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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 1

Lección 6: Visualizar funciones multivariables (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Pensar acerca de funciones multivariables
Visualizar funciones multivariables (artículos)
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Funciones paramétricas, dos parámetros

Google Classroom
Para representar superficies en el espacio, puedes usar funciones que tienen una entrada de dos dimensiones y una salida de tres dimensiones.

Antecedentes

Qué vamos a construir

  • Puedes visualizar una función con valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones al graficar todos los puntos de salida que corresponden a una región del espacio de entrada. Esto resulta en una superficie, conocida como una superficie paramétrica.
  • El proceso de hacer esto de manera inversa, al comenzar con una superficie en el espacio y tratar de encontrar una función que "dibuje" esta superficie, es conocido como parametrizar la superficie. En general, esto es algo difícil de hacer.

Repaso rápido de funciones de un parámetro

En el artículo anterior, hablé acerca de visualizar funciones con valores de entrada de una dimensión y valores de salida de dos dimensiones. Por ejemplo:
f(t)=[tcos⁡(t)sin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t\cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Hablé acerca de por qué si el espacio de salida tiene más dimensiones que el espacio de entrada, puedes tener una buena noción de la función al solo ver a cuáles puntos en el espacio de salida los "toca" la función a medida que la entrada t varía sobre un conjunto de valores.
Todos los puntos en el plano x, y que son tocados por la función f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis.
Cuando se interpreta una función de esta manera, es conocida como una función paramétrica, y su valor de entrada t se llama el parámetro.

Dos parámetros

Podemos hacer algo bastante parecido con funciones que tienen valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones.
f(s,t)=[t3−sts−ts+t]\displaystyle f(s, t) = \left[ \begin{array}{c} t^3 - st \\ s-t \\ s+t \end{array} \right]
Las dos coordenadas de entrada s y t serán conocidas como los parámetros, y estás a punto de ver cómo esta función dibuja una superficie en un espacio de tres dimensiones.
El primer paso para representar una función de esta manera es especificar un rango para los valores de entrada, tal como
0<s<3−2<t<2\begin{aligned} \quad 0 < &s < 3 \\ -2 < &t < 2 \end{aligned}
Aquí se muestra cómo se ve esta región en el espacio de entrada.
Rango de valores de entrada para la superficie paramétrica que se muestra a continuación
A continuación, consideramos todos los posibles valores de salida de la función evaluada en ese rango.
Valor de entrada left parenthesis, s, comma, t, right parenthesisValor de salida left parenthesis, t, cubed, minus, s, t, comma, s, minus, t, comma, s, plus, t, right parenthesis
left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, 0, comma, 0, comma, 0, right parenthesis
left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, 1, comma, 1, comma, 1, right parenthesis
left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesisleft parenthesis, 6, comma, 1, comma, 3, right parenthesis
\varvdots, rectangle\varvdots, rectangle
Bien, entonces no escribimos literalmente todos los posibles valores de salida, porque, ya sabes, eso involucra una infinidad de cosas. En principio, sin embargo, nuestro objetivo es representar todos esos valores. Como la función arroja valores de salida con tres coordenadas, visualizamos estos valores de salida en un espacio de tres dimensiones.
La siguiente animación muestra cómo se ve a medida que los puntos left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis en el espacio de parámetros se mueven a sus valores de salida correspondientes f, left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis en un espacio de tres dimensiones:
Contenedor video de Khan Academy
Ver la transcripción del video
La superficie resultante en el espacio de tres dimensiones se llama una superficie paramétrica.
Advertencia: las superficies como esta pueden confundirse con las gráficas de las funciones que tienen valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de una dimensión, ya que también se dibujan como superficies en un espacio de tres dimensiones. Pero estas funciones paramétricas tienen un sabor muy diferente. Tienen valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones. ¡Ten en cuenta que esto quiere decir que graficarlas requeriría cinco dimensiones!

