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Ejemplo de campo vectorial en 3d

Observa un ejemplo de cómo puedes empezar a entender que la fórmula de un campo vectorial tridimensional se relaciona con la manera como se ve.  Creado por Grant Sanderson.

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Transcripción del video

en el último vídeo hablamos de los campos vectoriales en tres dimensiones y terminamos digamos con un ejemplo que era la función identidad donde teníamos de entrada x y z y teníamos como vector salida también x y z y aquí quisiera digamos entrar en un ejemplo un poquito más complicado así que vamos a quitar este campo vectorial y en este ejemplo la componente x de la salida será de x zeta vamos a poner que por z la componente de la salida será x por zeta y la componente zeta de nuestra salida será x por llega así que vamos a mostrar este campo vectorial para poder tener una mejor intuición de cómo es que se comporta esta función y poder ver cómo se relaciona con los vectores que vemos así que aquí tenemos un montón de vectores que digamos están apuntando desde el origen verdad algunos apuntan hacia el origen y en realidad podríamos preguntarnos cómo poder entender este campo vectorial en términos de la misma función verdad y un buen inicio es hacer 0 algunas de las componentes de la salida en este caso voy a elegir la tercera componente qué es x porque verdad y entonces vamos a tratar de entender que debería ser así que la componente zeta representa digamos que tanto apunta el vector hacia arriba o hacia abajo en el eje z y aquí tenemos el plano xy así que vamos a marcar el eje z digamos es el eje que está apuntando hacia nuestra cara verdad aquí tenemos el eje x el eje i y los valores de xy llevan a determinar completamente la componente z así que vamos a irnos de este lado por aquí vamos a dibujar un pequeño plano xy para tener cierta referencia y este es digamos mi valor x mi valor y ahora quiero entender digamos el significado del término x porque así que cuando ambos términos es decir cuando xy que son positivos el producto es positivo cuando ambos son negativos también el producto es positivo si x es negativo y es positivo el producto es negativo y finalmente si x es positivo y es negativo el producto también es negativo así que esto significa en términos de nuestro campo vectorial que cuando estamos en el primer cuadrante los vectores tienden a apuntar hacia arriba en la dirección z verdad lo mismo ocurre en el tercer cuadrante pero en los otros dos deberían estar apuntando hacia abajo así que vamos a enfocarnos primero en el primer cuadrante y vamos a tratar de ver qué es lo que está ocurriendo en general todos apuntan hacia arriba verdad tienen una componente zeta positiva y esto va de acuerdo con lo que estábamos diciendo hace unos momentos mientras que por ejemplo por acá que corresponde al cuarto cuadrante en el plano x la componente zeta de cada vector tiende a ir tiende a ir hacia abajo y están haciendo quizás otras cosas en términos de xy de verdad no sólo tienen una componente zeta pero aquí sólo nos estamos fijando en digamos la dirección hacia arriba y hacia abajo así que si nos fijamos en el tercer cuadrante por ejemplo tienden a apuntar hacia arriba y eso corresponde con el hecho de que x x ye será positivo y debido a que elegí digamos una función que es más o menos simétrica puedes imaginarte que podemos hacer este argumento cuando analizamos la componente ya que tenemos aquí verdad o cuando analizamos la componente x en términos de jay-z y de hecho se va a ver similar serán argumentos muy parecidos para entender cuando la componente x de nuestro vector tiende a ser positiva como por ejemplo aquí verdad o cuando resulta ser negativa y lo mismo podemos decir de la componente de verdad podríamos ver cuando resulta ser positiva o cuando tiende a ser negativa es verdad y en general digamos esta es una imagen muy complicada de analizar verdad pero si nos vamos digamos pedazo por pedazo al menos podemos tener una muy buena intuición de qué es lo que está ocurriendo y justo como en el caso de los campos vectoriales de dos dimensiones digamos algo muy bonito que podemos hacer aquí es imaginar que esto representa un fluído verdad y podríamos imaginar que quizás es aire que está alrededor de ti que está fluyendo digamos hacia el origen por ejemplo de este lado quizás está fluyendo hacia otro lado lejos del origen por acá y quizás está rotando por este lado y más adelante cuando sigamos en este curso de cálculo multivariable aprenderemos que hay varias formas en la que podemos estudiar esta función en sí misma verdad solo usando estas variables verdad y cuando tenemos alguna intuición de cómo es que ese fluido se comporta entonces podemos tener un entendimiento de la función incluso si es una función muy complicada y por ejemplo si es muy complicada de dibujar podríamos utilizar un software gráfico para analizarlo verdad o bueno podremos usar otro tipo de herramientas para obtener muchos más resultados un poco más poderosos y este tipo de cosas aparecen en la física todo el tiempo porque en realidad estamos pensando en un espacio de tres dimensiones que bueno no precisamente tiene que ser un flujo de algún líquido o algo del aire de verdad podría ser un campo de fuerzas como un campo eléctrico verdad o puede ser un campo gravitacional donde cada vector nos dice digamos la forma en la que cada partícula tiende a ser empujada y continuaremos con más cálculo de varias variables veremos muchos más ejemplos pero al menos espero que esto te haya dado una buena intuición de cómo podemos analizar paso por paso digamos a alguna función particular que pueda tener una expresión muy complicada