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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 1

Lección 6: Visualizar funciones multivariables (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Pensar acerca de funciones multivariables
Visualizar funciones multivariables (artículos)
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Gráficas multidimensionales

Google Classroom
Ejemplos y limitaciones al graficar funciones multivariables.

Antecedentes

Qué vamos a construir

  • Graficar una función con una entrada bidimensional y una salida unidimensional requiere trazar puntos en el espacio tridimensional.
  • Cuando terminas de graficar los puntos, queda una superficie en tres dimensiones, donde la altura de la superficie por encima del plano x, y indica el valor de la función en cada punto.

Repaso de gráficas de funciones de una sola variable

Para la mayoría de los estudiantes, las gráficas son, por mucho, la forma más conocida de visualizar funciones. Antes de generalizarlas a funciones multivariables, vamos a repasar la definición de gráfica para funciones de una sola variable.
Supón que nuestra función se ve así:
f(x)=−x2+3x+2\begin{aligned} \quad f(x) = -x^2 + 3x + 2 \end{aligned}
Para graficar una sola entrada, como x, equals, 1, primero calculamos f, left parenthesis, 1, right parenthesis:
f(1)=−x2+3x+2=−(1)2+3(1)+2=4\begin{aligned} \quad f(1) &= -x^2 + 3x + 2 \\ &= -(1)^2 + 3(1) + 2 \\ &= 4 \end{aligned}
Luego marcamos el punto left parenthesis, 1, comma, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis, que en este caso es el punto left parenthesis, 1, comma, 4, right parenthesis, en el plano x, y.
Cuando hacemos esto para todas las posible entradas x, no solo para el valor 1, los puntos de la forma left parenthesis, x, comma, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis empiezan a trazar la gráfica.
A menos de que f, left parenthesis, x, right parenthesis sea una función muy exótica o esporádica que da valores muy diferentes a medida que x cambia ligeramente, el resultado será una curva suave.

Agregar una dimensión más

¿Qué podemos hacer con las funciones que tienen una entrada bidimensional y una salida unidimensional? Por ejemplo, como con una función así:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, 2
La asociación de un valor de entrada con uno de salida requiere tres números: dos para las entradas y uno para la salida.
Entradas left parenthesis, x, comma, y, right parenthesisSalida f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis
left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis10
left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis7
left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis3
\varvdots, rectangle\varvdots, rectangle
Para representar esta asociación mediante una gráfica, dibujamos estos puntos en un espacio de tres dimensiones.
  • La asociación left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, right arrow, 10 se representa con el punto left parenthesis, 0, comma, 0, comma, 10, right parenthesis.
  • La asociación left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis, right arrow, 7 se representa con el punto left parenthesis, 1, comma, 0, comma, 7, right parenthesis.
  • En general, el objetivo es representar todos los puntos de la forma left parenthesis, x, comma, y, comma, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis para un par de números x y y.
La gráfica de la función se muestra a continuación. El video muestra la gráfica que rota, con lo cual esperamos que puedas apreciar su naturaleza tridimensional. También, debajo de la gráfica puedes ver el plano x, y, el cual ahora es el espacio de entrada de la función.
Contenedor video de Khan Academy
Ver la transcripción del video
Esto significa que para cualquier punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis del plano, la distancia vertical entre ese punto y la gráfica indica el valor de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis. La dirección vertical asociada a la distancia del punto a la gráfica se conoce generalmente como dirección z, y el tercer eje que es perpendicular al plano x, y se llama el eje z.
Siempre que el valor de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis cambie de forma continua conforme x y y varían, que es casi siempre el caso de las funciones con las que lidiamos en la práctica, la gráfica se verá como una superficie.

Ejemplo 1: la campana

Función: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript
Gráfica:
Campana de Gauss
Vamos a analizar lo que está sucediendo con esta función. En primer lugar, echemos un vistazo al exponente de e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript y pensemos acerca del valor x, squared, plus, y, squared.
Pregunta: ¿cómo puedes interpretar el valor x, squared, plus, y, squared?
Escoge 1 respuesta:

Cuando el punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis está lejos del origen, la función e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript se ve como e, start superscript, start text, left parenthesis, a, l, g, u, with, \', on top, n, space, n, u, with, \', on top, m, e, r, o, space, m, u, y, space, n, e, g, a, t, i, v, o, right parenthesis, end text, end superscript, que es casi 0. Esto significa que la distancia entre la gráfica y el plano x, y en esos puntos será muy pequeña. Por otra parte, cuando x, equals, 0 y y, equals, 0, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript, equals, e, start superscript, minus, 0, end superscript, equals, 1, que es lo que nos da la protuberancia en el centro.
Pregunta para reflexionar: la gráfica de arriba tiene simetría rotacional, en el sentido de que se verá igual si la rotamos de cualquier manera alrededor del eje z. ¿Por qué esto es cierto?

