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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 1

Lección 2: Vectores y matrices

Determinantes

Aprende lo que representa el determinante, cómo calcularlo y una conexión que tiene con el producto cruz.

Cuando interpretamos las matrices como movimiento, hay un sentido en el que algunas matrices estiran el espacio y otras lo comprimen. Este factor de escala tiene un nombre: el determinante.

El determinante como factor de escala

Veamos algunos ejemplos para tener una idea de la manera en la que funciona el determinante. Este es un recordatorio de cómo se ve la cuadrícula antes de aplicar cualquier matriz. El área de la caja pequeña comienza como

1

Si una matriz estira cosas, entonces su determinante es mayor que

1

Si una matriz no estira ni comprime cosas, entonces su determinante es exactamente

1

. Un ejemplo de esto es una rotación.

Si una matriz comprime cosas, entonces su determinante es menor que

1

Algunas matrices reducen tanto el espacio que en realidad aplanan toda la cuadrícula a una sola línea. Esto sucede siempre que una matriz mapea los vectores unitarios

\hat{ı}

\hat{ȷ}

para ser múltiplos unos de otros, situados en la misma línea. Estas matrices tienen un determinante de

0

Aunque los determinantes representan factores de escala, no siempre son números positivos. El signo del determinante tiene que ver con la orientación de

\hat{ı}

\hat{ȷ}

. Si una matriz invierte la orientación, entonces su determinante es negativo. Observa cómo

\hat{ı}

está a la izquierda de

\hat{ȷ}

en la imagen de abajo, cuando normalmente está a la derecha de

\hat{ȷ}

La misma idea de escalar el área se extiende también a las matrices en 3D. La única diferencia es que en 3D decimos que la matriz escala el volumen en lugar del área. El cuadrado unitario también se convierte en el cubo unitario, cuyos lados son los vectores unitarios

\hat{ı}

\hat{ȷ}

\hat{k}

Si quieres, juega con los determinantes como factores de escala con esta demostración interactiva. Observa cómo, cada vez que invertimos la orientación de los vectores unitarios, nos vemos obligados a pasar por un único momento en el que el determinante es cero.

Una última nota importante es que el determinante solo tiene sentido para las matrices cuadradas. Eso es porque las matrices cuadradas mueven vectores del espacio de

n

dimensiones al espacio de

n

dimensiones, así que podemos hablar sobre el cambio de volumen. Para matrices no cuadradas, el álgebra lineal tiene los conceptos de espacio y rango nulos, pero no son temas de cálculo multivariable. Todas las fórmulas en la siguiente sección requieren una matriz con el mismo número de renglones que de columnas.

Cómo calcular determinantes

Ahora que tenemos un sentido fuerte de lo que representan los determinantes, vamos a ver cómo podemos encontrar el determinante de una matriz dada. Abarcaremos cómo hacer esto para matrices de

2 \times 2

y de

3 \times 3

Calcular determinantes en 2D

Hay dos maneras de escribir el determinante.

det ([\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}]) = | \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} |

La fórmula para el determinante en 2D es

a d - b c

. Por ejemplo:

det ([\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array}]) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = - 11

El determinante mide el área del cuadrado unitario después de aplicar una matriz. Podemos hacernos una idea de la fórmula a través de un par de casos especiales. Si

b = c = 0

, entonces

a d

es simplemente el ancho multiplicado por la altura, porque el cuadrado unitario se estira en un rectángulo. Si

b = 0

c = 0

, pero no ambos, entonces

a d

todavía mide el ancho multiplicado por la altura para un paralelogramo asimétrico. Si

b

c

son distintos de cero, entonces sí afectan al área del paralelogramo y necesitamos el término

- b c

Intentemos una pregunta de práctica.

Problema 1

det ([\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}]) =

Para practicar más el cálculo de determinantes en 2D, revisa este ejercicio.

Calcular determinantes en 3D

La fórmula general para el determinante de una matriz de

3 \times 3

es bastante información de golpe, así que vamos a empezar revisando un ejemplo específico. El renglón superior está en negritas porque vamos a ir con una entrada a la vez para encontrar el determinante.

det ([\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{array}]) = ? ? ?

Primero, considera el

2

en la parte superior izquierda de la matriz. A esto lo llamamos nuestro "número de anclaje". Imagina que ignoramos todas las demás entradas que están en el mismo renglón o columna que nuestro número de anclaje. La matriz se vería así:

[\begin{array}{ccc} 2 \\ 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}]

Ahora tomamos el determinante en 2D de la submatriz que encontramos.

det ([\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}]) = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 2

Finalmente, multiplicamos el determinante más pequeño por el número de anclaje

2

para obtener

2 \cdot 2 = 4

. Este

4

es el primero de los tres términos que sumaremos para encontrar el determinante en 3D completo.

det ([\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{array}]) = 4 + ? ?