Parametrizar una superficie

Una de las mejores maneras para obtener una idea sobre las funciones paramétricas es comenzar con una superficie que quieras describir, después tratar de encontrar un función que la dibujará como una superficie paramétrica. Esto también es una habilidad necesaria cuando más adelante en cálculo multivariable comiences a aprender sobre integrales de superficie.
Quedas advertido, sin embargo, que parametrizar superficies no es fácil. En el siguiente ejemplo vamos a parametrizar un toro, la palabra elegante para esta superficie con forma de dona. En términos de las superficies, un toro es un ejemplo relativamente sencillo, pero aún así requiere un esfuerzo serio.

Ejemplo: parametriza un toro (dona)

Toro
Considera la superficie dibujada arriba. Puedes pensarla como la forma de una dona, o quizá solo como el glaseado sobre la dona, ya que no nos interesa el relleno. Nuestro objetivo en este momento es encontrar una función con valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones tales que el resultado sea esta forma de dona.
Imaginamos "dibujar" la superficie, aunque uno no puede simplemente dibujar una superficie con lápiz y papel de la manera en la que uno puede dibujar una curva.
En cambio, nuestra estrategia será dibujar cada rebanada circular del toro. Para ver a lo que me refiero, aquí hay una muestra de esas rebanadas circulares (dibujadas en azul):
Círculo que atraviesa la porción vacía del toro
También dibujé un círculo rojo grande en el plano x, y que pasa por el centro de cada rebanada. Esto no es parte del toro, pero será una punto de referencia útil para el objetivo final de dibujar cada rebanada azul.
En un problema real, el radio del círculo rojo podría estar especificado, así como el radio de cada rebanada circular. Por ahora, escojamos arbitrariamente que el radio del círculo rojo sea 3 y que el radio de cada rebanada azul sea 1, con el entendido de que escoger valores diferentes nos daría toros diferentes.
Idea central: describiremos cada punto sobre el toro como la suma de dos vectores:
  1. Un vector start bold text, c, end bold text, with, vector, on top que va del origen a un punto del círculo rojo. Para especificar cuál punto del círculo rojo, haremos que esta sea una función vectorial que depende de un parámetro t. Conforme el valor de t cambie, el punto en el círculo rojo descrito por start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis cambiará.
  2. Un vector start bold text, d, end bold text, with, vector, on top que va de ese punto en el círculo rojo a un punto en la "rebanada" correspondiente del toro. La dirección en la que este vector apunte dependerá del punto del círculo rojo al que está anclado, así que el valor de start bold text, d, end bold text, with, vector, on top debe depender del parámetro t usado para describir puntos en el círculo rojo. Más aún, usaremos un segundo parámetro u para determinar hacia qué parte de la rebajada azul del toro apunta start bold text, d, end bold text, with, vector, on top.
    El vector left parenthesis, with, \overrightarrow, on top, start bold text, d, end bold text, right parenthesis, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis, que va desde el círculo rojo hasta un punto en el toro.
Esto quiere decir que cada punto en el toro será descrito como una suma.
start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis
(Si no estás familiarizado con el método punta a cola de suma de vectores, considera revisar este video).

¿Por qué esta estrategia?

