Transformaciones, parte 3

en este vídeo quiero darles un último ejemplo de una transformación antes de que nos movamos directamente al cálculo de varias variables así que en el vídeo donde hablamos de superficies parametrizados les di esta función de aquí que de hecho tiene una expresión bastante complicada verdad y en realidad tiene una entrada de dos dimensiones y una salida de tres dimensiones y hablamos de cómo podríamos pensar esto verdad dibujando una superficie en un espacio de tres dimensiones y después vimos que esta superficie en realidad era una duna que también podríamos llamar toro así que lo que quiero hacer en este vídeo es hablar de cómo podríamos pensar esta función como una transformación y primero déjenme ir directamente a lo que sería el espacio de entrada verdad al espacio de entradas así que esto en principio podría ser todo el plano de ese verdad entonces podríamos en principio pensar en el plano ts aquí estaría el eje t y de forma vertical tendríamos el eje s verdad ahí tendríamos el eje s pero todavía podríamos tomar un subconjunto de esto verdad simplemente podríamos limitarnos a tomarnos t de 0 a 2 pi aquí estaría más o menos 2 pi y también lo mismo podríamos hacer con ese verdad vamos a tomar ese hasta el valor 2 muy bien entonces podríamos imaginarnos que en realidad estamos considerando una región cuadrada más o menos este cuadrado estamos considerando esta región cuadrada donde aceite o té y es más bien se mueven entre 0 y 2 y verdad entonces sólo vamos a considerar los puntos que necesitamos para dibujar el toro y la razón básica por la cual estamos tomando solo estos valores es porque por ejemplo coseno de teo seno dt o seno de s o coseno de de s en realidad tienen estos son funciones periódicas de periodo 2 y verdad entonces con esto basta para cubrir todo el rango verdad así que lo que podemos hacer es tomar esta porción verdad del plano ts verdad lo podríamos pensar como que vive en un espacio también de tres dimensiones y en realidad es un poquito de hacer trampa digamos pero al menos es mucho más fácil hacer esto que imaginarlo digamos moviéndose de un área separada a otro espacio verdad al menos al menos sirve para la animación y es mucho más fácil digamos empezar en el espacio de tres dimensiones así que vamos a pensar que este cuadrado digamos que está en el plano ts está metido en este espacio y para esta función estaremos tomando todos los puntos de este cuadrado como los valores de entrada y las salidas de cada punto estarán en el espacio de tres dimensiones y podríamos pensar cómo es que estos puntos se mueven a sus correspondientes salidas así que te mostraré nuevamente empezamos con nuestro plano ts verdad que está por aquí y dependiendo de cada punto de entrada es digamos a dónde va a seguir hacia su punto de salida verdad si siguiéramos cada uno de estos puntos a través de esta transformación el lugar a donde cae sería digamos la salida correspondiente de esta función y una de las cosas que quizás debería mencionar es que cada valor digamos que está interpolado entre el valor inicial y el final en realidad no importa en verdad su función es la función es realmente una cosa estática sólo hay una entrada y hay una salida así que si pensamos en términos de una transformación en realidad moverlo de uno a otro es digamos como como un poquito de magia verdad es solo para que la animación se vea amigable verdad y en este caso lo estoy mostrando digamos como en dos bases en donde se van enrollando que en realidad no importan pero la idea general es empezar con un cuadrado y de alguna forma transportarse hacia los valores de salida verdad así que a medida que nos adentramos en el cálculo de varias variables y empecemos y vamos a pensar un poquito más a profundidad en los temas de superficies yo digo que realmente ayuda a pensar cómo es que un pequeño movimiento en el espacio de entrada es verdad se vería reflejado en un pequeño movimiento digamos en el espacio de salida es verdad en nuestra superficie ya tendremos más oportunidades para engancharnos con estas ideas de las superficies pero aquí al menos solo quiero que sus mentes se vayan acostumbrando a estas formas muy bonitas de ver las funciones que estamos construyendo