Parametrizar una superficie. Parte 1

hasta ahora solamente hemos parametrizado una curva con un solo parámetro lo que vamos a hacer en este vídeo es parametrizar una superficie en tres dimensiones usando dos parámetros y vamos a empezar con un ejemplo que es un toro a un toro o más conocido como la forma de una dona perfecto y sabemos a qué se parece una verdad voy a dibujarla en un color espero poner un color apropiado para las zonas como verde una dones como esta verdad tiene un hueco en el centro y tal vez en el otro lado lo podemos dibujar de esta forma para que más o menos parezca un add-on es más vamos a sombrear la así como se ve muy bien así se ve la don entonces como lo construimos usando dos parámetros lo que queremos hacer es que podamos visualizarla como si dibujara mos unos ejes aquí déjenme déjenme de dibujo los ejes supongamos que tengo el eje z que va de arriba a abajo y que está dibujado justo es más incluso lo va a pintar inclinado que pasa justo en el centro de la dona si seguimos así bueno esto va a ser como una especie de ejercicios de dibujo más bien entonces este es mi eje z y podemos imaginar que el eje z va desde hasta arriba hasta abajo y lo que sale de este lado será el eje x correcto y lo que salga de este otro lado será el eje y sale de esta manera y la razón por la cual lo dibujé de esta forma es para que imagines en la sección de cruce en donde se encuentra la dona y apreciar la más fácilmente así que los ejes x z digamos en el plano que me define los ejes x y z cortan en una sección circular de esta forma y este sería la forma del círculo bueno trazar un círculo como esto es simplemente hacer la intersección de ese eje con el toro ahora vamos a rastrear otro círculo que se obtiene de interceptar el plano ez con el toro verdad y se ve de la misma forma así que vamos a pensar que es un manojo de círculos rotando alrededor del eje z si lo piensas de esta forma nos daremos muy buena intuición de la forma de parametrizar esta cosa así que vamos a hacerlo de esta forma vamos a empezar solo con el eje y con el eje z por este lado y vamos a pintar de este otro lado oops perdón vamos a pintar el eje y muy bien entonces lo que estoy viendo es este círculo que le estoy colocando un centro en azul ok y el centro se sitúa sobre el eje y aquí a lo mejor el dibujo no es muy claro pero bueno esa es la idea de lo que estoy haciendo y digamos que hay una distancia ve al centro es decir al eje la verdad al centro del toro la distancia que habrá es ve y esta distancia también aplica para todos los círculos que se encuentran en el toro muy bien ahora voy a pintar la parte digamos superior del toro digamos que lo estamos viendo desde una perspectiva desde arriba sale entonces sólo se ve algo así como como una especie de anillo el eje z va a ser como como si estuviera saliendo de la pantalla verdad entonces tenemos aquí lo es los ejes xy ok entonces estoy volando y estoy viendo desde arriba midón y se verá de esta forma si te imaginas la sección transversal este círculo va a corresponder a una línea verdad este círculo sólo corresponde a una línea por ejemplo que está en el eje y y quedaría solo como eso y la distancia ve simplemente es la distancia en esta perspectiva al punto medio del segmento déjenme pintarlo con otro con el mismo color perdón el moralito esta sería nuestra distancia ve la distancia al centro de los círculos que aquí desde esta perspectiva se ven simplemente como líneas va a ser ve esto me debe todo esto me debe desde el centro del toro hasta el centro del círculo y eso es lo que definimos como la distancia vez así que en esta distancia en el plano detalle ahí pintamos nuestro ve y podemos imaginar que las secciones tienen un radio de longitud para estos círculos la longitud que pintamos de amarillo es d 2 la verdad es decir ese es el diámetro el radio es de a entonces lo que vamos a hacer es tener dos parámetros uno es el ángulo que hace el radio de la sección con el plano xy y el otro bueno lo que podemos imaginar es que de aquí sale el el eje x verdad en amarillo se pueden imaginar que sale de aquí este es el plano xy y para un parámetro va a ser el ángulo entre nuestro radio y el plano xy y vamos a llamar ese ángulo o ese parámetro y vamos a llamar digamos que es ese y así ese va entre 0 y 2 pi y como ese va entre 0 y 2 y cuando vale 0 sólo va a ser este puntito que coloque aquí y luego recorriendo lo todo 2 pi estoy haciendo el círculo que se ve como ese ahora sólo tenemos un parámetro lo que queremos hacer es girar alrededor del eje z para obtener todo el toro verdad es decir vamos a barrer lo vamos a barrer lo alrededor del eje z y vamos a definir otro parámetro digamos a este parámetro le voy a poner t déjenme déjenme