Hagamos el siguiente paso. Esta vez, nuestro número de anclaje es

1

[\begin{array}{ccc} 1 \\ 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}]

Tomamos el determinante en 2D de nuestra nueva submatriz para obtener

3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5

. Ahora esto es un poco extraño, pero multiplicamos el resultado por el negativo del número de anclaje para hacer nuestro segundo término

- 1 \cdot 5 = - 5

. En general, alternamos multiplicando el determinante pequeño por el número de anclaje y por el negativo del número de anclaje, como un patrón de tablero de ajedrez:

[\begin{array}{ccc} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

Ahora tenemos dos de tres términos.

det ([\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{array}]) = 4 - 5 + ?

Para el paso final, el número de anclaje es

2

. Según el patrón del tablero de ajedrez, no necesitamos multiplicar por un menos uno al final. Tómate un momento para intentar imaginar la submatriz que obtenemos esta vez. Su determinante es

3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 9

. Multiplicamos esto por el número de anclaje para obtener

2 \cdot 9 = 18

Finalmente, podemos sumar todos los términos que encontramos para ver que el determinante es

4 - 5 + 18 = 17

. ¡Encontrar el determinante de una matriz de

3 \times 3

es mucho trabajo! Felicidades por acompañarnos en el camino.

Este es otro ejemplo, hecho todo a la vez. Trata de imaginar tachar las entradas en el renglón y la columna de cada número de anclaje para ver de dónde viene su submatriz.

\begin{aligned} det ([\begin{array}{ccc} 4 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}]) & = 4 det ([\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}]) \\ - 1 det ([\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 3 & 1 \end{array}]) \\ + 3 det ([\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]) \\ = 4 (- 6) - 1 (- 12) + 3 (- 6) \\ = - 30 \end{aligned}

Si aplicamos el mismo procedimiento a una matriz general de

3 \times 3

, obtenemos una fórmula muy larga. La idea más importante que se te debe quedar en la cabeza es la estrategia que usamos para calcular el determinante, no la fórmula en sí misma.

\begin{aligned} det ([\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}]) & = a det ([\begin{array}{cc} e & f \\ h & i \end{array}]) \\ - b det ([\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}]) \\ + c det ([\begin{array}{cc} d & e \\ g & h \end{array}]) \\ = a e i - a f h - b d i + b f g + c d h - c e g \end{aligned}

Al igual que para el caso en 2D, podemos analizar cuidadosamente un diagrama del cubo unitario después de estirarlo por una matriz para encontrar su volumen final. Ese volumen es el determinante en 3D de la matriz, quizás multiplicado por

- 1

dependiendo de la orientación. En cuanto a los determinantes en

n

dimensiones, por desgracia no hay una explicación satisfactoria de por qué la fórmula funciona hasta que tengamos una base en álgebra lineal.

Por suerte, todo lo que es importante entender para el cálculo multivariable es que los determinantes escalan el área. Conocer la maquinaria subyacente de por qué es verdad puede venir más tarde.

Vamos a hacer un problema de práctica.

Problema 2

det ([\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & 0 & 2 \\ 4 & - 3 & 3 \end{array}]) =

Para aprender más sobre el cálculo de determinantes en 3D, echa un vistazo a este video.

Conexión con el producto cruz

La fórmula para el producto cruz no es bonita, pero hay un buen truco para derivarla sobre la marcha. Para encontrar el producto cruz de

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

, simplemente evalúa el siguiente determinante de

3 \times 3

, donde en el renglón superior están los vectores unitarios

\hat{ı}

\hat{ȷ}

\hat{k}

\begin{aligned} det ([\begin{array}{ccc} \hat{ı} & \hat{ȷ} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}]) & = \hat{ı} det ([\begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}]) \\ - \hat{ȷ} det ([\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}]) \\ + \hat{k} det ([\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}]) \\ = \vec{a} \times \vec{b} \end{aligned}

Técnicamente, el determinante de

3 \times 3

anterior no está definido porque tiene vectores en el renglón superior en lugar de números. Pero si seguimos evaluándolo de todos modos, llegamos al producto cruz de

\vec{a}

\vec{b}

. A muchos estudiantes les resulta más fácil recordar la fórmula del producto cruz en términos del determinante.

¿Qué sigue?

¡El amplio mundo del cálculo multivariable es lo siguiente! Felicitaciones por haber acabado esta serie sobre vectores y matrices. Ahora tenemos todos los conceptos necesarios, y esperamos haber construido una comprensión visual intuitiva de cada uno de ellos.

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