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Contenido principal

Campos vectoriales

Los campos vectoriales representan el flujo de un fluido (entre muchas otras cosas). También ofrecen una manera de visualizar las funciones cuyo espacio de entrada y de salida tienen la misma dimensión.

Antecedentes

Notación vectorial:
  • i^ es el vector unitario en la dirección x
  • j^ es el vector unitario en la dirección y
  • k^ es el vector unitario en la dirección z

Qué vamos a construir

  • Un campo vectorial asocia un vector a cada punto en el espacio.
  • Los campos vectoriales y el movimiento de fluidos van de la mano.
  • Puedes pensar acerca de un campo vectorial como que representa una función multivariable cuyos espacios de entrada y de salida tienen la misma dimensión.
  • La longitud de las flechas dibujadas en un campo vectorial normalmente no están a escala, pero la razón de la longitud entre un vector y otro debe ser precisa. A veces la longitud de los vectores se comunica mediante el uso de colores.

Calentamiento: dibujar el movimiento al usar vectores de velocidad

¿Cómo dibujas un objeto en movimiento? Una manera común en matemáticas y física es adjuntarle el vector de velocidad que describe el movimiento de dicho objeto al dibujo.
  • La longitud (magnitud) del vector indica la rapidez.
  • La dirección del vector indica la dirección en la que se mueve el objeto.
Por ejemplo, supón que tienes, no sé, un zorro y una ballena, cada uno se mueve hacia la izquierda. Digamos que el zorro se mueve (o más bien está siendo arrastrado de la manera en la que lo dibujé) 10 metros por segundo, y la ballena se mueve 5 metros por segundo. Podrías representar sus movimientos de la siguiente manera:
Hay dos convenciones importantes de las que hay que darse cuenta en este ejemplo:
  1. La descripción de un vector solo nos dice su magnitud y dirección (por ejemplo, 10 metros por segundo hacia la izquierda), pero no dónde dibujar el vector. La decisión de adjuntarle la cola del vector al objeto cuyo movimiento representa es simplemente una convención.
  2. Las longitudes reales de los vectores en nuestro dibujo no importan en realidad, siempre y cuando el vector asignado al zorro sea el doble de largo que el asignado a la ballena. Simplemente puedes decirle a la persona que vea la imagen "sea cual sea la longitud de la flecha que dibujé para el zorro, así es como se deberían ver 10 metros por segundo".

Ejemplo de motivación: fluidos en movimiento en dos dimensiones

Vamos a subirle el grado de dificultad. ¿Qué pasarías si en vez de representar el movimiento de uno o dos objetos, tuvieras un fluido que se mueve de una manera particular? Por ejemplo, la siguiente animación representa el movimiento de ese fluido al mostrar el movimiento de solo unas cuantas partículas (dibujadas como puntos azules):
Contenedor video de Khan Academy
Para representar este tipo de movimiento, necesitamos comunicar mucha más información que solo una magnitud y una dirección. Necesitamos expresar la velocidad de cada partícula individual en el fluido.
En realidad, cuando se trata de dibujar este movimiento, podemos salirnos con la nuestra al representar solo una muestra de las partículas. Por ejemplo, si dibujas un vector de velocidad en cada una de las partículas mostradas en la animación, y si agregas algunos ejes coordenados para llevar un registro de dónde está todo, podrías obtener un diagrama que se ve así:
Si dejas que tus ojos sigan las flechas en la imagen, moviéndote de una a la que sigue, puedes obtener una muy buena noción de cómo fluye el fluido que representa, aunque sea una imagen estática. Las partículas cercanas entre sí tienden a moverse con la misma rapidez y dirección. Por lo tanto, cada flecha no solo representa la velocidad de la partícula individual a la que está asignada, sino que también da una noción de cómo se mueve la vecindad de partículas alrededor de ella.
Un diagrama como este se llama un campo vectorial.
Una cosa importante que hay que mencionar acerca de la manera en la que la gente típicamente dibuja campos vectoriales es que los vectores casi nunca se dibujan a escala. Por ejemplo, si una partícula individual del fluido se estuviera moviendo a 10 metros por segundo, técnicamente deberíamos hacer la flecha asignada a esta de 10 unidades de largo, ¡pero eso podría ocupar toda la imagen! Si hubiera flechas muy largas asignadas a cada punto, dirigidas en todos los sentidos, el diagrama podría ser un verdadero desastre.
Como resultado, es común escalar cada vector para que todos quepan de una manera limpia en la imagen. Lo que es importante no es la longitud específica de cada vector, sino cómo se comparan las longitudes de distintos vectores entre sí.
Otra manera en la que algunos programas de computadora para graficar representan la longitud relativa es coloreando cada vector. Por ejemplo, la siguiente imagen muestra el mismo campo vectorial usando colores: las flechas de color azul oscuro deben ser interpretadas como "más cortas" que las flechas de color azul claro, aunque técnicamente todas son de la misma longitud.
Pensemos acerca de qué es un campo vectorial de manera matemática. Cada punto en un espacio de dos dimensiones está asociado con un vector de dos dimensiones. Podemos pensar esto como una función (multivariable) vectorial, cuyo valor de entrada es un punto (x,y) en un espacio de dos dimensiones, y cuyo valor de salida es un vector en dos dimensiones.
Por ejemplo, la función que usé para generar el movimiento del fluido y el campo vectorial de arriba es
f(x,y)=[sin(x)+sin(y)sin(x)sin(y)]=(sin(x)+sin(y))i^+(sin(x)sin(y))j^
Como tanto los valores de entrada como los de salida de esta función tienen dos coordenadas, tratar de graficarla requeriría de cuatro dimensiones. ¡Pero con un simple dibujo de dos dimensiones la representamos casi completamente! Más aún, esta imagen da una mejor idea intuitiva de lo que debería representar un fluido arremolinándose que lo que cualquier gráfica podría.
Verificación de conceptos: dada la fórmula que te acabo de dar para f, ¿cuáles son las componentes de un vector asignado al punto (π,π2) en el plano xy?
La componente x es
(podrías pensar esto como la componente i^)

