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Propiedades de los exponentes con respecto a los productos

Transcripción del video

en este vídeo voy a hacer varios ejemplos relacionados con las propiedades de los exponentes pero antes de que hagamos eso revisemos levemente lo que significa un exponente impact supongamos que tenemos dos elevado a la tercera potencia tú puedes estar tentado de decir bueno eso es 6 yo te diré no eso no es 6 esto quiere decir 2 x sí mismo tres veces es decir esto es igual a 2 x 2 x 2 lo cual es igual a 2 x 2 4 por 28 esto es igual a 87 preguntó a cuánto es igual 3 a la segunda potencia o tres al cuadrado esto es igual a 3 x sí mismo dos veces esto es igual a tres por tres lo cual es igual a 9 hagamos un último de estos creo que ya estás agarrando la idea si es que nunca habías visto estos supongamos que tenemos 55 elevado a la digamos séptima potencia esto es igual al 5 x sí mismo siete veces cinco por 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 veamos 1 2 3 4 5 6 7 5 a la séptima este va a ser un número muy muy muy grande no lo va a calcular aquí pero sólo puede ser a mano o con una calculadora para checar que es un número enorme una de las cosas que es fácil darse cuenta es que los exponentes incrementan los números rápidamente ya puedes imaginar entonces que cinco elevado a la potencia 17 es un número escandalosamente grande en fin esta es una pequeña revisión de exponentes y ahora entremos al álgebra utilizando exponentes ahora cuánto es 3 déjame ponerlo con otro color cuánto es 3 x x 3 x x 3 x cuál es el resultado de esa multiplicación de las cosas que tienes que recordar la multiplicación es que no importa el orden en el que hace las multiplicaciones así es que esto es igual a 3 x 3 x 3 por equis por equis y por x hora por lo que vivimos acá arriba 3 x 3 x 3 estoy aquí 3 x sí mismo tres veces es 3 al cubo y lo mismo pasa para este término x x sí mismo 3 veces x al cubo así es que esto puede ser descrito como 3 al cubo por equis al cubo o como sabemos 3 eleva la tercera potencia es 9 por 3 lo cual nos da 27 así es que esto es igual a 27 x kubica aquí podría decir oye no era esto 3 x x 3 x x 3 x es decir 3 x al cubo a poco no estamos multiplicando 3x por sí mismo o tres veces y te diré tiene razón estoy aquí lo puedes interpretar como 3x elevado a la tercera potencia y así hemos llegado a una de las propias de los exponentes cuando tienes algo x algo y todo eso elevado al cubo a la tercera potencia esto es igual que elevar cada uno de esos términos al cubo y luego multiplicar aquí tenemos tres al cubo por equis al cubo lo cual es igual a 27 x kubica hagamos algunos ejemplos más qué tal si te pregunto cuánto es pongamos 6 al cubo por seis a la sexta y este va a ser un número realmente grande pero lo quiere escribir como potencia de 6 dejan escribir seis a la sexta con un color diferente entonces 6 al cubo por seis a la sexta a cuánto va a ser igual bueno 6 al cubo 6 al cubo sabemos que es 6 por sí mismo o tres veces 6 x 6 x 6 y eso x deja de poner el signo de por aquí en verde no mejor voy a usar el naranja naranja mejor entonces eso multiplicado por seis a la sexta potencia 6 a la sexta potencia que 6 x sí mismo seis veces esto es 6 x 6 x 6 x 6 x 6 5 una más por 6 y este número cuánto va a ser bueno estamos multiplicando 6 por sí mismo cuántas veces estamos multiplicando 123456789 vez es correcto tres veces aquí y seis veces aquí estamos multiplicando 6 por sí mismo nueve veces esto es igual entonces a 6 elevado a la 36 lo cual es igual a 6 a la novena potencia y de esta manera hemos arribado nuevamente a otra propiedad de los exponentes cuando tenemos exponentes en este caso seis al cubo número 6 es la base de la cual estamos elevando al exponente 3 cuando tienes la misma base y están multiplicando dos exponentes que tienen la misma base puedes sumar los exponentes así si yo tengo déjame hacer algunos ejemplos más sobre esto y hagámoslo ahora el magenta supongamos que tenemos dos al cuadrado por 2 a la cuarta por 2 a la sexta potencia tengo la misma base así es que puedo sumar los exponentes esto es igual a 2 elevado a las dos más 4,6 y éste es igual a 2 elevado a la potencia 12 y espero que esto tenga sentido aquí tenemos dos al cuadrado 2 por sí mismo dos veces aquí multiplicamos dos por sí mismo o cuatro veces y aquí multiplicamos dos por sí mismo seis veces en total están multiplicando dos por sí mismo doce veces o dos elevado la potencia 12 hagamos un ejemplo más abstracto usando algunas variables pero es exactamente la misma idea multipliquemos x al cuadrado x cuadrada por equis a la cuarta bueno tenemos la misma base x podemos aplicar la propiedad que acabamos de anunciar esto va a ser igual a x elevado a la dos más cuatro equis a la sexta y si no me crees bien tenemos x al cuadrado lo que equivale a multiplicar x por sí mismo dos veces que multiplica a x a la cuarta y ekiza la cuarta es multiplicar x por sí mismo cuatro veces es decir eso x x x x x x x cuántas veces estamos multiplicando x por sí mismo o bien una dos tres cuatro cinco o seis están multiplicando x por sí mismos seis veces lo que equivale a x elevado a la sexta hagamos otro de estos entre más ejemplos veas yo creo que es mucho mejor hagamos uno con la otra propiedad así mezclamos problemas y completamos las propiedades supongamos que