Comparar fracciones impropias y números mixtos

Tenemos pares de números mixtos y fracciones  impropias, y queremos saber cuál es mayor en cada   par: 1 y 7/8, 39/10. Así que podríamos hacer esto  mentalmente, podríamos decir que 10 cabe en 39,   incluso podríamos escribirlo 10 cabe en 39 tres  veces, 3 x 10, y queremos encontrar el mayor   número de veces que 10 cabe aquí sin rebasarlo. No  podríamos escribir un 4 aquí porque entonces sería   40 y eso es mayor que 39; 3 x 10 = 30, y nos queda  un residuo de 9, de modo que podemos reescribir   esta expresión que tenemos aquí: en lugar de  39/10 podríamos escribir 30 / 10 + 9 / 10,   30 / 10 = 3, entonces esto es igual a 3 y 9/10. Y  podríamos hacer eso en la cabeza, podríamos decir   que 10 cabe en 39 tres veces y el residuo es 9,  tenemos 9/10. Y así es como podemos hacerlo en   la cabeza. Ahora podemos comparar y literalmente  podemos mirar las partes enteras de los números,   esto es uno y algo, 1 y 7/8, y lo estamos  comparando esencialmente con 3 y 9/10. Tres   y 9/10 es claramente un número mayor, tenemos un  3 aquí en lugar de un 1, entonces escribiremos   menor que [˂], y la forma en que recuerdo cómo  escribirlo es que la abertura siempre está del   lado del número mayor, la abertura es mayor y  el punto que es pequeño siempre apunta al número   más pequeño. Ahora hagamos el siguiente: 4 y 7/8  frente a 49 / 9, así que convirtamos esto en un   número mixto: 9 cabe en 49 cinco veces, y 5 x 9 es  45, y el residuo será 4, el residuo es 4, por lo   que tenemos 5 y 4/9. Una vez más, literalmente  podemos mirar sólo las partes enteras de los   números: 5 es claramente más grande que 4, así  que una vez más ˂, el punto apunta hacia el número   más pequeño y la abertura está del lado del número  mayor. Ahora 2 y 1/2 frente a 11/10: 10 cabe en 11   sólo una vez, y si vemos el residuo es 1, entonces  1 y 1/10, que es claramente menor que 2 y 1/2,   sólo tenemos que fijarnos en las partes enteras  de los números: 2 es claramente mayor que 1,   queremos que la abertura del signo ˂ o ˃ esté del  lado del número mayor, y lo escribiríamos así:   esto es mayor que, por lo que 2 y 1/2 ˃ 11/10,  el puntito apunta al número menor. 5 y 4/9 frente   a 40/7: 7 cabe en 40 -déjenme reescribirlo-: 7  cabe en 40 cinco veces y tendremos un residuo de   5, porque 7 x 5 es 35, tenemos un residuo de  5 para llegar a 40, entonces son 5 y 5 /7. Y   si parece que estoy haciendo algún tipo de magia,  sólo recuerden que en realidad no estoy separando,   estoy diciendo que 40 /7 es lo mismo que 35 + 5  / 7, el mayor múltiplo de 7 que es menor que este   número, y esto es lo mismo que 35 / 7 + 5 /7, y  luego 35 / 7 es 5 y 5/7 son estos 5/7 que tenemos   aquí. Este ejemplo es interesante porque tenemos  el mismo número entero en nuestros números mixtos,   5 contra 5, de modo que ahora tenemos que prestar  atención a la parte fraccionaria del número mixto.   Básicamente tenemos que comparar 4/9 con 5/7; y  hay un par de maneras de hacer esto. Podríamos   hacer que tuvieran el mismo denominador, esa es  probablemente la forma más sencilla de resolverlo,   así que podríamos reescribir, ¿cuál es el mínimo  común múltiplo de 9 y 7? No comparten factores,   por lo que en realidad el mínimo común  múltiplo va a ser su producto, entonces,   si queremos reescribir 4/9 escribiríamos 63 en  el denominador, eso es 9 x 7; si multiplicamos el   denominador por 7 también tenemos que multiplicar  el numerador por 7, así que será igual a 28. Ahora   5/7. Vamos a hacer que el denominador sea 63.  Estamos multiplicando el denominador por 9, así   que también tenemos que multiplicar el numerador  por 9: 5 x 9 es 45, entonces aquí es fácil de   ver que 45/63 es claramente mayor que 28/63,  y entonces podríamos escribir esto. Y como el   número entero en las dos partes es el mismo y 5/7  es lo mismo que 45/63 y 4/9 es lo mismo que 28/63,   podemos escribir que 5 y 4/9 ˂ 40/7. Otra forma  en la que podríamos haber pensado en 4/9 frente   a 5/7 es que podríamos haber dicho "¿Cómo se  compara 4/9 con 4/7?" Tenemos el mismo numerador,   el denominador aquí es más grande que el  denominador que tenemos acá, pero cuanto mayor sea   el número que tienes en el denominador menor será  la fracción, el valor absoluto de la fracción será   menor. Así que esto de aquí es una cantidad menor  que 4/7 y 4/7 es claramente una cantidad menor   que 5/7, entonces 4/9 es claramente menor que 5/7,  por lo que habríamos obtenido el mismo resultado.