Producto punto

El producto punto es una manera fundamental en la que podemos combinar dos vectores. De manera intuitiva, nos dice algo acerca de qué tanto apuntan dos vectores en la misma dirección.

Escribimos el producto punto con un pequeño punto $\cdot$‍ entre los dos vectores (se pronuncia "a punto b"):

Si separamos esto factor a factor, los dos primeros son $\Vert \overrightarrow{a}\Vert$‍ y $\Vert \overrightarrow{b}\Vert$‍. Estas son las magnitudes de $\overrightarrow{a}$‍ y $\overrightarrow{b}$‍, de modo que el producto punto toma en cuenta qué tan largos son los vectores. El último factor es $\cos (\theta )$‍, donde $\theta$‍ es el ángulo entre $\overrightarrow{a}$‍ y $\overrightarrow{b}$‍. Esto nos dice que el producto punto tiene que ver con la dirección.

Específicamente, cuando $\theta =0$‍, los dos vectores apuntan exactamente en la misma dirección. Sin dar cuenta de las magnitudes de los vectores, esto es cuando el producto punto es lo más grande posible, porque $\cos (0)=1$‍. En general, mientras más apunten en la misma dirección dos vectores, mayor será el producto punto entre ellos.

Cuando $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$‍, los dos vectores están precisamente perpendiculares entre sí. Esto corresponde a que el producto punto entre ellos sea $0$‍, porque $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$‍.

También es posible que un producto punto sea negativo si los dos vectores están apuntando en direcciones opuestas, que es cuando ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$‍.

Otra manera de pensar acerca de $\theta$‍ es imaginar que un vector proyecta una sombra sobre el otro. Cuando el ángulo es pequeño, la sombra cae lejos del origen y el producto punto es grande.

Cuando $\theta$‍ es cercano a ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$‍, la sombra cae cerca del origen y el producto punto es pequeño.

Ten en cuenta que el producto punto de dos vectores es un número, no un vector. Eso significa, por ejemplo, que no tiene sentido preguntar a qué es igual $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$‍. Una vez que hayamos evaluado $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$‍ y obtenido un número, terminaríamos por tratar de tomar el producto punto entre un número y un vector, que no es como funciona el producto punto.

Cuando necesitamos encontrar un producto punto en cálculo multivariable, típicamente solo tenemos las coordenadas de $\overrightarrow{a}$‍ y $\overrightarrow{b}$‍. Calcular $\Vert \overrightarrow{a}\Vert \Vert \overrightarrow{b}\Vert \cos (\theta )$‍ nos forzaría a encontrar dos raíces cuadradas y un coseno, ¡lo cual es mucho trabajo! Afortunadamente, hay una manera más fácil. Solo multiplica los componentes correspondientes y después suma:

Aunque el ejemplo anterior trata con vectores en 3D, esta fórmula se extiende para vectores de cualquier longitud.

Esto hace que calcular productos punto sea directo si conoces los componentes de cada vector.

Probemos un ejemplo.

Aunque ahora tengamos una linda fórmula en términos de coordenadas, la intuición detrás del producto punto sigue siendo cómo mide la dirección relativa. Intenta predecir el digno del producto punto con base en solo una imagen.

Eso es todo lo que necesitamos saber acerca del producto punto por ahora. Si quieres aprender más, revisa este video.

Ya que cubrimos el producto punto, solo queda una operación vectorial más por aprender: el producto cruz. Como veremos, el producto cruz complementa de una buena manera el producto punto, pero es ligeramente más limitado.