Funciones multivariables

hola y bienvenidos a cálculo multivariable ok y quizás debo decir antes que nada que soy un gran entusiasta de las matemáticas y de verdad que disfruto hacer animaciones cuando se puede y vaya que es que se puede cuando se trata de cálculo multivariable así que quizás la primera cosa que debemos dejar claro es que significa esta palabra multivariable verdad y esto es lo que separa digamos al cálculo como lo conocemos de este nuevo tema que estamos por estudiar y podría decir que todo esto se trata de funciones multi variables y eso en realidad no responde nada verdad porque uno diría bueno que es una función multi variable y básicamente este tipo de funciones a los cuales estamos acostumbrados digamos a trabajar en el viejo mundo en el en el mundo del cálculo ordinario simplemente teníamos una entrada verdad una entrada digamos equis y nos arrojaba algún tipo de número como digamos como salida de verdad digamos cuadrada muy bien entonces podríamos llamar a esto una función de una variable digamos simple verdad básicamente porque este tipo de aquí es una sola variable entonces una función multi variable es algo que maneja muchas variables así que como sabes digamos es común escribir esto con xy llevamos a usar otro color digamos pensemos en una función f que depende de dos variables digamos xy pero por supuesto que que no sólo podrían ser xy en realidad podríamos poner más variables digamos x jay-z también podríamos poner en vez de x jay-z podríamos poner x 1 x 2 y x 3 y un montón de cosas pero bueno digamos para ir iniciando simplemente pensamos en dos variables y esto nos va a arrojar digamos una salida verdad que depende de estos dos entonces típicamente esa salida será un número pero podríamos imaginar que este número depende de xy de jeudi de la siguiente forma podría ser x cuadrada y verdad entonces también podríamos pensar en esta función verdad que tenga una salida que fuera un vector entonces podríamos imaginar a esta función efe que depende de xy de y que nos da un vector verdad digamos 3x vamos a poner 3x y 2 ahí lo tenemos entonces esta salida digamos también es algo que tiene múltiples variables verdad digamos 3x eso es una 2 es otra entonces digo esto no está escrito en piedra pero las convenciones que usualmente pensamos a que si tenemos múltiples números que están en la salida entonces los los pensamos como si fueran un vector ok y si hay múltiples números que están en la entrada simplemente los escribimos digamos de forma contada como lo tenemos aquí verdad y los pensamos como un punto en el espacio a que voy con esto podríamos pensar en principio que tenemos una recta numérica y digamos aquí se encuentra el valor de x verdad y después podríamos pensar en otra recta numérica otra recta numérica y digamos aquí tenemos el valor de de verdad entonces podríamos pensar de esta forma y es decir nuestro bar nuestra variable x y nuestra variable y los pensamos como dos números separados verdad como dos entidades separadas pero quizás sería mucho más preciso sería mucho más preciso si consideramos a equis y simplemente digamos juntos podremos pensarlo en el plano xy consideramos el plano x y ahora el xy se corresponde a un punto en este plano verdad y así pensamos esta función que toma un punto hacia un número o quizás hacia un vector y muchas personas cuando empiezan a enseñar cálculo de varias variables simplemente brincan hacia el cálculo y digo hay muchas muchas cosas que aprender podríamos hablar de derivadas parciales gradientes y un montón de cosas muy divertidas pero lo primero que yo quiero hacer es digamos pasar un par de vídeos simplemente hablando de las distintas formas en que visualizamos los distintos tipos de funciones multi variables así que como un vistazo simplemente vamos a ver algún digamos un par de ellos rápidamente solo para que te para que te abra el apetito hacia todo lo que queremos llegar pero en los siguientes vídeos si vamos a entrar en más detalles de todo esto así que primero las gráficas cuando hablamos de funciones multi variables las gráficas se vuelven tridimensionales pero esto realmente solo aplica para funciones que tienen digamos una entrada de dos dimensiones que podríamos pensar que viven en este plano xy verdad y un simple número digamos va a hacer su salida y así la altura de esta gráfica va a corresponder con la de dicha salida y como dije serás capaz de aprender mucho más acerca de esto en el vídeo dedicado a este tema pero estas funciones también pueden ser visualizadas en dos dimensiones digamos aplanando todo esto donde visualizamos todo el espacio de entradas completo con un color asociado en cada punto y este es el tipo de cosas en donde tienes una función digamos con entradas de dos dimensiones digamos efe de x y digamos que esto nos da una salida que es un número digamos x cuadrada ok y sabemos que a lo mejor podemos tener otras cosas más complicadas verdad y el color nos dice digamos el tamaño de la salida y las líneas de aquí se le llama curvas de nivel qué nos dice digamos todos las todas las entradas que comparten una salida en común verdad un mismo valor de salida y otra vez vamos a entrar en más detalle de esto y esto en realidad es muy bonito mucho más conveniente que las gráficas tridimensionales para ir haciendo algunos esbozos también vamos a hablar de superficies en tres dimensiones verdad que parecen como gráficas pues en realidad estamos hablando de un animal mucho más más raro verdad que podríamos pensar como un mapeo de dos dimensiones verdad y de alguna forma tenemos una entrada de dos dimensiones y se mueve en tres dimensiones que es lo que estamos viendo aquí verdad la salida es justamente como estando una verdad y en realidad no nos está importando cómo es que llega ahí a estas se les llama superficies parametrizados otro tema divertido es el de los campos vectoriales en donde cada punto de entrada se le asocia a un vector verdad porque es la salida de nuestra función así que sería una función con una entrada en dos dimensiones y una salida en dos dimensiones la de la parte divertida con estos tipos es que puedes digamos imaginar un un fluído que está justamente fluyendo y puedes pensar en un montón de gotitas como si fuera agua verdad que están fluyendo a través de este plano verdad y eso de hecho nos da cierta idea de cuál es la función que hay detrás verdad es uno de esos aspectos muy bellos del cálculo multi variable y vamos a tener mucha exposición de este tema otra vez simplemente estamos tratando de digamos abrir tu apetito para este tema no importa si esto no tiene mucho sentido inmediatamente para ti y finalmente mi forma favorita de pensar a las funciones multivariable se es justamente tomar el espacio de entradas que en este caso va a ser una función que tiene puntos como entradas en un espacio de dos dimensiones y podemos ver cómo es que se mueven hacia sus salidas así que esto va a ser una función que también tiene salida en dos dimensiones y vamos a ver como cada punto verdad se va a mover hacia donde se supone que tiene que ir y quizás esto puede ser complicado de ver al inicio verdad o al menos de pensarlo pero a medida que ganemos un poquito de intuición y cierta exposición al tema verás que es muy bonito y qué digamos una muy bella conexión con el álgebra lineal y quizás muchos de ustedes ya es que estén ahorita estudiando cálculo multivariable quizás están por estudiar álgebra lineal o ya lo están estudiando en este momento pero bueno al fin al final de cuentas las funciones digamos las podemos ver como transformaciones y eso será una forma muy muy buena para conectar estos dos temas así que con esto voy a voy a pararle a la plática en este vídeo así que en los siguientes vídeos vamos a entrar con más detalle en todos estos temas y espero que tengan una muy buena sensación de que son las funciones multivariable y cómo es que se siente trabajar con ellas