La idea aquí es que no sabemos de manera inmediata cómo definir los puntos de un toro, pero sí sabemos cómo definir círculos.
Como el círculo rojo grande es plano en el plano x, y, y tiene radio 3, podemos parametrizarlo como sigue:
c⃗(t)=3[cos⁡(t)sin⁡(t)0]=3cos⁡(t)i^+3sin⁡(t)j^+0k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{c}}(t) = 3 \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] = 3 \cos(t) \hat{\textbf{i}} + 3 \sin(t) \hat{\textbf{j}} + 0 \hat{\textbf{k}} \end{aligned}
Ahora, la función vectorial start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis también debe describir un círculo, pero es un poco más difícil. La rebanada circular (azul) del toro que queremos que start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis dibuje está en un ángulo. ¿Cómo dibujas un círculo que está a cierto ángulo en un espacio de tres dimensiones?
Bueno, comencemos a partir de lo que ya conocemos. Sabemos que en dos dimensiones, un círculo unitario centrado en el origen se puede describir con la función paramétrica
Para nuestra rebanada circular azul deseada, hacemos algo parecido, pero cambiamos start bold text, i, end bold text, with, hat, on top y start bold text, j, end bold text, with, hat, on top por vectores unitarios distintos. Échale un vistazo a esta imagen:
Vectores unitarios que nos ayudan a definir la rebanada circular azul del toro.
En vez de que la dirección "lateral" sea start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, el vector unitario en la dirección x, la pensamos como si fuera el vector unitario que apunta hacia afuera del origen, la cual llamaremos start bold text, v, end bold text, with, hat, on top. En realidad, como esa dirección puede depender de dónde comencemos, start bold text, v, end bold text, with, hat, on top debería ser una función vectorial dependiente del parámetro t, así que la escribimos como start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.
Del mismo modo, la dirección "ascendente" ya no es start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, sino start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, el vector unitario en la dirección z. Por lo tanto la parametrización de la rebanada circular debería verse algo como esto:
d⃗(u,t)=cos⁡(u)v^(t)+sin⁡(u)k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{d}}(u, t) = \cos(u) \hat{\textbf{v}}(t) + \sin(u) \hat{\textbf{k}} \end{aligned}
Esto, por supuesto, nos deja con la pregunta: ¿cuál es la fórmula para start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis?
Al ver la imagen, la dirección hacia afuera del origen también está descrita por start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, de modo que la fórmula para start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis debería ser la misma que para start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, pero escalada para ser un vector unitario.
c⃗(t)=3[cos⁡(t)sin⁡(t)0]←No es un vector unitario⇓v^(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)0]←Vector unitario\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{c}}(t) = 3&\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] \quad \leftarrow \small{\gray{\text{No es un vector unitario}}} \\ \Downarrow& \\ \hat{\textbf{v}}(t) = &\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] \quad \leftarrow \small{\gray{\text{Vector unitario}}} \end{aligned}
Esto quiere decir que la expresión completa para start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis es
d⃗(u,t)=cos⁡(u)v^(t)+sin⁡(u)k^=cos⁡(u)[cos⁡(t)sin⁡(t)0]+sin⁡(u)[001]=[cos⁡(u)cos⁡(t)cos⁡(u)sin⁡(t)sin⁡(u)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{d}}(u, t) &= \cos(u) \hat{\textbf{v}}(t) + \sin(u) \hat{\textbf{k}} \\ &= \cos(u) \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right]+ \sin(u) \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} \cos(u)\cos(t) \\ \cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right] \end{aligned}

Para concluir

Recuerda, el motivo por el cual definimos start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis y start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis fue para describir cada punto en el toro como start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis. Al juntar todo esto, tenemos la siguiente función vectorial de dos parámetros:
f⃗(u,t)=c⃗(t)+d⃗(u,t)=3[cos⁡(t)sin⁡(t)0]+[cos⁡(u)cos⁡(t)cos⁡(u)sin⁡(t)sin⁡(u)]=[3cos⁡(t)+cos⁡(u)cos⁡(t)3sin⁡(t)+cos⁡(u)sin⁡(t)sin⁡(u)]\begin{aligned} \quad \vec{f}(u, t) &= \vec{\textbf{c}}(t) + \vec{\textbf{d}}(u, t) \\ &= 3\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{c} \cos(u)\cos(t) \\ \cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right] \\ &= \blueE{\left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(u)\cos(t) \\ 3\sin(t)+\cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right]} \end{aligned}
A medida que u varíe de 0 a 2, pi, el valor de salida de esta función f, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis dibujará una de las rebanadas azules, y a medida que t varíe de 0 a 2, pi, las propias rebanadas dibujarán todo el toro.
Así es como se vería si tomáramos los puntos del espacio de parámetros donde 0, is less than or equal to, u, is less than or equal to, 2, pi y 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi, y los viéramos moverse hacia los valores de salida de nuestra función f, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis:
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Ver la transcripción del video

Resumen

  • Puedes visualizar una función con valores de entrada de dos dimensiones y valores de salida de tres dimensiones al graficar todos los puntos de salida que corresponden a una región del espacio de entrada. Esto resulta en una superficie, conocida como una superficie paramétrica.
  • El proceso de hacer esto de manera inversa, al comenzar con una superficie en el espacio y tratar de encontrar una función que "dibuje" esta superficie, es conocido como parametrizar la superficie. En general, esto es algo difícil de hacer.

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