La componente y es
(podrías pensar esto como la componente j^)

Por lo tanto, este vector apunta

Ejemplo 1: la función identidad

Considera esta función:
f(x,y)=[xy]
Esto asocia un punto dado en un espacio de dos dimensiones, como (3,4), con un vector que tiene esas mismas coordenadas. Por ejemplo, así se vería el vector asignado a (3,4):
Cuando haces esto para muchos puntos en el plano, y escalas todos los vectores para que no se vuelva demasiado desordenado, obtienes una imagen como esta:
Campo vectorial de f(x,y)=(x,y)

Ejemplo 2: ninguna componente horizontal

Ahora considera la función
f(x,y)=[0ysin(x)]
La componente x del valor de salida siempre es 0, entonces los vectores en nuestro campo vectorial solo deberían apuntar hacia arriba o hacia abajo.
La segunda coordenada del valor de salida nos dice qué tan alto debería ser cada vector. Como esto tiene un factor y, las flechas deberían hacerse más largas conforme nos alejamos del eje x, y más cortas conforme nos acercamos a este (¿por qué?). También hay un factor sin(x), así que conforme vayamos de izquierda a derecha, la altura de los vectores oscilará hacia arriba y hacia abajo.
Campo vectorial de f(x,y)=(0,ysin(x))

Ejemplo 3: usar gráficas como ayuda

La práctica hace al maestro, así que veamos una función vectorial más en dos dimensiones y razonemos acerca de cómo debería verse el campo vectorial que representa. Pensar en esto es un poco más profundo que los ejemplos pasados.
f(x,y)=[1y2y]
Como x no aparece en ningún lugar del valor de salida, los vectores en nuestro campo permanecerán sin modificaciones conforme nos movamos de izquierda a derecha (¿por qué?).
La primera componente de todos nuestros vectores siempre es 1, por lo que todos tendrán la misma componente hacia la derecha. En cuanto a la segunda componente, será igual a y2y, pero, ¿cómo se ve esta componente?
Podemos tomar una pequeña pausa para entender la expresión y2y al ver la gráfica de la función de una variable g(y)=y2y. La expresión se factoriza como y(y1), por lo que sus raíces están en 0 y 1. También sabemos que es una parábola que abre hacia arriba ya que es una curva cuadrática con su primer término positivo, por lo que obtenemos esta gráfica:
Gráfica de g(y)=y2y
Esta función es positiva fuera del intervalo [0,1], y ligeramente negativa dentro de este.
Ahora veamos de nuevo a nuestra función del campo vectorial.
f(x,y)=[1y2y]
La componente y de cada vector será ligeramente negativa (es decir, apuntará hacia abajo) cuando y esté entre 0 y 1. Conforme y se aleje de ese rango, yendo hacia arriba o hacia abajo en el plano, la componente y del vector crecerá positivamente, así que cada vector apuntará más y más hacia arriba. Al dibujar esto, podrías obtener algo así:
Campo vectorial de f(x,y)=(1,y2y)

Campos vectoriales en tres dimensiones

Podríamos hacer lo mismo en tres dimensiones, quizá modelando corrientes de aire. De manera análoga al caso en dos dimensiones, asociamos cada punto en un espacio de tres dimensiones con un vector en tres dimensiones y solo dibujamos una muestra de esos vectores.
El siguiente video muestra cómo podría verse un espacio vectorial de tres dimensiones de este tipo, con colores cercanos al rojo que indican vectores más largos y colores cercanos al azul que indican vectores más cortos.
Contenedor video de Khan Academy
En esta ocasión, el campo vectorial representa una función con 3 coordenadas de entrada y 3 coordenadas de salida, ¡por lo que graficarla requeriría de 6 dimensiones! La función específica usada para este ejemplo fue
f(x,y,z)=[y+zx+zx+y]
Dibujar campos vectoriales tridimensionales puede ser complicado y, aún cuando lo hacemos (tal vez con alguna paquetería de graficación), los vectores se pueden atravesar unos a otros de tal forma que sea difícil ver qué está pasando. Como resultado, esta es una de esas visualizaciones que es muy útil tener presente en la cabeza, pero no es necesariamente eficaz para lograr representaciones precisas.

Resumen

  • Un campo vectorial asocia un vector a cada punto en el espacio.
  • Los campos vectoriales y el movimiento de fluidos van de la mano.
  • Puedes pensar acerca de un campo vectorial como que representa una función multivariable cuyos espacios de entrada y de salida tienen la misma dimensión.
  • La longitud de las flechas dibujadas en un campo vectorial normalmente no están a escala, pero la razón de la longitud entre un vector y otro debe ser precisa. A veces la longitud de los vectores se comunica mediante el uso de colores.

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