Vectores y notación

Los vectores son los bloques de construcción de todo lo que es multivariable. Los usamos cuando queremos representar una coordenada en un espacio de dimensión mayor o, de manera más general, para escribir una lista de cualquier cosa. En este artículo, vamos a cubrir qué son los vectores, diferentes maneras de escribirlos y las tres operaciones vectoriales básicas.

Por lo general, un vector es una lista de cosas. En cálculo multivariable, una "cosa" suele terminar significando "número", pero no siempre. Por ejemplo, vamos a ver un vector compuesto por operadores de derivada cuando hablemos de derivadas multivariables. Esta generalidad es super útil más adelante.

Cuando un vector es solo una lista de números, lo podemos visualizar como una flecha en el espacio. Por ejemplo, visualizamos el vector $(4,2)$left parenthesis, 4, comma, 2, right parenthesis como una flecha cuya cola está en el origen y cuya cabeza está en el punto $(4, 2)$left parenthesis, 4, comma, 2, right parenthesis. Por esta razón, usualmente no distinguimos entre puntos y vectores en cálculo multivariable.

Sin embargo, a veces dibujamos un vector con la cola lejos del origen. Esto no cambia nada acerca del vector, solo dónde lo dibujamos. Por ejemplo, también podemos dibujar el vector $(4,2)$left parenthesis, 4, comma, 2, right parenthesis que empiece en $(0, 2)$left parenthesis, 0, comma, 2, right parenthesis. Ambas flechas corresponden al vector $(4,2)$left parenthesis, 4, comma, 2, right parenthesis, aunque una de ellas no termine en el punto $(4,2)$left parenthesis, 4, comma, 2, right parenthesis.

Por esto es que a veces puede ser confuso escribir vectores exactamente como puntos en el espacio. Por esta razón, a la gente se le han ocurrido otras notaciones para los vectores.

Hay muchas maneras de escribir vectores. Aquí están las tres que vamos a usar más en este curso. La flecha pequeña encima de $\vec{v}$v, with, vector, on top es una convención que indica que $\vec{v}$v, with, vector, on top se refiere a un vector.

La primera notación es lo que discutimos anteriormente. Técnicamente se refiere a un punto, pero la usamos de manera intercambiable para referirnos a un vector. Esta notación se extiende a cualquier número de dimensiones.

La segunda notación es la de matriz, la cual también podemos extender a tantas dimensiones como queramos. La notación de matriz es particularmente útil cuando pensamos acerca de vectores que interactúan con matrices. Vamos a discutir las matrices y cómo visualizarlas en próximos artículos.

La tercera notación, a diferencia de las anteriores, solo funciona en 2D y 3D. El símbolo $\blueD{\hat{\imath}}$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd (que se pronuncia "i sombrero") es el vector unitario $x$x, así que $\blueD{\hat{\imath}} = (1, 0, 0)$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, equals, left parenthesis, 1, comma, 0, comma, 0, right parenthesis. Del mismo modo, $\maroonD{\hat{\jmath}} = (0, 1, 0)$start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, equals, left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 0, right parenthesis y $\greenD{\hat{k}} = (0, 0, 1)$start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, comma, 1, right parenthesis. Esta notación puede hacer más sentido una vez que veamos suma de vectores.

En este curso, casi siempre usamos la notación $(1, 2, 3)$left parenthesis, 1, comma, 2, comma, 3, right parenthesis en los ejercicios, porque ahorra espacio cuando necesitamos definir múltiples variables. Los videos usan una mezcla de notación de matrices y la de $1 \blueD{\hat{\imath}} + 2 \maroonD{\hat{\jmath}} + 3 \greenD{\hat{k}}$1, start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, plus, 2, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, plus, 3, start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.

Una de las operaciones vectoriales básicas es la suma. En general, siempre que sumamos dos vectores, sumamos sus componentes correspondientes:

Esto funciona en cualquier número de dimensiones, no solo en tres. Podemos visualizar la suma de $\blueD{\vec{a}} + \maroonD{\vec{b}}$start color #11accd, a, with, vector, on top, end color #11accd, plus, start color #ca337c, b, with, vector, on top, end color #ca337c como deslizar la cola de $\blueD{\vec{a}}$start color #11accd, a, with, vector, on top, end color #11accd a la punta de $\maroonD{\vec{b}}$start color #ca337c, b, with, vector, on top, end color #ca337c. Aquí hay un ejemplo de eso en 2D.

Intentemos una pregunta de práctica.

Si quieres profundizar, aprende acerca de cómo entender la suma vectorial de manera visual con este video y después practica con este ejercicio.

La segunda operación vectorial básica es la multiplicación escalar, la cual es cuando estiramos o encogemos un vector. Escalar es solo una palabra elegante para número (la misma raíz que la palabra escalamiento). Aquí hay un ejemplo de cómo funciona:

En general, escalar un vector por un número significa multiplicar cada uno de los componentes del vector por ese número. Eso quiere decir:

Probemos un ejemplo.

El significado intuitivo de escalar un vector en un factor de $2$2 es que estamos haciendo que el vector sea el doble de largo. Así es como se ve eso:

Escalar en un factor de $0.5$0, point, 5 hace que el vector sea la mitad de largo. Esto se vería como que el vector anterior $(2, 4)$left parenthesis, 2, comma, 4, right parenthesis se vuelve $(1, 2)$left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis, en lugar de lo contrario.

Escalar en un factor de $-1$minus, 1 significa invertir la dirección de un vector, porque cada uno de sus componentes se vuelve lo opuesto de lo que era. Aquí hay un ejemplo de cómo se ve eso:

Si quieres profundizar, revisa este video y practica con este ejercicio.

Cuando visualizamos los vectores como flechas, una pregunta natural podría ser: "¿qué tan largo es?". La magnitud de un vector responde esta pregunta. Escribimos la magnitud de un vector con barras dobles en ambos lados, o a veces solo con barras sencillas: $\| \vec{a} \|$\|, a, with, vector, on top, \| o $| \vec{a} |$vertical bar, a, with, vector, on top, vertical bar.

Calculamos la magnitud con el teorema de Pitágoras, porque podemos pensar en un vector como la hipotenusa de un triángulo. Esto es equivalente a usar la fórmula de la distancia, de modo que la magnitud del vector $(a, b)$left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis es $\sqrt{a^2 + b^2}$square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root.

Probemos un ejemplo.

La magnitud funciona del mismo modo en 3D y en dimensiones superiores.

Si quieres profundizar, revisa este video y practica con este ejercicio.

Más allá de la suma, la multiplicación escalar y la magnitud, hay dos operaciones importantes entre vectores. Estas son el producto punto y el producto cruz, y los vamos a ver en los siguientes dos artículos.