hacer otra vista superior para no hacer mucho alboroto como pueden ver todo es una cuestión de visualización así que vamos a decir que aquí están mis ejes xy y vamos a comenzar con una distancia ve al eje z verdad sobre el eje y es decir estamos trabajando en el plano receta el plano es digamos el eje z es el que podría estar apareciendo fuera de la pantalla y bueno cuando ese es igual a cero radiales vamos a estar precisamente aquí exactamente a una distancia del punto y vamos a rodear todo este camino hasta este punto vamos vamos a ver este diámetro ahora para hacer la dona lo que queremos es girar alrededor del eje z vamos a girar alrededor del eje z que está mirando hacia arriba hacia nosotros digamos y que está saliendo desde de la pantalla ahora para rotar lo vamos a dibujar un círculo alrededor del eje z y para ello vamos a definir un parámetro que nos dice cómo nos hemos puesto a girar cuánto hemos girado es decir cuánto hemos rotado alrededor del eje entonces en algún momento vamos a estar aquí y lo haríamos digamos en un radio igual a b entonces estos estos que estamos pintando en este momento habrán girado digamos una digamos algunos radiales vamos a llamarle a este parámetro este parámetro vamos a llamarle t y también va a variar t entre 0 y 2 pi que está entre 0 y 2 pi y quiero dejar esto muy claro vamos a llamar realmente el dominio que le estamos asignando de de nuestra superficie por lo que entendemos entenderemos completamente la superficie en un dominio en donde el aceite se permiten estar entre 0 y 2 pib perfecto vamos a tener una función de valores vectoriales así que vamos a pintar digamos ahora el espacio de los parámetros vamos a pintar aquí te que recordemos que es los radiales que estamos midiendo en este último ejemplo y al eje de abajo vamos a llamar el eje s y esto va a ayudar a a ver oa simplificar las cosas un poco entonces cuando s es igual a 0 lo que vamos a estar variando es cs entre 0 y 2 pi así que ese permite estar en estos valores digamos aquí está pi aquí está y medios y aquí va a estar 3 y medios y hacemos lo mismo con el eje que vamos a ir de 0 a 2 aquí está de 0 a 2 pi y lo que quiero realmente es visualizar la parametrización que creo que va a ser algo muy sencillo así que aquí va a estar y aquí está y medios aquí va a estar tres medios tres medios y vamos a pensar en lo que parece cuando tenemos algunos de los parámetros constantes digamos que ese es 0 entonces cuando ese es cero tenemos todos estos posibles valores para t que van entre 0 y 2 pi así si lo piensas debe ser una curva en tres dimensiones verdad estamos dejando fija s por lo tanto nuestra parametrización sólo varía en un parámetro que entonces nos representará una curva así que si pintamos aquí los ejes x el eje i y luego el eje z ok el eje zeta ok un poquito derecho vamos a hacerlo más grande mejor creo que ayudará a todos nosotros a visualizarlo así que pintemos más grande el eje x luego vamos a pintar más grande el eje y y finalmente el eje z y sube de esta forma muy bien ahora recuerdo cuando s es igual a cero ok quién era ese vamos a retomarlo ese era el ángulo entre este radio y el plano xy así que no hemos girado alrededor de esto en lo absoluto si ese es cero entonces ahora vamos a colocar el centro el centro del círculo que si recuerdan estaba a una distancia b y además tenemos un radio que me idea así que este segundo punto va a ser de masa esto es b y luego le sumamos a ahora vamos a rotar t que era cuánto habíamos girado alrededor del eje z por lo tanto esta línea t que dibujamos en el espacio de los parámetros en nuestro dominio etc además pearl o corresponde a una curva que es esencialmente el borde de una circunferencia verdad es un borde de la rosquilla de la dona y para hacer mejor esto déjenme pintar los ejes también en su dominio tanto negativo ya había pintado los positivos los positivos perdón vamos a dibujar también los negativos así es entonces para esta línea nuestro plano en el plano ts esto representa a una circunferencia entonces aumentamos los radiales de 0 a 2 pi y entonces es perdón aquí estamos dibujando hasta pi y luego damos otro pri medios y finalmente damos toda la vuelta que corresponde a dos peak girando alrededor del eje z como nos indica el parámetro t y manteniendo a ese constante ahora vamos a hacer otro punto vamos a decir digamos cuando s es igual a pi ok entonces vi recordemos que 180 grados entonces en este dibujito el ángulo s corresponde a este punto de acá y vamos a mantenerlo constante en ese igual aquí vamos a tomar el interior de los anillos ya verán porque cuando s es igual a pi en nuestro espacio ese combate es fijar eso y ahora nos fijamos en este punto de por acá si el centro es ve el punto en amarillo