Entender las fracciones como una división

Cuando aprendemos por primera vez la  multiplicación y la división vemos que son   operaciones inversas, otra forma de pensar en esto  es que pueden cancelarse entre ellas. Así que, por   ejemplo, una forma de interpretar 2 x 4 es tener  cuatro grupos de dos, aquí tenemos un grupo de 2,   dos grupos de 2, tres grupos de 2 y cuatro grupos  de 2. Y hemos aprendido hace muchos, muchos videos   que esto es igual a 8. Bueno, podemos expresar la  división de manera análoga. Empecemos con 8 cosas:   una, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete  y ocho cosas -vamos a escribirlo por acá-,   tenemos 8 de ellas; y digamos que queremos  dividirlas en 4 grupos iguales, vamos a hacerlo:   un grupo igual, dos grupos iguales, tres grupos  iguales, cuatro grupos iguales. Vemos que si   empezamos con 8 cosas y las dividimos en 4 grupos  iguales, entonces cada grupo tendrá dos objetos.   Probablemente ya podemos ver la relación 2 x 4  es 8 y 8 ÷ 4 es 2; de hecho si dividimos 8 ÷ 2   obtendremos 4. Y generalmente esto es cierto: si  multiplicar algo por otra cosa es igual a lo que   sea su producto, entonces al dividir ese producto  entre uno de esos dos números obtendremos como   resultado el otro. Y esta misma idea aplica  para las fracciones, de hecho tiene mucho más   sentido en las fracciones. Por ejemplo, supongamos  que empezamos con ⅓ y queremos multiplicarlo por   3. Hay un par de formas que nos podrían ayudar  a visualizar esta multiplicación, es más, déjame   hacer un dibujo por aquí. Digamos que este bloque  representa una unidad, y déjame colorear ⅓ de él,   este es ⅓ y vamos a multiplicarlo por 3, es decir,  vamos a tener 3 veces ⅓. Otra forma de pensarlo es   tener un tercio, más otro tercio, más otro tercio;  este es nuestro primer tercio, este es nuestro   segundo tercio y este es nuestro tercer tercio; y  así obtenemos un entero, es decir, tres tercios o   simplemente uno, esto es igual a uno. Observa,  vamos a utilizar la misma idea. Si sabemos que   ⅓ x 3 = 1, entonces podemos decir que 1 ÷ 3 =  ⅓. Y esta misma noción surge de la forma en que   pensamos en fracciones por primera vez. La primera  vez que pensamos en las fracciones decimos: "Bueno,   comencemos con un entero y ese entero será  nuestra unidad. Ahora vamos a dividirlo en 3   secciones iguales de la misma forma que dividimos  8 en 4 grupos iguales". Si dividimos este entero   en 3 secciones iguales, el tamaño de cada una  de esas secciones será exactamente igual a ⅓,   y esto nos lleva a una pregunta interesante que  puede estar surgiendo en tu cabeza. Observa:   por aquí tenemos al 1 como numerador y al 3 como  denominador, mientras que, de este otro lado,   estamos diciendo que esto es igual al numerador  entre el denominador: 1 / 3 es lo mismo que 1 ÷ 3,   y entonces la pregunta es: ¿esto se  cumple siempre en una fracción? Bueno,   intentemos hacer un ejemplo similar, pero esta  vez con una fracción diferente. Empecemos con ¾   y multipliquémoslo por 4, multipliquemos ¾ x 4,  y una vez más dibujemos un cuarto: si decimos   que este bloque es un entero, y lo dividimos en  4 secciones iguales, entonces cada una de estas   secciones representa ¼. Y déjame copiar este  entero porque más tarde lo vamos a utilizar varias   veces, así que lo copio; perfecto. Y ahora vamos  a colorear ¾. Si tenemos 4 secciones iguales,   entonces 3 de ellas representan ¾: una, dos, tres;  pero ahora vamos a multiplicarlas por 4, es decir,   vamos a sombrear 4 veces ¾, por lo tanto vamos  a necesitar más enteros por aquí. Ya tenemos los   primeros tres cuartos por aquí y ahora tomaré  otro color para sombrear otros tres cuartos:   tenemos un cuarto, un segundo cuarto y un tercer  cuarto. Así que observa: hasta ahora tenemos tres   cuartos dos veces. Déjame ser muy claro en esto:  en un inicio sombreamos una vez tres cuartos y   ahora acabamos de sombrear por segunda vez tres  cuartos, así que hagámoslo una tercera vez,   para ello usaremos otro color y vamos a poner otro  entero, entonces vamos a colorear tres cuartos   por tercera vez: primero un cuarto, después  un segundo cuarto y otro tercer cuarto, así   que en verde tenemos otra vez tres cuartos. Sin  embargo, necesitamos cuatro veces tres cuartos,   así que utilicemos otro color para sombrear  una cuarta vez tres cuartos: este es un cuarto,   un segundo cuarto y un tercer cuarto. Así que  observa: tenemos una vez tres cuartos, dos veces   tres cuartos, tres veces tres cuartos y cuatro  veces tres cuartos. ¿Y qué obtuvimos en total al   colorear cuatro veces tres cuartos? Bueno, ahora  es bastante claro, tenemos 3 enteros completos,   ¾ x 4 es 3 enteros. Ahora bien, si ¾ x 4 = 3, esto  significa que 3 ÷ 4 = ¾, de nuevo es la misma idea   3 / 4 es lo mismo que 3 ÷ 4. Y en general esto es  cierto, es decir, el símbolo de la fracción puede   interpretarse como división, y si observamos  este dibujo a la izquierda podemos ver que es   completamente cierto: si empezamos con 3 enteros y  lo queremos dividir en 4 grupos iguales -un grupo,   dos grupos, tres grupos, cuatro grupos-  cada uno de los grupos iguales tiene ¾.