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Transformaciones

Aquí vemos cómo puedes pensar acerca de las funciones multivariables por medio del movimiento y la animación.

La idea de las transformaciones

En todos nuestros métodos para visualizar funciones multivariables, el objetivo es ver la conexión entre los valores de entrada y los valores de salida de una función de alguna manera.
  • Con gráficas, esto quiere decir trazar puntos cuyas coordenadas incluyan información tanto de los valores de entrada como de los de salida.
  • Con mapas de curvas de nivel, esto significa marcar cuáles valores de entrada irán a ciertos valores de salida.
  • Con funciones paramétricas, marcas en dónde cae el valor de entrada en el espacio de salida.
  • Con campos vectoriales graficas el valor de salida como un vector cuya cola está en el valor de entrada.
El pensamiento detrás de una transformación es simplemente ver (o imaginar) cómo cada punto de entrada se mueve a su punto de salida correspondiente.
Puede ser un poco retorcido ver las funciones como transformaciones si nunca lo has hecho antes, por lo que es normal que al principio te sientas algo confundido.
Para abrir tu apetito sobre cómo se puede ver, aquí hay un video del artículo de superficies paramétricas que muestra cómo cierta función transforma un cuadrado en un toro (forma de dona):
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Concepto sobre precisión

Pensar las funciones como transformaciones puede ser muy poderoso por las siguientes razones:
  • No estamos tan limitados por la dimensión. Tanto los valores de entrada como de salida pueden tener una, dos o tres dimensiones, y habrá una manera de pensar concretamente acerca de lo que está haciendo la función.
    Incluso cuando las dimensiones sean muy grandes como para verlas, pensar en términos de una transformación por lo menos nos permite tener una idea vaga de lo que está pasando en principio. Por ejemplo, podemos saber que una función que va de un espacio de 100 dimensiones a un espacio de 20 dimensiones está "aplastando" 80 dimensiones, quizás de manera análoga a aplastar un espacio de tres dimensiones a una recta.
  • Esta idea generaliza más fácilmente las funciones con diferentes tipos de valores de entrada y de salida, como las funciones de los números complejos, o las funciones que mandan puntos de la esfera al plano x, y.
  • Entender las funciones de esta forma hará más sencillo ver las conexiones entre el cálculo multivariable y el álgebra lineal.
Sin embargo, con todo esto dicho, debemos recalcar que las transformaciones son más poderosas como herramientas para entender lo que hacen las funciones que como descripciones precisas. Sería extraño aprender las propiedades de una función dada observando cómo se ve como una transformación.

Ejemplo 1: de la recta a la recta

Comencemos con algo sencillo, con una función de una sola variable.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 3
Considera todos los pares entrada-salida.
x (entrada)x, squared, minus, 3 (salida)
minus, 21
minus, 1minus, 2
0minus, 3
1minus, 2
21
\varvdots, rectangle\varvdots, rectangle
¿Cómo se verían todas las entradas en la recta numérica deslizándose sobre sus salidas correspondientes? Si imaginamos los espacios de entrada y de salida como dos rectas numéricas, podríamos tener un movimiento como este:
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De manera alternativa, puesto que en este caso el espacio de entrada y de salida son en realidad la misma cosa, un recta numérica, podríamos pensar en la recta que se transforma en sí misma, arrastrando cada punto x al punto x, squared, minus, 3, de la siguiente manera:
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Ejemplo 2: de la recta al plano

Ahora tomemos una función con un valor de entrada de una dimensión y un valor de salida de dos dimensiones, como la siguiente:
f(x)=(cos(x),x2sin(x))\begin{aligned} \quad f(x) = \left( \cos(x), \dfrac{x}{2}\sin(x) \right) \end{aligned}
Volvemos a considerar todos los pares entrada-salida.
Entradas xSalidas left parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, comma, start fraction, x, divided by, 2, end fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
0left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis
start fraction, pi, divided by, 2, end fractionleft parenthesis, 0, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis
pileft parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesis
\varvdots, rectangle\varvdots, rectangle
Imagina todas las posibles entradas en la recta numérica deslizándose hacia sus salidas correspondientes. Esta vez, como las salidas tienen dos coordenadas, viven en el plano x, y.
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Observa que la imagen final de la recta numérica torcida y enrollada dentro del plano x, y es lo que dibujaríamos si interpretáramos f como una función paramétrica, pero esta vez, en realidad podemos ver en dónde terminan los valores de entrada en la curva final.
Tomemos un momento para verlo de nuevo y seguir algunos valores de entrada específicos mientras se mueven a sus valores de salida.
0f(0)=(cos(0),0sin(0))=(1,0)π2f(π2)=(cos(π2),π4sin(π2))=(0,π/4)πf(π)=(cos(π),π2sin(π))=(1,0)\begin{aligned} \quad \blueE{0} &\to f(0) = (\cos(0), 0\sin(0)) = \blueE{(1, 0)} \\ \\ \greenE{\frac{\pi}{2}} &\to f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right), \frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \greenE{(0, \pi/4)}\\ \\ \redE{\pi} &\to f(\pi) = (\cos(\pi), \frac{\pi}{2}\sin(\pi)) = \redE{(-1, 0)} \\ \\ \end{aligned}
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Ejemplo 3: una transformación sencilla del plano al plano