Ejemplo 2: ondas

Función: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, y, right parenthesis
Gráfica:
Una forma de obtener una intuición de la función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, y de las funciones multivariables en general, es ver lo que pasa cuando una de sus entradas se mantiene constante.
Por ejemplo, ¿qué sucede cuando fijamos el valor de x a que sea 2? Por lo general, estamos graficando todos los puntos que se ven así:
left parenthesis, x, comma, y, comma, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, left arrow, start text, x, space, y, space, y, space, c, o, r, r, e, n, space, l, i, b, r, e, m, e, n, t, e, point, end text
Al mantener x constante con un valor de 2, estamos limitando nuestra visión a puntos que se ven así:
left parenthesis, 2, comma, y, comma, cosine, left parenthesis, 2, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, left arrow, start text, S, o, l, o, space, y, space, c, o, r, r, e, space, l, i, b, r, e, m, e, n, t, e, point, end text
Hay una forma muy elegante de interpretar esto geométricamente:
Los puntos en el espacio donde x, equals, 2, que es lo mismo que decir todos los puntos de la forma left parenthesis, 2, comma, y, comma, z, right parenthesis, componen un plano. ¿Por qué? Imagina que cortas la gráfica con este plano. Los puntos en donde se intersecan el plano y la gráfica, marcados en rojo, son los puntos de la gráfica donde x, equals, 2.
Así que ¿por qué esto sería útil para entender la gráfica?
Básicamente convertimos la función multivariable f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis en una función de una sola variable:
g(y)=cos⁡(2)sin⁡(y)≈−0.42sin⁡(y)\begin{aligned} \quad g(y) &= \cos(2)\sin(y) \\ &\approx -0.42\sin(y) \end{aligned}
De hecho, la curva que se obtiene al cortar la gráfica tridimensional en x, equals, 2 tiene la misma forma que la gráfica bidimensional de g, left parenthesis, y, right parenthesis.
De esta manera, puedes entender la gráfica tridimensional de una función multivariable, una rebanada a la vez, al mantener constante una variable y ver la gráfica bidimensional resultante.

Ejemplo 3: un valor de entrada, dos de salida

También puedes graficar una función con una entrada unidimensional y una salida bidimensional aunque, por la razón que sea, esto no se hace a menudo.
Función: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Puntos graficados: left parenthesis, x, comma, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Gráfica:
Gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
En este caso solo x está libre, mientras que los valores de y y de z en la gráfica dependen de x.
Si rotamos la imagen de tal forma que podamos mirar directamente el plano x, y, la gráfica se verá como f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared. Otra manera de decir esto es que cuando proyectamos la gráfica sobre el plano x, y, nos da la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
Proyección de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis sobre el plano x, y
Del mismo modo, rotar la imagen de tal forma que observemos directamente el plano x, z hace que la imagen se vea como la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Proyección de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis sobre el plano x, z
En otras palabras, la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis es una forma de combinar las funciones f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared y f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis en una sola, y su gráfica captura la información de ambas en una sola imagen.

Limitaciones

Tan pronto intentas aplicar este proceso a funciones con entradas o salidas de dimensiones más altas, ya no tienes más dimensiones para poder visualizar de manera tan cómoda.
Por ejemplo, considera la función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, y, squared, right parenthesis, con una entrada y una salida de dos dimensiones. La gráfica de esta función requeriría ¡un espacio de cuatro dimensiones! Esto se debe a que tendríamos que graficar todos los puntos de la forma left parenthesis, x, comma, y, comma, x, squared, comma, y, squared, right parenthesis.
En la práctica, cuando la gente piensa acerca de las gráficas de funciones de mayores dimensiones, como f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, suelen empezar por considerar las gráficas de funciones más sencillas que tengan un espacio de entrada bidimensional y uno de salida unidimensional como f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared. Este es un tipo de prototipo conceptual.
Este prototipo puede ayudar a darle sentido a ciertas operaciones y te puede dar una idea de lo que empieza a suceder a medida que tu espacio de entrada se vuelve multidimensional. Al final del día, los cálculos reales se realizan simbólicamente para la función de dimensión mayor.

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