¿Qué son las funciones multivariables?

Qué vamos a construir

• Una función se llama multivariable si su entrada consiste de varios números.
  $\quad \displaystyle f(\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{x, y}_{\substack{ \text{Varios números} \\ \text{en la entrada} }} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!) = x^2 y$
• Si la salida de una función consiste de varios números, también se puede llamar multivariable, pero estas también se llaman normalmente funciones con valores vectoriales.
  $\displaystyle f(x) = \left[ \begin{array}{c} \cos(x) \\ \sin(x) \end{array} \right] \quad\leftarrow \small{\text{Varios números en la salida}}$
• Visualizar estas funciones tiene que ver con pensar en un espacio de varias dimensiones (típicamente solo dos o tres, si no queremos que nos explote el cerebro).

¿Qué es una función multivariable?

Listas de números $\leftrightarrow$\leftrightarrow puntos en el espacio

Funciones vectoriales

Terminología

Ejemplos de funciones de varias variables

Ejemplo 1: de la posición a la temperatura

• $T$T es temperatura.
• $L_1$L, start subscript, 1, end subscript es longitud.
• $L_2$L, start subscript, 2, end subscript es latitud.
• $f$f es una función complicada que determina qué temperatura le corresponde a cada par longitud-latitud.

Ejemplo 2: del tiempo a la posición

• $\vec{\textbf{s}}$start bold text, s, end bold text, with, vector, on top es un "vector de desplazamiento" en dos o tres dimensiones, que indica la posición de la partícula.
• $t$t es el tiempo.
• $f$f es una función vectorial.

Ejemplo 3: de datos del usuario a predicciones

Ejemplo 4: de la posición al vector de velocidad

• $\vec{\textbf{v}}$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top es un vector de velocidad en dos dimensiones.
• $x$x y $y$y son coordenadas de posición.
• $f$f es una función vectorial multivariable.

• $\vec{\textbf{v}}$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top es un vector de velocidad en dos dimensiones.
• $\hat{\textbf{i}}$start bold text, i, end bold text, with, hat, on top es el vector unitario en la dirección $x$x.
• $\hat{\textbf{j}}$start bold text, j, end bold text, with, hat, on top es el vector unitario en la dirección $y$y.
• $g$g es una función escalar que indica la componente $x$x de cada vector como una función de posición.
• $h$h es una función escalar que indica la componente $y$y de cada vector como una función de posición.

Dónde entra el cálculo

• Derivadas, que estudian la tasa de cambio de una función conforme cambias su valor de entrada.
• Integrales, que estudian cómo sumar una cantidad infinita de cantidades infinitesimales para formar la salida de una función.

• Cómo cambia la temperatura conforme te mueves en alguna dirección.
• Qué tanto cambia el comportamiento de un comprador con relación a cambios en el sitio.
• Las fluctuaciones en la tasa de flujo a través del espacio.

• Encontrar la temperatura promedio.
  [¿Cómo es esto una "suma infinita"?]
• Calcular el trabajo total que realiza una fuerza externa sobre una partícula mientras se mueve.
• Describir la velocidad neta de toda una región de un líquido en movimiento.