Considera una rotación del plano de 90, degrees (las flechas se muestran para ayudarte a seguir la transformación):
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Esta podría ser considerada una manera de visualizar una función específica con un valor de entrada de dos dimensiones y un valor de salida de dos dimensiones. ¿Por qué?
Esta transformación mueve puntos en un espacio de dos dimensiones a otros puntos en un espacio de dos dimensiones. Por ejemplo, el punto que empieza en left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis termina en left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis. El punto que empieza en left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis termina en left parenthesis, minus, 2, comma, 1, right parenthesis, etc. La función que describe esta transformación es:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, y, comma, x, right parenthesis
Para cualquier punto dado, como left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis, esta función f te dice en dónde cae ese punto después de rotar el plano 90, degrees en sentido contrario a las manecillas del reloj, en este caso left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis.

Ejemplo 4: una transformación más complicada del plano al plano

Ahora veamos una función más complicada con un valor de entrada de dos dimensiones y un valor de salida de dos dimensiones:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, comma, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis.
Cada valor de entrada es un punto en el plano, como left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis, y se mueve hacia otro punto en el plano, como left parenthesis, 1, squared, plus, 2, squared, comma, 1, squared, minus, 2, squared, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, comma, minus, 3, right parenthesis. Cuando vemos cada punto en el plano deslizarse hacia su valor de salida correspondiente, se ve como si una copia del plano se estuviera transformando:
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Observa que todos los puntos terminan en el lado derecho del plano. Esto se debe a que la primera coordenada de las salidas es x, squared, plus, y, squared, que siempre es positiva.
Pregunta de desafío: en la transformación de arriba, que representa la función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, comma, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, observa que todos los puntos terminan en la región en forma de V horizontal comprendida entre las rectas x, equals, y y x, equals, minus, y. ¿Cuál de los siguientes hechos numéricos explica esto?
Escoge 1 respuesta:

Ejemplo 5: del plano a la recta

Ahora piensa en una función con un valor de entrada de dos dimensiones y un valor de salida de una dimensión.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared,
La transformación correspondiente aplastará el plano x, y en la recta numérica.
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Tal aplastamiento puede volver difícil darle seguimiento a todo lo que está pasando, así que en aras de una descripción clara y precisa, estarías mejor si usaras una gráfica o un mapa de curvas de nivel. Sin embargo, puede ser un concepto útil para mantenerlo en tu cabeza que lo que hace una función que va de dos dimensiones a una dimension es aplastar de alguna manera el plano en la recta.
Por ejemplo, esto da una nueva manera de interpretar los conjuntos de nivel en un mapa de curvas de nivel: son todos los puntos del plano que se aplastan juntos en un punto en común en la recta.

Ejemplo 6: del plano al espacio

Las funciones con un valor de entrada con dos dimensiones y un valor de salida con tres dimensiones mapean el plano a un espacio de tres dimensiones. Por ejemplo, una transformación de este tipo se podría ver de la siguiente manera (las líneas rojas y azules solo son para ayudar a llevar un registro de lo que pasa en las direcciones x y y):
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De manera análoga al ejemplo que va de una a dos dimensiones de arriba, nuestra imagen final refleja la superficie que obtendríamos al interpretar la función como una función paramétrica.

Ejemplo 7: del espacio al espacio

Las funciones que van de tres dimensiones a tres dimensiones se pueden ver como que mapean todo el espacio de tres dimensiones en sí mismo. Con tantas variables, ver realmente la transformación puede resultar en una combinación de horror, belleza y confusión. Por ejemplo, considera esta función:
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, y, z, comma, x, z, comma, x, y, right parenthesis
Así es como se vería como una transformación.
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Será bonita, pero tratar de seguirla en realidad es un serio desastre espaguetificado.

Pensamientos finales

Las transformaciones pueden proporcionar maneras maravillosas de interpretar las propiedades de una función, una vez que las aprendas. Por ejemplo, las funciones constantes aplastan su espacio de entrada a un punto, y las funciones discontinuas deben romper el espacio de entrada durante el movimiento.
Estas interpretaciones físicas se pueden volver particularmente útiles conforme nos aventuramos a los temas de cálculo multivariable, en el cual uno corre el riesgo de aprender conceptos y operaciones de manera simbólica sin un entendimiento real de lo que está pasando.

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