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Transcripción del video

hola a todos lo que quiero hacer en este vídeo es describir cómo es que pensamos las gráficas en tres dimensiones y las gráficas en tres dimensiones digamos son una forma de representar algunos tipos de funciones multivariable es muy bien y este tipo de funciones tiene dos entradas verdad tendrá dos entradas vamos a escribir esto bien tendrá dos entradas y sólo un número como salida verdad entonces digamos la gráfica que tenemos aquí es exactamente la gráfica de la función x cuadrada más ye cuadrada muy bien y antes de empezar a hablar digamos con más detalle de esta gráfica me gustaría hacer una analogía que va a ser muy útil cuando hablamos de gráficas en dos dimensiones así que vamos a hacer una pequeña división aquí vamos a hacer una división aquí y hagamos una comparación con lo que ya sabemos de las gráficas en dos dimensiones entonces pongamos nuestro eje horizontal pongamos nuestro eje vertical y quizás lo debería poner más o menos por aquí ahí lo tenemos y en realidad es muy parecido a lo que ya teníamos en dos dimensiones lo mismo va a ocurrir en tres dimensiones son lo que necesitamos un poquito más de digamos de de visualización así que las gráficas en dos dimensiones digamos tenemos alguna función por aquí digamos que vamos a graficar efe dx iguala x cuadrada esta va a ser nuestra función y cada vez que visualizamos una función tratamos de entender la relación que hay entre las entradas y las salidas de esta función y justamente aquí verdad tendríamos digamos dos números verdad la entrada y la salida así que digamos y nosotros le damos un número de entrada digamos vamos a dar el 2 entonces tendremos como salida el número cuatro si le damos de entrada menos uno tendremos de salida el número uno verdad entonces la idea de las gráficas es tratar de entender todas las posibles parejas verdad de entradas con salidas y el hecho de que hagamos en esta verdad en realidad nos da una muy buena intuición a una buena sensación de cómo son todas las relaciones entre entradas y salidas verdad y esto es bastante increíble y la forma en la que pensamos a estas gráficas es justamente graficar todas estas parejas que podríamos formar verdad así que lo que vamos a hacer es digamos graficar primero el punto 2,4 aquí está el 1 y el 2 aquí está el 1 2 3 y 4 y entonces gráfica moss este punto ahora si quisiéramos graficar el la otra pareja verdad - 11 tendremos quien nos aquí -1 y pondríamos el número uno muy bien entonces si pensamos en todas las posibles parejas de entradas y salidas que podríamos obtener tendríamos una una gráfica una una especie de curva que espero que me salgan más o menos bien una curva que más o menos debería haberse suave verdad debería haberse lisa y la implicación de derecho esto es que típicamente pensamos que en el eje x se encuentra digamos es digamos el espacio en donde viven todas las entradas verdad por ejemplo aquí tendríamos el uno aquí tendríamos el 2 aquí podremos poner el 3 verdad aquí estaría al menos 1 verdad ahí es en donde viven todas las posibles entradas y cuando pensamos en las salidas en realidad estamos pensando en la altura verdad en la altura que tenemos para cada una desde de estas entradas y así tenemos digamos como consecuencia el hecho de que estamos en lista no todas las parejas verdad en esta gráfica que estamos pintando estamos analizando todas las parejas que podríamos formar de entradas con salidas ahora si nos vamos al mundo de las funciones de las variables entonces sabemos que no vamos a mostrar digamos vamos a quitar habitan la gráfica ahorita y sólo pensamos en el espacio de tres dimensiones que tenemos a nuestra disposición bien entonces queremos entender la relación que hay entre las entradas y las salidas de esta función que tenemos aquí es cierto entonces en este caso las entradas son algo que pensamos con parejas de puntos que podríamos pensar como digamos la pareja 1,2 así que vamos a hacer la pareja 1,2 verdad tendremos la pareja 1,2 como entrada y vamos a obtener una salida esta salida será uno al cuadrado más 2 al cuadrado y esto definitivamente es uno más cuatro que nos da justamente cinco muy bien entonces una foco como podremos visualizar esto bueno una forma de guerra de relacionar todas estas cosas digamos de forma natural es pensar en tercias de alguna forma así que en este caso lo que vamos a tener es una tercia verdad una tercia que será el punto 1,2 coma 5 esta es la forma en la que vamos a relacionar lo en tres dimensiones así que fijémonos por un momento