Si estás viendo este mensaje, significa que estamos teniendo problemas para cargar materiales externos en nuestro sitio.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenido principal

Reducir la dependencia en las gráficas

Aunque las gráficas son una buena herramienta para pensar en funciones de una sola variable, no siempre se pueden usar en funciones multivariables.

Las gráficas no son la única manera

Si tienes una función de una sola variable, como la que está a continuación, es común visualizarla al usar una gráfica.
f(x)=12x2+2x+3
Sin embargo, es importante recordar que las gráficas no son la misma cosa que las funciones. Esto puede parecer obvio, pero las gráficas son tan útiles para representar funciones de una sola variable que la gente a menudo se aferra un poco a esta idea de las gráficas a medida que cambian el enfoque a funciones multivariables.
Por ejemplo, ¿te acuerdas de la derivada? En algún punto puedes haber visto la definición formal que se ve así:
f(x)=limh0f(x+h)f(x)hDefinición formal de la derivada.
Sé honesto, ¿qué tan a menudo piensas realmente en este límite al hacer ejercicios, aprender a calcular la derivada e interpretar el significado de las derivadas?
Es mucho más sencillo pensar en la derivada como que representa la pendiente de la gráfica de f. ¡Y no hay nada malo con eso! Al menos, para el cálculo de una variable no lo hay.
En cálculo multivariable, no siempre visualizaremos funciones con gráficas. Como resultado, cuando extendamos la idea de la derivada, no siempre puedes pensarla como una pendiente. ¡Pero eso no quiere decir que no la vamos a visualizar! Es solo que la visualización puede ser diferente de vez en vez.
Y, en el mismo sentido, pensar en una integral como el cálculo del valor del área (con signo) bajo una curva es tan útil que los estudiantes de cálculo de una sola variable raramente piensan en la integral de manera diferente. ¿Por qué lo harías? No arregles lo que no está roto, ¿cierto?
Dominar el cálculo multivariable requiere de flexibilidad para pensar en funciones de manera diferente —aún de manera visual, pero diferente—. También requiere incorporar nociones fundamentales como derivación e integración en estas nuevas maneras de pensar.
Por ejemplo, la derivada consiste fundamentalmente en preguntarse cómo cambia el valor de salida de una función conforme mueves ligeramente su valor de entrada. Si una función tiene un valor de salida multidimensional, interpretar esto como una "pendiente" en realidad no tiene sentido. En cambio, puede que tengas que visualizar cómo un pequeño cambio en el valor de entrada afecta cada coordenada de la salida.
Del mismo modo, la integración es fundamentalmente la suma de un montón de pequeños valores (bueno, una cantidad infinita de valores infinitesimalmente pequeños) pero esto no siempre significa área. En física, por ejemplo, es común calcular el "trabajo" realizado sobre un objeto por alguna fuerza al usar una integral, pero no siempre hay una manera clara de ver ese "trabajo" como algún tipo de área.

Cinco visualizaciones diferentes

En los siguientes artículos, veremos cinco maneras diferentes de visualizar funciones multivariables. Aquí solo obtendremos una probadita de cada una.
En cada una de las siguientes descripciones, "espacio de entrada" y "espacio de salida" se refieren a dónde viven los valores de entrada y de salida de una función. Por ejemplo, si una función toma un par ordenado (x,y), como (2,5), y da como valor de salida un solo número, como 5, el espacio de entrada sería el plano xy y el espacio de salida sería la recta numérica real.
  • Gráficas, nuestras viejas amigas. Las gráficas tienen el beneficio de mostrar tanto el espacio de entrada como el espacio de salida al mismo tiempo, pero como resultado, están altamente limitadas por la dimensión. Por este motivo, solo son realmente útiles para funciones de una sola variable y funciones multivariables con un valor de entrada de dos dimensiones y un valor de salida de una dimensión.
  • Mapas de curvas de nivel. Los mapas de curvas de nivel solo muestran el espacio de entrada y son útiles para funciones con un valor de entrada de dos dimensiones y un valor de salida de una dimensión.
  • Curvas/superficies paramétricas. Las curvas y superficies paramétricas solo muestran el espacio de salida y se usan para funciones cuyo espacio de salida tiene más dimensiones que su espacio de entrada.
  • Campos vectoriales. Estos se aplican a funciones cuyo espacio de entrada y de salida tienen la misma cantidad de dimensiones. Por ejemplo, funciones con valores de entrada con dos dimensiones y valores de salida con dos dimensiones, o valores de entrada con tres dimensiones y valores de salida con tres dimensiones se pueden usar con campos vectoriales.
  • Transformaciones. Estas tienen el beneficio de funcionar con cualquier función, no importa la dimensión de su espacio de entrada o de salida. Sin embargo, la desventaja es que solo se pueden representar al usar una animación o un dibujo esquemático. Por lo tanto, son más útiles para obtener un entendimiento conceptual sobre lo que la función hace, pero no son prácticas para representar la función de manera precisa.
Con cada tema y definición nuevos que aprendas, una buena manera de probar tu comprensión es ver si puedes darle sentido en el contexto de las funciones que visualizas en cada una de estas diferentes maneras. Por ejemplo, la derivada representa la pendiente en el contexto de las gráficas, pero la versión multivariable de una derivada puede significar algo totalmente distinto para funciones paramétricas, campos vectoriales o mapas de curvas de nivel.

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.