Curvas paramétricas

muy bien digamos que tenemos una función que solamente tiene una entrada y esa entrada le llamamos t muy bien y además tiene una salida que es un vector y este vector va a depender de t así que digamos que nuestra componente en x estévez es el coseno de t y que nuestra componente yesera t veces el seno de t y esto es a lo que llamamos una función paramétrica y quizás debería ser más preciso lo que estoy diciendo esto debería llamarse una función paramétrica de un parámetro parámetro verdad y parámetro es simplemente una palabra elegante para decir entrada ok así que en este caso t es nuestro único parámetro lo cual hace que ésta sea una función paramétrica verdad y lo que pensamos es digamos en dibujar la curva ya que su salida es multidimensional entonces uno podría decir bueno vamos a visualizar esto verdad tenemos una entrada tenemos una salida de dos dimensiones al graficar lo podríamos poner tres puntos tres números juntos y graficar los pero resulta ser mejor simplemente fijarnos en el espacio de salidas así que nuestro espacio de salidas es de dos dimensiones vamos a continuar dibujando nuestro plano coordenada aquí y simplemente vamos a estar evaluando esta función a distintos puntos y veremos qué es lo que lo que resulta en este caso así que quizás digamos el punto más fácil para evaluarlo sería cuando te vale cero así que efe de cero sería simplemente será cero en ambas coordenadas verdad tendremos cero por otra cosa cero por el coseno de cero será cero y 0 veces el seno de 0 también será 0 así que nuestra entrada 0 corresponde a la salida que es el vector 0 0 verdad y podríamos pensar que este vector es un es infinitamente pequeño o que simplemente es un punto en el origen verdad sin embargo cuando cuando tomamos otro punto distinto digamos podríamos tomar y medios por supuesto la razón por la cual el sumado pi medios de entre todos los números es porque sabemos calcular seno de pi medios y coseno depp y medios así que ya debería estar pensando cuánto valen esto es verdad y quizás la forma digamos que podríamos utilizar para recordar cuánto vale el coseno de pi medios y el seno de pi medios sería dibujando un círculo unitario verdad entonces vamos a poner un círculo unitario de este lado verdad y recordemos que el coseno depp y medio sería la digamos la coordenada x de cuando tomamos un ángulo de pi medio es verdad y eso es cero justamente la coordenada x es cero mientras que la altura es 1 y eso corresponde seno de pi medios entonces esto que tenemos aquí vale 1 verdad ahí está lo tenemos y entonces podríamos escribir efe pi medios sería 0 verdad y medios por 0 es cero y luego tenemos y medios por uno que es pi medios es verdad y cómo se vería esto serían digamos solamente un vector que apunta hacia arriba verdad en medios que es más o menos 1.7 que es lo que pintamos aquí no hay componente en x así que tenemos un vector como este y podríamos imaginarnos haciendo esto para todas las distintas entradas y obtendríamos un montón de vectores verdad entonces si dibujáramos esto bueno no vamos a estar dibujando todas las flechas verdad porque eso simplemente no sería muy claro así que vamos a trazar todos los puntos que corresponden a las salidas de cada uno de estos vectores y lo que voy a hacer aquí es una pequeña animación vamos a borrar un poco y aquí tenemos una animación donde el ángulo te va a ir entre 0 y 10 así que vamos a escribir esto así que el valor te empieza en cero y es así que vamos a ver qué valores o más bien que vectores obtenemos como salidas y qué tipo de curva es así que ahí está todos estos valores son digamos para partes entre 0 y 10 verdad y obtenemos esta esta figura como espiral y podríamos pensar porque es así y es que tenemos el coseno dt y el seno de t escalados por el valor t en sí mismo verdad así que esto nos da una espiral y lo que significa aquí es que cuando tenemos de igual a cero empezamos aquí y cuando tenemos t igual a 10 estaremos en esta salida verdad y tenemos una desventaja al dibujar las cosas así porque no estamos muy seguros de cuáles son los valores intermedios ya sabes por ejemplo podríamos adivinar que a lo mejor el uno va por aquí quizás el dos va por este otro lado y con suerte esto digamos estarán igualmente espaciados a medida que nos movamos en la espiral pero no tenemos esa información hemos perdido la información de las entradas de verdad simplemente tenemos la figura de la curva sin embargo si queremos analítica de describir curvas necesitamos encontrar una función paramétrica que las describa verdad y en realidad en este caso no nos importaría la velocidad a la cual la recorre ahora solo para mostrarte como esto podría cambiar vamos a animar la misma cosa pero vamos a tener otra función que dibuja la misma curva entonces empieza aquí realmente rápido y luego desacelera verdad si se va más lento a medida que avanzamos así que esta función no es igual a tevez es coseno dt de veces seno de t que era la que originalmente había escrito de hecho en este nuevo caso pues empezó bastante rápido verdad por ejemplo podríamos pensar que el primero está lejos luego el segundo estará mucho más lejos y luego el tercero pero a medida que nos vamos acercando al final cuando te vale 10 empezará a ir muy lento y entonces aquí estará el 7 aquí está el 8 y de hecho es hasta difícil imaginar o hacer un proceso un progreso a medida que vamos llegando al 10 verdad así que podríamos tener dos funciones diferentes que dibujen la misma curva y la palabra elegante para decir eso es que estamos parametrizar verdad así que estas funciones están parametrizar una curva y cuando dibujamos digamos esto en el espacio de salidas obtenemos la curva y en el próximo vídeo te mostraré cómo podríamos tener funciones con una entrada en dos dimensiones y una salida en tres dimensiones para dibujar superficies en un espacio de tres dimensiones