en este en esta parte de verdad y ahora si queremos visualizar esto en tres dimensiones tenemos que irnos hacia acá vamos a movernos uno en la dirección x es decir a paralelo al eje x verdad y ahora nos movemos dos en la dirección llegue ok siguiendo de forma paralela el eje y luego subimos 5 verdad y eso es lo que nos va a dar este punto que estamos graficando gradas y que pensamos este punto en el espacio que estado digamos por una pareja de entrada con salida y por supuesto si hacemos un montón de estos podríamos tener un montón de puntos verdad y así podemos empezar a graficar distintas de estas de estas personas verdad y por supuesto aquí podríamos tener una infinidad de todos de todos estos puntos nos llevaría a una eternidad dibujarlos todos pero sí sí digamos pensamos en dibujar cada uno de estos puntos en las tres misiones que tenemos lo bonito aquí es que si imaginamos haciendo todo esto para todas la infinidad de parejas de entradas con salidas que podríamos tener terminamos dibujando una superficie en este caso la superficie se parece digamos como una parábola en tres dimensiones verdad y en realidad no es casualidad eso tiene que ver con el hecho de que estamos usando x cuadrada y de cuadrada en nuestra función y ahora las entradas digamos como el punto 1,2 que que estamos pensando aquí se encuentran justamente en el plano ekije verdad así que si pensamos que las entradas viven en este plano entonces a lo que corresponde la salida es justamente a la altura en cada uno de estos puntos sobre la gráfica verdad así que es en realidad muy muy parecido a lo que tenemos en dos dimensiones así que sólo para dar un ejemplo de digamos la consecuencia que podemos tener aquí sí si pensamos por ejemplo qué ocurriría si cambiamos nuestra función digamos de varias variables que teníamos aquí vamos a cambiarlo un poquito vamos a cambiarlo un poquito y ahora vamos a multiplicar todo a la mitad es decir vamos a considerar la función fd quille que sea la mitad de x cuadrada más ye cuadrada esa es la que vamos a considerar en este caso ahora nos podríamos preguntar qué es lo que va a pasar con la forma de esta función y lo que significa en realidad es que la altura de cada punto sobre sobre el plano x le va a estar cortado a la mitad así que esta es la modificación que vamos a tener y que estamos observando aquí verdad en tenemos que todo va a bajar digamos a la mitad de la altura a la que estaba así que en este caso digamos si la altura era 5 ahora será de 2.5 y puedes imaginar qué bueno podríamos poner un caso todavía más extremo verdad digamos que en vez de poner un medio pongamos un 12 a una doceava parte de x cuadrada más ye cuadrada muy bien entonces todo esto se vuelve muy muy parecido digamos algo plano se vuelve muy plano muy cercano al plano ekije así que la gráfica ahora va a estar muy cerca al plano ekije justamente porque corresponde a salidas muy pequeñas y una cosa que quisiera advertir de que en realidad no siempre es válido es que es muy tentador pensar en en cada función multivariable como una gráfica porque en realidad estamos muy acostumbrados a las gráficas en dos dimensiones verdad ya tratar de hallar analogías entre las dos dimensiones y las tres dimensiones directamente pero la única razón por la cual esto funciona es porque tomamos el número de dimensión de la entrada en este caso serían dos dimensiones verdad y el número de dimensiones en las salidas que es una dimensión y es razonable encajar todo esto en tres dimensiones verdad que podríamos hacerlo pero si imaginamos que tenemos una función multivariable que digamos tiene una entrada digamos tridimensional y una salidad de dos dimensiones entonces eso requeriría una gráfica de cinco dimensiones y en realidad hay muchos otros métodos para visualizar todo esto que yo creo que es muy importante que digamos abramos nuestra mente para para todos ellos en particular vamos a ver digamos por ejemplo cuando tenemos gráficas en tres dimensiones vamos a tratar de ver todo esto en un arreglo de dos dimensiones y vamos a fijarnos muy bien cómo es el espacio de entradas a esa visualización le vamos a llamar curvas de nivel y vamos a ver otro par digamos funciones paramétricas donde en realidad nos vamos a fijar solamente en el espacio de salida vamos a pensar digamos en campos vectoriales verdad dónde vamos a fijarnos en el espacio de entrada pero al mismo tiempo vamos a revisar las salidas en cada punto verdad y hay un montón de formas de visualizar todo esto quede que veremos en los próximos videos así que aquí tuvimos gráficas tridimensionales