Matrices, introducción

Además de los vectores, las matrices son una manera fundamental de hablar de espacios de dimensiones superiores. Van a aparecer en todos lados en cálculo multivariable, así que vamos a empezar.

Una matriz es un arreglo de números que encerramos con corchetes. La dimensión de una matriz es cuántos renglones y columnas tiene, la cual escribimos como $\text{renglones}\times \text{columnas}$‍. Por ejemplo, aquí hay una matriz de $2\times 3$‍ (se pronuncia "dos por tres"). La convención es usar letras mayúsculas para una variable que sea una matriz.

Cuando una matriz tiene el mismo número de renglones que de columnas, la llamamos una matriz cuadrada. Por ejemplo, la matriz $A$‍ no es cuadrada. Los números en una matriz los llamamos sus elementos o entradas. Para referirnos a una entrada en una matriz, especificamos su renglón y luego su columna en un subíndice. La convención es utilizar letras minúsculas para los elementos de la matriz.

La transpuesta de una matriz es aquella matriz que tiene los renglones y las columnas intercambiados. Es decir, la entrada $a_{i,j}$‍ se convierte en $a_{j,i}$‍. Escribimos $A^T$‍ para referirnos a la transpuesta de $A$‍. La transpuesta también invierte las dimensiones de una matriz, de modo que por ejemplo $A^T$‍ es de $3\times 2$‍.

En general, las entradas en una matriz no tienen que ser números. Por ejemplo, algunas de las matrices que vamos a encontrar en cálculo multivariable tienen entradas que son funciones o incluso operadores de derivada.

Para aprender más acerca de lo que es una matriz, revisa este video. Para más información sobre la transpuesta, revisa este video. Para practicar con la dimensión de una matriz, intenta este ejercicio. Para practicar con los elementos de una matriz, intenta este ejercicio.

Como un vector es solo una lista de números, podemos representarlo como una matriz. Es por esto que podemos escribir vectores con notación de matriz. Siempre podemos escribir un vector dado como un vector renglón ($1\times n$‍) o como un vector columna ($n\times 1$‍). La única diferencia entre los vectores renglón y columna es cómo funcionan en la multiplicación de matrices.

Aquí usamos la transposición porque, de lo contrario, el vector renglón y el vector columna no son técnicamente iguales, porque tienen diferentes dimensiones.

Para aprender más acerca de la transposición de vectores, revisa este video.

Podemos sumar dos matrices si tienen dimensiones iguales. La forma en que las sumamos es al sumar componentes correspondientes. En símbolos, esto dice que $A+B=C$‍ significa $a_{i,j}+b_{i,j}=c_{i,j}$‍.

Para practicar la suma de matrices, revisa este ejercicio.

Podemos multiplicar cualquier matriz por un escalar, que es una palabra elegante para un número. Cuando hacemos multiplicación por un escalar, multiplicamos el escalar en cada entrada de la matriz. En símbolos, esto dice que $xA=B$‍ significa $x{a}_{i,j}=b_{i,j}$‍.

Para practicar la multiplicación escalar, revisa este ejercicio.

Esta sección es opcional porque la multiplicación de matrices es más útil cuando necesitamos hablar sobre el espacio $n$‍-dimensional. mientras que en este curso nos enfocamos en 2D y 3D. Sin embargo, aprender esto ahora proporciona una gran base para extenderse a dimensiones superiores más adelante.

A diferencia de la suma y la multiplicación escalar, para encontrar el producto de dos matrices $A$‍ y $B$‍ no solo multiplicamos las entradas correspondientes. En lugar de eso, calculamos el producto punto de un vector renglón de $A$‍ con un vector columna de $B$‍ para encontrar cada entrada. Por ejemplo, para calcular $c_{1,2}$‍ de $C=AB$‍, tomamos el producto punto del renglón $1$‍ de $A$‍ con la columna $2$‍ de $B$‍:

En general, para encontrar la entrada $c_{i,j}$‍ de $C=AB$‍, tomamos el producto punto del renglón $i$‍ de $A$‍ con la columna $j$‍ de $B$‍. Aquí está el resto de la multiplicación de matrices de arriba:

Como consecuencia de esta definición, solo podemos multiplicar dos matrices $A$‍ y $B$‍ si el número de columnas de $A$‍ es el mismo que el número de renglones de $B$‍. De lo contrario, tendríamos que tomar el producto punto de dos vectores con diferentes longitudes.

Siempre podemos multiplicar dos matrices cuadradas de la misma dimensión, tales como una de $3\times 3$‍ con una de $3\times 3$‍. Otras combinaciones válidas incluyen, por ejemplo, una de $2\times 5$‍ con una de $5\times 2$‍, o una de $3\times 1$‍ con una de $1\times 3$‍.

La dimensión de la matriz producto serán los renglones de $A$‍ y las columnas de $B$‍. Por lo tanto, el producto de una matriz de $1\times 4$‍ con una matriz de $4\times 1$‍ será una de $1\times 1$‍, la cual es intercambiable con un número. En una nota al margen, esto conduce a otra manera como podemos escribir el producto punto:

Para aprender más sobre la multiplicación de matrices, revisa este video. Para practicar, intenta este ejercicio.

Ya que conocemos los fundamentos de matrices, es un buen momento para retroceder y pensar en lo que significan las matrices. De lo contrario, las fórmulas y los conceptos que las rodean pueden sentirse desmotivados. El siguiente artículo presenta una manera de visualizar matrices que va a dar intuición a cómo funcionan. Específicamente, da luz sobre cómo pensar en la fórmula para la multiplicación de matrices y nos prepara para el artículo final acerca de determinantes.