Contenido principal

Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 1

Lección 2: Vectores y matrices

Producto cruz

Aprende qué significa geométricamente el producto cruz, junto con la regla de la mano derecha y cómo calcular un producto cruz.

Como el producto punto, el producto cruz es una operación entre dos vectores. Antes de llegar a una fórmula para el producto cruz, hablemos de algunas de sus propiedades.

Propiedades del producto cruz

Escribimos el producto cruz entre dos vectores como

\vec{a} \times \vec{b}

(se pronuncia "a cruz b"). A diferencia del producto punto, el cual regresa un número, el resultado de un producto cruz es otro vector. Digamos que

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}

. Este nuevo vector

\vec{c}

tiene dos propiedades especiales.

Primero, es perpendicular tanto a

\vec{a}

como a

\vec{b}

. Expresando esto en términos del producto punto, podríamos decir que

\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0

. Esta propiedad por sí sola hace que el producto cruz sea bastante útil. Es también por esto que el producto cruz solo funciona en tres dimensiones. En 2D, no siempre hay un vector perpendicular a cualquier par de otros vectores. En cuatro y más dimensiones, hay un número infinito de vectores perpendiculares a un par dado de otros vectores.

Segundo, la longitud de

\vec{c}

es una medida de qué tan lejos apuntan

\vec{a}

\vec{b}

, aumentado por sus magnitudes.

‖ \vec{c} ‖ = ‖ \vec{a} ‖ ‖ \vec{b} ‖ \sin (θ)

Es parecido al producto punto, pero en vez de

\cos (θ)

, el producto cruz usa

\sin (θ)

, donde

θ

es el ángulo entre

\vec{a}

\vec{b}

. De esa manera, cuando el ángulo es

90

grados, el producto cruz es lo más grande posible. En este sentido, el producto punto y el producto cruz se complementan entre sí.

Hay una interpretación de la longitud de

\vec{c}

que es particularmente útil. Piensa en el paralelogramo formado por

\vec{a}

\vec{b}

. La base de este paralelogramo tiene longitud

‖ \vec{a} ‖

y la altura tiene longitud

‖ \vec{b} ‖ \sin (θ)

. Eso significa que del área el paralelogramo en total es precisamente la magnitud del producto cruz.

La regla de la mano derecha

Observa que en la imagen de arriba el producto cruz es perpendicular a

\vec{a}

\vec{b}

, como se esperaba. Pero en realidad hay dos vectores que podrían ser perpendiculares a

\vec{a}

\vec{b}

. Si

\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}

, entonces estas dos opciones son

\vec{c}

- \vec{c}

. ¿Cómo decidimos cuál de las dos opciones perfectamente válidas es el producto cruz?

Tenemos una convención llamada la regla de la mano derecha para resolver esta ambigüedad. Si levantas tu mano derecha, apuntas tu dedo índice en la dirección de

\vec{a}

y apuntas tu dedo medio en la dirección de

\vec{b}

, entonces tu pulgar va a apuntar en la dirección de

\vec{a} \times \vec{b}

Es arbitrario que definamos el producto cruz con la regla de la mano derecha en lugar de la regla de la mano izquierda, pero al usar esta convención el producto cruz ya no tiene ninguna ambigüedad.

La fórmula no tan bonita

Lo más importante que debes recordar del producto cruz deben ser sus propiedades, no su fórmula. Pero a veces necesitamos calcular un producto cruz. Desafortunadamente, la fórmula para el producto cruz no es tan bonita como lo fue para el producto punto. Cuando lleguemos al artículo sobre determinantes, vamos a ver una forma más agradable de recordar la fórmula para el producto cruz. Por ahora:

\begin{aligned} \vec{a} & = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ \vec{b} & = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\ \vec{a} \times \vec{b} & = [\begin{array}{c} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array}] \end{aligned}

Vamos a probar un ejemplo usando la fórmula.

Problema 1

$(3, 0, 2) \times (- 1, 4, 2) =$ ‍
$($ ‍
Tu respuesta debe ser
un entero, como $6$ ‍
una fracción propia simplificada, como $3 / 5$ ‍
una fracción impropia simplificada, como $7 / 4$ ‍
un número mixto, como $1 3 / 4$ ‍
un decimal exacto, como $0.75$ ‍
un múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ o $2 / 3 pi$ ‍
$,$ ‍
Tu respuesta debe ser
un entero, como $6$ ‍
una fracción propia simplificada, como $3 / 5$ ‍
una fracción impropia simplificada, como $7 / 4$ ‍
un número mixto, como $1 3 / 4$ ‍
un decimal exacto, como $0.75$ ‍
un múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ o $2 / 3 pi$ ‍
$,$ ‍
Tu respuesta debe ser
un entero, como $6$ ‍
una fracción propia simplificada, como $3 / 5$ ‍
una fracción impropia simplificada, como $7 / 4$ ‍
un número mixto, como $1 3 / 4$ ‍
un decimal exacto, como $0.75$ ‍
un múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ o $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

Ahora veamos una de esas propiedades que hemos discutido en acción.

Problema 2

Uno de los vectores de los que tomamos el producto cruz fue

\vec{a} = (3, 0, 2)

. Sea

\vec{c}

el resultado del producto cruz de arriba.

¿Cuánto es $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ‍?

Producto cruz contra producto punto

Cuando comparamos el producto punto y el producto cruz, hay tres diferencias principales.

El producto punto regresa un número, pero el producto cruz regresa un vector.
El producto punto funciona en cualquier número de dimensiones, pero el producto cruz solo funciona en 3D.
El producto punto mide qué tanto dos vectores apuntan en la misma dirección, pero el producto cruz mide qué tanto dos vectores apuntan en direcciones diferentes.

Eso es todo lo que necesitamos saber acerca del producto cruz por ahora. Si quieres aprender más, revisa este video.

¿Qué sigue?

Ya que tenemos una base sólida en vectores y las maneras en que podemos combinarlos, el último tema que vamos a cubrir son matrices. Los siguientes tres artículos van a describir qué son las matrices, cómo visualizarlas, y una propiedad útil que tienen llamada determinante.

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

Aline Michelle Ballesteros Prieto
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “¿Qué hago si necesito sac...” de Aline Michelle Ballesteros Prieto
¿Qué hago si necesito sacar producto cruz de una matriz 3x3?
Botón que navega a la página de registroBotón que navega a la página de registro
(2 votos)
Respuesta

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.