vectores pero lo que quiero que vean es que en realidad basta con ver que éste es mucho más grande así que esperemos que ahora tengas esto muy claro y que se te haya quedado hasta en las tripas