que pinte corresponde a ve - a ahora aquí en el espacio st dejamos fijo s en pi y corresponde a una línea ahora esta línea corresponderá a una circunferencia parametrizado en el espacio tridimensional a algo así verdad fue mi mejor intento al introducirlo y así podemos hacerlo múltiples veces podríamos hacerlo incluso con distintos colores por ejemplo cuando s es igual a pie entre 2 es decir tenemos 90 grados correcto y a continuación lo que tendríamos es digamos la tapa superior o el círculo superior de nuestra dona entonces digamos que podríamos empezar por aquí en este puntito amarillo y cuando ese es y medios lo que vamos a variar este entre cero y dos pick up's tengo muchos problemas para pintar líneas rectas así que al variar te lo que tendríamos es la parte superior de estos círculos digamos estas secciones circulares y lo que nos va a dar variando todo t es este círculo superior que va a ser algo así más o menos en la parte superior de nuestros anillos si estaba exacto si quería ser sólo la parte inferior de la dona pues simplemente tomaré la parte donde s es igual a 3 y medios 3 y medios tomamos en esta línea y entonces corresponde al círculo inferior justo ahí ok a lo mejor no se alcanza a ver todo si esto fuera transparente bueno se podría localizar muy bien y al variar te tendremos este círculo sé que el gráfico se está volviendo un poco confuso espero que cache muy bien de la idea y cuando ese es igual a 2 y tendremos de nuevo los círculos que estamos pintando verdad cuando s es igual a 2 pi tendremos el mismo círculo que cuando s era igual a 0 variando t ahora vamos a hacer lo contario con lo contrario perdón qué sucede si mantenemos de igual a cero tengamos este igual a 0 muy bien entonces de igual a cero significa que no hemos girado alrededor del eje z así que si te es igual a 0 y es lo empezamos a mover entonces tendremos una de las secciones transversales verdad aquí estamos pintando ese entre 0 y pi medios ahora seguimos pintando entre 0 perdón entre pi medios y pitt muy bien sumamos otro pi medios aquí estamos ya en la parte baja y terminamos el camino hasta 2 pi esta línea este círculo corresponde en el espacio de los parámetros a cuando te es igual a cero perfecto por ejemplo ahora cuando te es igual la vamos a hacer de un color diferente cuando te es igual a pi medios dejamos fijo te iguala pi medios entonces hemos dado una vuelta alrededor del eje z en un ángulo de medios así que andaremos en esta circunferencia de por acá cuando vayamos s esta línea en los parámetros corresponde al círculo azul y lo podríamos seguir haciendo para cuando éste es igual a ti tendremos este mismo camino pero en otra posición digamos sería en este lado verdad habiéndole dado media vuelta al eje zeta muy bien variando todo esto entonces estaríamos rellenando toda la zona verdad claro ahora este color digamos morado es cuando te es igual a tres y medios estaríamos justo sobre el eje x verdad en el eje x y de hecho es en el plano x zeta aumentamos ese y nos da otro circulito igual a los anteriores y por supuesto cuando llegue a t igualados pi ya habré recorrido todos los círculos y empezamos nuevamente así que podemos oscurecer un poquito más para que se vea que es lo que estamos haciendo hasta ahorita no hemos hecho matemáticas realmente solo hemos hecho visualización de qué es lo que queremos en un sentido de parametrizar con dos parámetros nuestra superficie y sólo para tener una ligera idea de lo que estas áreas en el espacio se te corresponden en la superficie en lo que supongo que se podría decir en el espacio de tres dimensiones estapé que este pequeño cuadro de aquí que está acotado digamos por ese entre medios y ese está perdón es está entre 0 y pi medios y t también entre 0 y pi medios entonces a qué corresponde estamos moviéndonos en s / pyme dios' 0 y pi medios que es esta parte del toro vamos a moverlo así es esta sección verdad porque también te lo estamos variando entre 0 y pi medios es decir se está viendo desde la parte digamos superior más o menos se vería de esta forma verdad entonces puedes imaginarte que hemos trazado esta parte del área de de la superficie matemáticamente no he demostrado nada pero bueno sólo quiero que lo visualicen por ahora ahora creo que hemos hecho una muy buena perspectiva de lo que es parametrizar realmente estaremos listos para parametrizar formalmente esta superficie vamos a tomar ese que es girar alrededor o más bien separarnos del plano x y te va a ser girar alrededor del eje z y así vamos a terminar como parametrizar esta superficie ambos parámetros estarán entre 0 y 2 pi y lo convertiremos en una superficie en tres dimensiones muy bien vamos a tener una posición vectorial y lo haremos en el siguiente vídeo