tenemos a al cubo y eso elevado a la cuarta te voy a mostrar primero la propiedad y después la ilustraremos cuando tienes algo elevado a un exponente y a la vez eso elevado otro exponente los exponentes se multiplica así es que esto es a a la 3 x 4 lo cual es igual ha elevado a la potencia 12 y porque esto ese sentido bueno al cubo elevado la cuarta quiere decir al cubo x sí mismo cuatro veces es decir a kubica por a kubica por a kubica por a kubica estamos elevando al cubo cuatro veces es decir a a la 3 x 4 por lo cual esto es igual a alá tres más tres más tres más tres lo cual es lo mismo que a alá tres por cuatro lo cuales ha elevado a la potencia 12 bien revisemos ahora las propiedades que hemos aprendido en este vídeo además de recordar el concepto de exponente si tenemos x elevado a la x x elevado la b esto es igual a x elevado a la más de eso lo vimos aquí arriba cuando hicimos x al cuadrado por ekiza la cuarta es x a las dos más cuatro que es x elevado a la sexta potencia también vimos que sí tengo x por llegue elevado a la potencia esto es igual a x elevado a la morgue elevado a la eso lo vimos acá arriba casi al principio del vídeo cuando hicimos tres equis elevado al cubo lo cual resultó en tres al cubo por equis al cubo lo que se está estableciendo en esta propiedad 3x elevado al cubo es lo mismo que tres al cubo por equis al cubo y la última propiedad con la que nos topamos es si yo tengo x elevado a la que a la vez está elevado a la b esto es igual a x elevado a la a o por b eso lo vimos aquí donde teníamos a al cubo elevado la cuarta lo cual es igual ha elevado a tres por cuatro lo cual es igual ha elevado a la potencia 12 ahora usemos estas propiedades para hacer algunos de los que podríamos designar como problemas más complejos supongamos que tenemos qué sé yo déjame hacer algo así como supongamos que tenemos dos equis o ye cuadrada por - x cuadrada llegue todo es elevado al cuadrado y por tres equis cuadrada ye cuadrada y queremos simplificar esto empecemos por elevar este término al cuadrado esto lo podemos ver como menos uno por equis cuadrada por llegue elevado al cuadrado así es que si elevamos todo esto al cuadrado esto es lo mismo que elevará al cuadrado cada uno de estos factores así es que esta parte de aquila podemos describir cómo -1 elevado al cuadrado por equis cuadrada elevado al cuadrado por llegue elevado al cuadrado y esto simplifica como -1 al cuadrado es uno x cuadrada al cuadrado recuerda que puedes multiplicar los exponentes así es que es x a la cuarta por qué cuadrada y eso es a lo que simplifica este término de medio que tenemos aquí veamos si podemos combinarlo con los otros términos que tenemos el primer término el 2x y cuadrada y el último término es 3x cuadrada yeguada y ahora vamos a realizar los productos que están indicados y acuérdate que hemos aprendido la multiplicación que no importa el orden en el que hagamos las multiplicaciones el orden de los factores no altera el producto así es que vamos a describir esto de tal manera que sea fácil hacer las multiplicaciones lo más simple es empezar con los coeficientes dos y tres centros tenemos dos por tres vayamos ahora con los términos en x los voy a hacer con otro color me voy a hacer con este color x que tenemos aquí no aquí tenemos x a la cuarta y finalmente tenemos x cuadrada x cuadrada vayamos ahora a los términos en que tenemos y encuadrada por nuevamente de cuadrada y por nuevamente y encuadrada por pie cuadrado y esto a que es igual bien dos por tres es igual a 6 no tenemos x x x a la cuarta por equis cuadrada esta x la podemos ver como x a la 1 recordemos que algo elevado a la 1 es ese mismo algo así por ejemplo si tenemos 2 a la 1 es igual a dos y tres a la 1 es igual a tres cualquier número elevado a 1 es el mismo número así es que tenemos aquí esto va a ser igual a tenemos la misma base x así es que podemos sumar los exponentes esto va a ser x a la uno más cuatro más dos y en el siguiente paso haré esta suma y finalmente para las leyes esto va a ser igual hay elevado la potencia dos más dos más dos y esto que nos da esto nos da 6 x x elevado a la séptima potencia por ye elevado a la sexta potencia bien para terminar este vídeo quiero platicar contigo algo que quizás ya sabes y que es muy interesante que pasa cuando llevas algo a la potencia 0 si tenemos siete al acero a que es igual esto es muy poco intuitivo pero siete al acero es igual a uno lo mismo que si tenemos uno al acero es igual a 1 cualquier cosa elevada al acero va a ser igual a 1 cualquier número distinto al acero elevado al acero va a ser igual a uno y para que tengas un poco la intuición de por qué esto es así veámoslo de la siguiente manera 3 a la primera potencia hagámoslo así vamos a poner las potencias 123 y lo va a ser tan sólo para el número tres entonces que tenemos tres a la primera potencia es 33 al cuadrado es 9 y 3 al cubo es 27 y estamos tratando de encontrar cuánto estrés elevado la potencia 0 piénsalo de la siguiente manera cada vez que disminuye es el exponente en uno está dividiendo entre 3 para ir de 27 a 9 dividirse entre tres paí de nueve a tres civiles entre tres así es que quizás para ir del exponente una exponente 0 habría que dividir entre tres y es por eso que cualquier cosa elevado la potencia 0 en este caso tres eleva la potencia cero es uno nos vemos en el próximo video