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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 1

Lección 6: Visualizar funciones multivariables (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Pensar acerca de funciones multivariables
Visualizar funciones multivariables (artículos)
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Funciones paramétricas, un parámetro

Google Classroom
Las funciones paramétricas dan una forma de representar funciones que tienen una entrada unidimensional y una salida multidimensional.

Antecedentes

También puedes aprender sobre ecuaciones paramétricas en este video. Este artículo pretende describir el mismo concepto en el contexto de las funciones multivariables.

Qué vamos a construir

  • Una función con una entrada unidimensional y una salida multidimensional puede pensarse como una que dibuja una curva en el espacio.
  • Una función como esta se llama paramétrica y su entrada se llama parámetro.
  • A veces, en cálculo multivariable, necesitas encontrar una función paramétrica que dibuje una curva particular. Esto se llama parametrizar esa curva.

Visualizar funciones con valores vectoriales de salida

Así que ahí estás tú, feliz, leyendo un texto matemático algún día y se te atraviesa una función como esta:
f(t)=[t⋅cos⁡(2πt)t⋅sin⁡(2πt)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t \cdot \cos(2\pi t) \\ t \cdot \sin(2\pi t) \end{array} \right]
¿Cómo la visualizarías?
Esta función toma una sola variable t y tiene un vector bidimensional como salida. Por ejemplo, en la entrada t, equals, 1 se evalúa así:
f(1)=[1⋅cos⁡(2π⋅1)1⋅sin⁡(2π⋅1)]=[10]\displaystyle f(1) = \left[ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos(2\pi \cdot1) \\ 1 \cdot \sin(2\pi \cdot 1) \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]
Esto tiene como salida un vector de longitud 1 que apunta en la misma dirección que el eje x.
Pero, ¿cómo podemos visualizar todos los valores de salida al mismo tiempo?
Una buena manera de hacer esto es imaginar la curva que trazará la punta del vector a medida que t tiene distintos valores. Por ejemplo, el siguiente diagrama interactivo te permite ver la curva que traza la salida de f a medida que el valor de t varía entre 0 y 3:
Esto se llama una curva paramétrica. Cuando escoges interpretar la función de esta manera, se llama función paramétrica y el valor de entrada t se llama parámetro.

Solo mira el espacio de salida

Observa que, a diferencia de las gráficas, donde tratamos de representar tanto el espacio de entrada como el de salida de la función al mismo tiempo, o de los mapas de curvas de nivel, donde solo dibujas sobre el espacio de entrada, al interpretar funciones paramétricas solo vemos el espacio de salida. Esto tiene sentido para el ejemplo anterior porque el espacio de salida tiene más dimensiones que el de entrada.

La información de entrada se pierde

El problema de solo dibujar en el espacio de salida es que no es inmediatamente claro cuáles valores de entrada van a los valores de salida que dibujamos. Por ejemplo, considera las siguientes dos funciones:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\begin{aligned} \blueE{f(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right] \\\\ \redE{g(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right] \end{aligned}
Si las graficamos como funciones paramétricas, con t de 0 a 2, pi, cada una dibuja un círculo de radio 1 con centro en el origen.
Círculo
Sin embargo, son funciones diferentes. Por ejemplo, evalúa cada una de ellas en t, equals, 0.
Dado que f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right], ¿cuál es el valor de start color #0c7f99, f, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #0c7f99?
Escoge 1 respuesta:

Dado que g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right], ¿cuál es el valor de start color #bc2612, g, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #bc2612?
Escoge 1 respuesta:

Una manera es etiquetar algunos puntos con su valor de entrada, para llevar registro de la información de entrada que se pierde.
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Primera parametrización del círculo
g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right]
Segunda parametrización del círculo
Alternativamente, podrías imaginar cómo la curva se dibuja a lo largo del tiempo cuando t va del valor inicial al final. Esta técnica es particularmente relevante cuando la función modela la trayectoria de una partícula a través del espacio.

Parametrización

En cálculo multivariable, y especialmente en un tema llamado "integración de línea", es común comenzar con una curva y buscar una función paramétrica que la dibuje. Un ejemplo que aparece mucho es el círculo unitario, o sea el círculo de radio 1 con centro en el origen.
Círculo
Encontrar una función paramétrica que describa una curva se llama parametrizar esa curva. En la sección anterior mostramos dos funciones diferentes que parametrizan el círculo unitario. La parametrización más común es esta:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]f(t) = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Nota: cuando parametrizas una curva, no solo debes especificar la función paramétrica, sino también el rango de valores de entrada que va a dibujar la curva. Por ejemplo, al usar la función f, left parenthesis, t, right parenthesis para dibujar el círculo unitario anterior, puedes hacer que t vaya de 0 a 2, pi.

Ejemplo: parametrizar una curva muy ondulada

Digamos que quieres parametrizar este patrón ondulado:
Dibuja un círculo mientras empujan tu mano a la derecha
Para parametrizar una curva, siempre debes pensar en dibujarla. En este caso, podrías imaginar bosquejarla al tratar de dibujar un círculo en sentido contrario a las manecillas del reloj mientras alguien empuja tu mano hacia la derecha con velocidad constante. Para codificar esto con fórmulas, empezamos con la función paramétrica de un círculo:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Esto hace que empecemos en el punto left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis y tracemos un círculo de radio 1 en sentido contrario a las manecillas del reloj. Como la curva ondulada que queremos parametrizar empieza en left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, primero desplazamos minus, 3 el valor de x.
f(t)=[cos⁡(t)−3sin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 \\ \sin(t) \end{array} \right]
Empujar a la derecha a medida que pasa el tiempo corresponde con un incremento constante en el valor x de tu mano con respecto al tiempo, sin importar el movimiento que se hace en el círculo. Para codificar esto, sumamos una constante start color #bc2612, c, end color #bc2612 multiplicada por t a la componente x de la función.
f(t)=[cos⁡(t)−3+ctsin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{c}t\\ \sin(t) \end{array} \right]
Para determinar cuál debe ser la constante, necesitamos saber qué tanto se ha movido a la derecha al completar una vuelta. Nuestra función actual f, left parenthesis, t, right parenthesis completa una vuelta cuando t va de 0 a 2, pi. Al ver la curva ondulada, parece que se desplaza exactamente 1 unidad a la derecha después de una vuelta.
Distancia que uno ha viajado hacia la derecha después de una vuelta
Esto significa que 2, pi, start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, 1, y por lo tanto start color #bc2612, c, equals, start fraction, 1, divided by, 2, pi, end fraction, end color #bc2612.
f(t)=[cos⁡(t)−3+12πtsin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{\frac{1}{2\pi}}t\\ \sin(t) \end{array} \right]
Por último, tenemos que acotar el parámetro t. Veamos cuántas vueltas tiene la curva:
Dibuja un círculo mientras empujan tu mano a la derecha
Parece que tiene 6 vueltas. Como nuestra función f, left parenthesis, t, right parenthesis completa una vuelta cuando t aumenta por 2, pi, debemos hacer que el parámetro varíe de 0 a 6, left parenthesis, 2, pi, right parenthesis, equals, 12, pi.

Resumen

  • Una función con una entrada unidimensional y una salida multidimensional puede pensarse como una que dibuja una curva en el espacio.
  • Una función como esta se llama paramétrica y su entrada se llama parámetro.
  • A veces, en cálculo multivariable, necesitas encontrar una función paramétrica que dibuje una curva particular. Esto se llama parametrizar esa curva.

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