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Transformaciones, parte 2

Más transformaciones, pero ahora con una función que mapea dos dimensiones a dos dimensiones.  Creado por Grant Sanderson.

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Transcripción del video

en el último vídeo introduje la noción de transformación y cómo podríamos pensarlo cuando tenemos funciones verdad simplemente las pensamos como puntos que se mueven de un espacio en otro y aquí quiero mostrarte un ejemplo de cómo se ve digamos cuando el espacio de entrada es de dos dimensiones así que por ejemplo aquí tenemos el espacio de entradas y aquí tenemos el espacio de entradas que simplemente es una copia del plano xy verdad y el espacio de salida también es de dos dimensiones así que el espacio de salidas en este caso es un plano de dos dimensiones aquí está el espacio de salidas ok entonces lo que quiero hacer digamos es es correr una animación es un ejemplo de una de estas transformaciones y después vamos a entrar en más detalles de digamos la función que hay detrás de esta animación para que podamos entender muy bien la transformación como un como un todo verdad así que así es como se ve la animación aquí vemos hacia dónde se está dirigiendo vemos que es bastante complicado hay un montón de puntos que se están moviendo un montón de cosas distintas están ocurriendo aquí y lo que es muy común en este tipo de situaciones es que cuando estamos pensando en el movernos de dos dimensiones a dos dimensiones en realidad lo podríamos pensar en el mismo espacio en el plano xy es decir vemos una copia de ese plano que se mueve en sí mismo es decir vemos el espacio de entrada y salida al mismo tiempo y por cierto cuando digo vemos no me refiero a que siempre vamos a tener una animación como esta en realidad cuando hablo de transformaciones digamos es una idea vaga que tengo en mi mente en algún lado pero pero al menos ayuda a entender qué es lo que está ocurriendo con esta función y voy a hablar de esto más adelante pero pero ahora vamos a ver qué función es la que estamos viendo aquí así que la función que le dije a la computadora que anime aquí es una función f que depende de dos variables x y ye y esta función es x cuadrada voy a hacer mejor esto x cuadrada más que cuadrada este digamos la componente x en nuestro vector y la componente que será x cuadrada menos que cuadrada así que sólo para ayudarnos digamos a ir entendiendo esta función vamos a tomar un punto relativamente simple así que digamos por ejemplo tomemos el origen tomemos el origen y veamos dónde o más en cuál será el vector salida del origen es decir veamos quién es la imagen de 0 0 verdad entonces cuando x y jenson ceros x cuadrada más de cuadrada se hace 0 y x cuadrada menos de cuadrada es 0 también verdad ambos son ceros es decir si vemos la animación lo que significa es que este punto se mantiene fijo con la transformación es como como si mantuvieran tu pulgar apretándolo y realmente no le estaría pasando nada de hecho por eso es que este punto le llamamos un punto fijo de la función así que este tipo de terminología en realidad no tiene sentido a menos de qué seguimos a la función como una transformación así que fijémonos en otro ejemplo aquí pensemos en otro punto así que tomemos digamos el punto 11 tomemos el punto 1 y evaluemos la función en este punto así que fijémonos por ahora solo en las salidas ok solo en el espacio de salidas aquí se encuentra el 11 y nos preguntamos hacia dónde se va a mover así que cuando sustituimos esto en nuestra función tendremos uno al cuadrado 1 al cuadrado y en la segunda componente tendremos 1 al cuadrado menos 1 al cuadrado entonces tendremos en la primera componente 1 más 1 que es 2 y en la segunda componente tendremos 1 menos uno que es cero muy bien esto significa que podríamos esperar que este punto se mueva hacia el 20 de alguna forma así que si nos fijamos de nuevo en la transformación podemos esperar que este punto se mueva justo por acá y nuevamente puede ser difícil de seguir porque hay un montón de cosas que se están moviendo pero si somos cuidadosos a la hora de observar este punto veremos que cae justo donde habíamos dicho y en principio podríamos hacer esto para cualquier punto y tratar de entender cómo es que se mueve de un lugar a otro y tú podrías preguntar cuyín pero cuál es el punto de todo esto si tenemos otras formas de visualizar funciones que quizás son más precisas y 'la para ser honestos menos confusas por ejemplo los campos vectoriales son muy buenas formas para este tipo de funciones verdad quizás las gráficas serían mejores para las funciones con una entrada y una salida de una o dos dimensiones y por qué pensar en términos de transformaciones y la razón principal es conceptual no es como que siempre tengamos una animación digamos en frente y no vamos a poder hacer siempre a mano digamos no vamos a poder evaluar un montón de puntos y pensar cómo es que se mueven para hay un montón de distintos conceptos en matemáticas digamos con funciones en particular que cuando los entendemos en términos de una transformación nos da un mayor entendimiento de qué es lo que está ocurriendo cosas como por ejemplo derivadas o las variaciones de las derivadas que vamos a aprender en este mismo curso hay hay muchas formas de entenderlas y en términos de por ejemplo comprimido expandir el espacio y cosas de ese estilo y que no siempre tienen una buena analogía con digamos las gráficas o los campos vectoriales así que al menos le da más sabor a nuestro entendimiento de las funciones también las transformaciones son una parte súper importante del álgebra y llegar a un punto en donde estarás aprendiendo la conexión entre el álgebra lineal y el cálculo de varias variables y si tienes una buena digamos un buen concepto de las transformaciones tanto en el contexto de álgebra lineal como en el contexto de cálculo verás y estarás mejor posicionado para entender la conexión entre estos dos campos