Introducción a las gráficas 3d

hola a todos lo que quiero hacer en este vídeo es describir cómo es que pensamos las gráficas en tres dimensiones y las gráficas en tres dimensiones digamos son una forma de representar algunos tipos de funciones multi variables muy bien y este tipo de funciones tiene dos entradas verdad tendrá dos entradas vamos a escribir esto bien tendrá dos entradas y solo un número como salida verdad entonces digamos la gráfica que tenemos aquí es exactamente la gráfica de la función x cuadrada más que cuadrada muy bien y antes de empezar a hablar digamos con más detalle de esta gráfica me gustaría hacer una analogía que va a ser muy útil cuando hablamos de gráficas en dos dimensiones así que vamos a hacer una pequeña división aquí vamos a hacer una división aquí y hagamos una comparación con lo que ya sabemos de las gráficas dos dimensiones entonces pongamos nuestro eje horizontal pongamos nuestro eje vertical y quizás lo debería poner más o menos por aquí ahí lo tenemos y en realidad es muy parecido a lo que ya teníamos en dos dimensiones lo mismo va a ocurrir en tres dimensiones son lo que necesitamos un poquito más de digamos de visualización así que las gráficas en dos dimensiones digamos tenemos alguna función por aquí digamos que vamos a graficar efe de x igual a x cuadrada esta va a ser nuestra función y cada vez que visualizamos una función tratamos de entender la relación que hay entre las entradas y las salidas de esta función y justamente aquí verdad tendríamos digamos dos números verdad la entrada y la salida así que digamos si nosotros le damos un número de entrada digamos vamos a darle el 2 entonces tendremos como salida el número 4 si le damos de entrada menos 1 tendremos de salida el número una verdad entonces la idea de las gráficas es tratar de entender todas las posibles parejas verdad de entradas con salidas y el hecho de que hagamos esta verdad en realidad nos da una muy buena intuición una una buena sensación de cómo son todas las relaciones entre entradas y salidas verdad y esto es bastante increíble y la forma en la que pensamos a estas gráficas es justamente graficar todas estas parejas que podríamos formar verdad así que lo que vamos a hacer es digamos graficar primero el punto 2,4 digamos aquí está el 1 el 2 aquí estará el 1 3 y 4 y entonces graphic amos este punto ahora si quisiéramos graficar la otra pareja verdad menos 1 1 tendríamos que irnos aquí menos 1 y pondríamos el número 1 muy bien entonces si pensamos en todas las posibles parejas de entradas y salidas que podríamos obtener tendríamos una una gráfica una una especie de curva que espero que me salga más o menos bien una curva que más o menos debería verse suave verdad debería verse lisa y la implicación de haber hecho esto es que típicamente pensamos que en el eje x se encuentra digamos es digamos el espacio en donde viven todas las entradas verdad por ejemplo aquí tendríamos el 1 aquí tendríamos el 2 aquí podríamos poner el 3 verdad aquí estaría al menos 1 verdad ahí es en donde viven todas las posibles entradas y cuando pensamos en las salidas en realidad estamos pensando en la altura verdad en la altura que tenemos para una de estas entradas y así tenemos digamos como consecuencia el hecho de que estamos en listando todas las parejas verdad en esta gráfica que estamos pintando estamos enlistando todas las parejas que podríamos formar de entradas con salidas ahora si nos vamos al mundo de las funciones de varias variables entonces sabemos que no vamos a mostrar digamos vamos a quitar ahorita la gráfica ahorita y sólo pensemos en el espacio de tres dimensiones que tenemos a nuestra disposición muy bien entonces queremos entender la relación que hay entre las entradas y las salidas de esta función que tenemos aquí cierto entonces en este caso las entradas son algo que pensamos como parejas de puntos que podríamos pensar como digamos la pareja 1,2 así que vamos a hacer la pareja 12 verdad tendremos la pareja 12 como entrada y vamos a obtener una salida esta salida será 1 al cuadrado 2 al cuadrado y esto definitivamente es uno más 4 que nos da justamente 5 muy bien entonces una foco como podríamos visualizar esto bueno una forma de de relacionar todas estas cosas digamos de forma natural es pensar en tercias de alguna forma así que en este caso lo que vamos a tener es una tercia verdad una tercia que será el punto como 2,5 esta es la forma en la que vamos a relacionarlo en tres dimensiones así que fijémonos por un momento en