Problema verbal sobre proporciones: galletas

Una receta para galletas de avena contiene 2 tazas de harina por cada 3 tazas de avena. ¿Cuánta harina se necesita para elaborar una gran cantidad de galletas que requieren 9 tazas de avena? Veamos que nos dan. Nos dan 2 tazas de harina, nos dan entonces 2... tazas de harina.... 2 tazas de harina, por cada 3 tazas de avena, por cada 3 tazas de avena, 2 tazas de harina por cada 3 tazas de avena, esa es la receta. Y lo que nos preguntan es, ¿Cuánta harina se necesita para elaborar una gran cantidad de galletas que requieren 9 tazas de avena? Así es que ahora tenemos una situación en la cual se requieren 9 tazas de avena... déjame ponerlo aquí... 9 tazas de avena... 9 tazas de avena... y te quiero mostrar distintas maneras de hacer esto para que elijas la que más se te acomode. Una manera de razonar esto es, bueno, sabemos que por cada 3 tazas de avena usamos 2 tazas de harina, ahora que vamos a usar 9 tazas de avena, ¿cuántas tazas de harina requerimos? Eso es lo que nos están pidiendo, si vamos de 3 tazas de avena a 9 tazas de avena, ¿cuánta avena más estamos usando? Bueno, estamos usando tres veces la cantidad original de avena, estamos multiplicando por 3, al multiplicar por 3 las 3 tazas de avena, obtenemos 9 tazas de avena, si queremos usar la harina en la misma proporción tenemos que usar tres veces la cantidad original de harina. Entonces multiplicamos por 3 estas 2 tazas de harina, por lo cual requerimos usar 3 por 2, 6 tazas... 6 tazas de... olvídate de este signo... 6 tazas de harina, esa es la respuesta. Esa es la cantidad de harina que se necesita para elaborar una gran cantidad de galletas que requieren 9 tazas de avena. Otra manera de encontrar la solución es estableciendo la proporción. Si sabemos que por cada 2 tazas... por cada dos tazas de harina, se requieren... 3 tazas... se requieren 3 tazas de avena, entonces, ¿cuál es la cantidad de tazas de harina? Es una incógnita, vamos a ponerlo con una variable "x" o no, pongámoslo como un signo de interrogación dentro de un cuadrito, para que así te quede más claro de qué se trata todo este proceso. Entonces, ¿cuál es esa cantidad de tazas de harina que se requieren para combinarse con 9 tazas de avena? Yo prefiero el primer método que hicimos, pues es simple sentido común, si triplicamos la cantidad de avena, tenemos que triplicar la cantidad de harina, para mantener la proporción de la receta, por el otro método establecimos esta ecuación que hay que resolver usando álgebra, algunos le llaman multiplicación cruzada, pero esa multiplicación cruzada está basada en el álgebra. Y te lo voy a mostrar. En la multiplicación cruzada se hace lo que se llama una multiplicación en diagonal, en este caso estaríamos multiplicando 2 por 9... 2 por 9... 2 por 9 que es igual al producto de este signo de interrogación por 3... el producto de este signo de interrogación, lo que sea que represente, en este caso las tazas de harina, por 3. 2 por 9 es igual a ? por 3, 2 por 9 = 18 que es igual a esa incógnita, a ese signo de interrogación en un cuadrito por 3, así que el número de tazas que se requieren por 3 es igual a 18, mentalmente podemos calcular que el número que se multiplica por 3 para dar 18 es 6 ó podemos dividir ambos lados de la ecuación entre 3, para obtener 6. Llegamos entonces al que el signo de interrogación en un cuadrito es igual a 6 tazas de harina, la misma respuesta que obtuvimos a través del sentido común. Ahora, tú podrías decir, esa multiplicación cruzada que hicimos no tiene ningún sentido intuitivo, ¿qué es lo que hace válido igualar esos productos cruzados? ¿por qué es válido multiplicar el denominador de un lado por el numerador del otro lado y eso que sea igual al numerador de un lado por el denominador del otro lado? Eso sale directamente del álgebra y para ver eso voy a sustituir esta incógnita por "x". Tenemos 2 sobre 3 es igual y en vez de ese signo de interrogación voy a escribir, "x" sobre 9. Algebraicamente estamos estableciendo que esta cantidad de aquí es igual a esta otra cantidad de aquí, un principio básico del álgebra es que si hacemos algo del lado izquierdo de una ecuación, para mantener la igualdad, tenemos que hacer lo mismo del lado derecho. En este caso lo que queremos hacer es simplificar esto para dejar del lado derecho tan solo la "x". ¿Y qué necesitamos hacer para que este "x" sobre 9 se transforme en "x"? Al estar la "x" dividida entre 9, si multiplicamos por 9 los 9 se van a cancelar y habremos despejado la "x". Como dijimos, también necesitamos multiplicar por 9 el lado izquierdo, si estos dos términos eran iguales antes de multiplicarse por 9 para mantener la igualdad, hay que multiplicar por 9 ambos lados de la ecuación. Del lado derecho, estos 9 se cancelan y nos queda tan solo la "x", mientras que del lado izquierdo tenemos, 9 por 2/3, esto es como 9 sobre 1 por 2/3, esto es igual a 18/3 y por supuesto, ya sabemos que 18/3 es igual a 6. Todos estos métodos son válidos, este desarrollo algebraico que hice aquí lo hice para que te dieras cuenta que es válida la multiplicación cruzada que usamos, sin embargo para un problema tan simple como este, tan solo necesitas sentido común. Si estás aumentando las tazas de avena por un factor de 3, entonces aumenta las tazas de harina por un factor de 3.