Introducción a campos vectoriales

hola a todos en este vídeo vamos a dar una introducción a los campos vectoriales ahora este es un concepto que vamos a estar trabajando mucho en el cálculo multivariable y la razón puede ser que aparece todo el tiempo en la física aparece en la dinámica de fluidos y en la electrodinámica etcétera es decir te los encuentras en todos lados ahora lo que es un campo vectorial en esencia es una forma de visualizar funciones que tengan la misma cantidad de dimensiones en sus entradas como en sus salidas así que por aquí voy a escribir una función de dos dimensiones x james que su salida sea un vector de dos dimensiones y que en cada una de sus componentes de alguna manera me dependa tanto de x como de gemma así que haré la primera componente en igualar ya cúbica menos 9 james y la segunda componente la componente ya de la salida la voy a ser igual a la función x cúbica menos 9 x observa aquí hay un poco de simetría pero no forzosamente debe de haber simetría en las componentes de tu vector y bueno si intentas visualizar una función como ésta tal vez la primera idea es que es un poco difícil de dibujarla porque tenemos dos dimensiones como entradas y dos dimensiones como salida y entonces tendrías que encontrar una forma de visualizar algo en cuatro dimensiones así que lo que se hace es fijarnos sólo en el espacio de salida es decir solo fijarnos en el plano xy así que para eso deja de dibujar estos ejes coordinados este es mi eje x y este es mi game y para cada punto de salida individual sea el que sea que tomes no sé por ejemplo tomemos el punto 12 voy a considerar ahora como salida a un vector que va a estar anclado a ese punto así que déjame calcularlo para que veas a qué me refiero si evaluamos la función en este punto 1 2 efe de 12 donde x es igual a 1 y es igual a 2 entonces sustente el siguiente vector héctor que tiene como primera componente 2 elevado al cubo menos 9 por 2 en la segunda componente 1 elevado al cubo menos 9 por 1 ok y bueno si hacemos los cálculos esto me va a quedar 2 al cubo es 8 menos 18 esos menos días déjame escribirlo por acá mi primera componente ya sabemos que es menos 10 y 1 al cubo menos 9 eso es lo mismo que menos ahora déjame ponerlo acá abajo menos 8 entonces ya tenemos a este vector de salida y si lo dibujáramos en el origen para que veas me quedaría más o menos así es un vector que caminamos en x 10 hacia la izquierda hasta llegar al menos 10 y para abajo aquí tengo menos 1 - 2 - 3 - 4 - 5 menos 6 -7 de hecho se sale de la pantalla pero ahora es que es un vector muy muy largo así que se vería más o menos así observa se sale de la pantalla pero lo interesante de los vectores es que no importa en donde empiecen por lo tanto puedo empezar en el punto 12 y voy a tener una componente horizontal a la izquierda de 10 unidades y para abajo 8 unidades 1 2 3 4 5 6 7 8 justo aquí ahora observa que sigue siendo un vector muy grande y en el caso de un campo vectorial no tenemos uno o dos vectores sino un montón de ellos imagina que dibujará todos los vectores con sus respectivos tamaños y además sus interacciones esto me daría una gráfica completamente amontonada hice un desastre fíjate si lleno aquí de puntos y de vectores y de marcas algunos vectores que vayan por aquí y otros por acá y en definitiva todo esto sería un desastre así que en lugar de esto lo que hacemos déjame borrar todo para que sea más claro lo que se hace es escalar los y al final se ven así observa aquí tenemos una mejor forma para ver todo aunque tal vez sea una pequeña mentira de cómo son estos vectores en realidad pero es que aquí tenemos más claro como corresponden los vectores puntos se ve todo mucho más ordenado y bueno tal vez no sea completamente fiel a la función original que tenemos porque todos los vectores tienen la misma longitud observa este tiene la misma longitud que éste y que stem y también que stem y en la realidad los vectores resultantes de esta función son distintos en magnitud pero esto es lo que pasa en un campo vectorial sobre todo cuando los dibujas con algún programa de computadora ahora pues si quisieras tener sus respectivas magnitudes puedes hacer algo así coloreando todos los sectores y mira aquí tenemos otro campo vectorial es un ejemplo distinto no es la misma función pero puedes observar que aquí dibujamos todos estos vectores para dar una sensación de longitud a cada vector cada vector tiene un cierto color y bueno esto en lo que nos ayudan es que todo siga ordenada observa que todos los sectores tienen las mismas longitudes pero colores distintos en este caso el rojo y los colores cálidos representan un vector muy grande mientras que los colores azules indican es más cortos ahora otra forma en la que se pueden poner estos vectores es escalar los proporcionalmente a la magnitud que tienen observar este es otro ejemplo aquí los vectores azules son muy muy muy pequeños casi cero mientras que los rojos son más grandes todos los rojos tienen el mismo tamaño aunque claro todo esto representa una función en donde el vector original tal vez sea mucho mucho más grande esta es otra forma en la que podemos representar un campo vectorial donde en cogemos o agrandamos los vectores así que en el siguiente vídeo voy a hablar un poco sobre dinámica de fluidos para dar un contexto sobre el origen de los campos vectoriales y también es una buena manera para ir conociendo algunos campos vectoriales aleatorios y que entiendas a dónde vamos con ellos