este en esta parte verdad y ahora si queremos visualizar esto en tres dimensiones tenemos que irnos hacia acá vamos a movernos uno en la dirección x es decir a paralelo al eje x verdad y ahora nos movemos 2 en la dirección ok siguiendo de forma paralela el eje ye y luego subimos 5 verdad y eso es lo que nos va a dar este punto que estamos graficando verdad así que pensamos este punto en el espacio que está dado digamos por una pareja de entrada con salida y por supuesto si hacemos un montón de estos podríamos tener un montón de puntos verdad y así podemos empezar a graficar distintas de estas de estas tercios verdad y por supuesto aquí podríamos tener una infinidad de todas de todos estos puntos nos llevaría una eternidad dibujarlos todos pero si si digamos pensamos en dibujar cada uno de estos puntos en las tres dimensiones que tenemos lo bonito aquí es que si imaginamos haciendo todo esto para toda la infinidad de parejas con salidas que podríamos tener terminamos dibujando una superficie en este caso la superficie se parece digamos como una parábola en tres dimensiones verdad y en realidad no es casualidad eso tiene que ver con el hecho de que estamos usando x cuadrada y cuadrada en nuestra función y ahora las entradas digamos como el punto 12 que estamos pensando aquí se encuentran justamente en el plano xy verdad así que si pensamos que las entradas viven en este plano entonces a lo que corresponde la salida es justamente a la altura en cada uno de estos puntos sobre la gráfica verdad así que es en realidad muy muy parecido a lo que tenemos en dos dimensiones así que solo para dar un ejemplo de digamos la consecuencia que podemos tener aquí si si pensamos por ejemplo qué ocurriría si cambiamos nuestra función digamos de varias variables que teníamos aquí vamos a cambiarlo un poquito vamos a cambiar un poquito y ahora vamos a multiplicar todo a la mitad es decir vamos a considerar la función que sea la mitad de x cuadrada más cuadrada esa es la que vamos a considerar en este caso ahora nos podríamos preguntar qué es lo que va a pasar con la forma de esta función y lo que significa en realidad es que la altura de cada punto sobre sobre el plano x va a estar cortado a la mitad así que esta es la modificación que vamos a tener y que estamos observando aquí verdad tenemos que todo va a bajar digamos a la mitad de la altura a la que estaba así que en este caso digamos si la altura era 5 ahora será 2.5 y puedes imaginar que bueno podríamos poner un caso todavía más extremo verdad digamos que en vez de poner un medio pongamos un 12 a una doceava parte de x cuadrada más que cuadrada muy bien entonces todo esto se vuelve muy muy parecido digamos algo plano se vuelve muy plano muy cercano al 9 x así que la gráfica ahora va a estar muy cerca al plano xy justamente porque corresponde a salidas muy pequeñas y una cosa que quisiera advertir de que en realidad no siempre es válido es que es muy tentador pensar en en cada función multi variable como una gráfica porque en realidad estamos muy acostumbrados a las gráficas en dos dimensiones verdad y a tratar de hallar analogías entre las dos dimensiones y las tres dimensiones directamente pero la única razón por la cual esto funciona es porque tomamos el número de dimensión de la entrada en este caso serían dos dimensiones verdad y el número de dimensiones en las salidas que es una dimensión y es razonable encajar todo esto en tres dimensiones verdad que podríamos hacerlo pero si imaginamos que tenemos una función multi variable que digamos tiene una entrada digamos tridimensional y una salida de dos dimensiones entonces eso requeriría una gráfica de cinco dimensiones y en realidad hay muchos otros métodos para visualizar todo esto que yo creo que es muy importante que digamos nuestra mente para para todos ellos en particular vamos a ver digamos por ejemplo cuando tenemos gráficas en tres dimensiones vamos a tratar de ver todo esto en un arreglo de dos dimensiones y vamos a fijarnos muy bien cómo es el espacio de entradas a esa visualización le vamos a llamar curvas de nivel y vamos a ver otro par digamos funciones paramétricas donde en realidad nos vamos a fijar solamente en el espacio de salida vamos a pensar digamos en campos vectoriales verdad donde vamos a fijarnos en el espacio de entrada pero al mismo tiempo vamos a revisar las salidas en cada punto verdad y hay un montón de formas de visualizar todo esto que que veremos en los próximos vídeos así que aquí tuvimos gráficas tridimensionales